丁杰

[摘 ?要] 正方形及矩形中的“十字架垂直”模型在數(shù)學幾何中十分常見，雖然模型結構簡單，但其轉(zhuǎn)化策略及模型結論有著廣泛的應用. 文章將對一道引例加以分析并提煉解讀模型，結合實例拓展應用，提出相應的教學建議，與讀者交流.

[關鍵詞] 正方形;垂直;十字架;模型;變式

引例探究

例題 ?如圖1所示，已知正方形ABCD的邊長為4，點E和F分別是邊AD和AB上的點，且DF⊥CE，回答下列問題.

（1）求證：DF=CE;

（2）若點F是邊AB的中點，試連接BG，證明BG=BC，并求出此時sin∠GBC的值;

（3）分析點F運動過程中，BG的最小值.

解析 ?（1）由于DF⊥CE，則△DEG為直角三角形，則∠EDG+∠DEG=90°，四邊形ABCD為正方形，則∠ADF+∠AFD=90°，可推知∠DEG=∠AFD，結合AD=DC，∠A=∠EDC=90°，可證△ADF≌△DCE，由全等性質(zhì)可得DF=CE.

（2）設定點F為AB的中點，可通過精準計算線段長來證明等線段.

解法1 ?過點G作BC的垂線，設垂足為點I，如圖2所示. 可證圖中除△BGI外，其余的直角三角形均為相似關系，且三邊的相似比均為1 ∶ 2 ∶ ，進而可計算出BI=，GI=，由勾股定理可得BG=4，可證BG=BC. 在Rt△GBI中，sin∠GBC=sin∠GBI==.

解法2 ?DC長為定值4，所對∠DGC=90°為定角，結合“定弦定角”模型可知，其中含有隱形圓，即點G位于以DC為直徑的圓上，設圓心為M，連接GM，如圖3所示. 可證BG和BC均為☉M的切線，由切線長相等可得BG=BC=4. 連接BM，可得∠GBC=2∠MBC，而在Rt△MBC中，可得tan∠MBC=，進而可推得sin∠GBC=.

（3）點F是AB上的動點，但垂直條件DF⊥CE不變，故點G的軌跡依然是以DC為直徑的半圓，顯然當點G為BM與☉M的交點時，BG的長度最小，此時BG=BM-r=BM-DC=2-2，即BG的最小值為2-2.

引例解讀

上述引例探究正方形中的幾何關系，所涉問題的核心特征有兩個：一是四邊形ABCD為正方形;二是DF⊥CE. 從外形來看，可視為是正方形中的“十字架垂直”結構，即初中數(shù)學常見的“十字架”模型. 該模型常見的類型有兩種：①正方形中存在兩條十字交叉垂直的線段;②矩形中存在兩條十字交叉垂直的線段. 圍繞“十字架”模型可以推導出一些較為實用的結論，合理利用結論可提升解題效率，下面深入探究模型的拆解方式，并探究模型結論.

模型1：正方形中的“十字架垂直”模型

引例中所給出的“十字架垂直”模型是一種特殊形式，在圖形中構建三角形全等關系可直接證明“十字架”所對應的兩條線段等長. 而圖4是該模型的常規(guī)結構，即在正方形ABCD中有EF⊥HG，若要證明EF和HG的長度關系，則需另外構建模型.

思路 ?基本策略依然是利用全等三角形對應邊相等的性質(zhì)，可采用平移變換的方式來構建三角形，作圖過程如下.

過點A作GH的平行線，與DC的交點為M，再過點B作EF的平行線，與AD的交點設為N，如圖5所示. 根據(jù)正方形中的平行性質(zhì)，可得HG=AM，EF=NB，即只需探究NB和AM的線段長度關系即可. 而變形后的圖形與上述引例圖形相一致，只需證明△AMD≌△BNA，由全等性質(zhì)可得NB=AM，進而可證EF=HG.

模型2：矩形中的“十字架垂直”模型

若將背景更換為矩形，則可構建矩形中的“十字架垂直”模型，在該模型中同樣存在兩條互相垂直的線段，但顯然由于矩形的邊長不等，線段便不再相等，下面結合具體圖形來探究. 在圖6所示的矩形ABCD中，有EF⊥HG，探究線段EF和GH的長度關系.

思路 ?EF和GH不具有相等關系，采用類比思維，正方形背景下線段關系與正方形的邊長相關，則矩形背景下可能與矩形的兩條邊長比例相關. 可以考慮采用“幾何平行+三角形相似轉(zhuǎn)化”的策略，即通過平移形成閉合三角形，然后證明三角形相似，由相似性質(zhì)來證明.

過點A作GH的平行線，與DC的交點為M，再過點B作EF的平行線，與AD的交點設為N，如圖7所示. 根據(jù)平行性質(zhì)，可得HG=AM，EF=NB，且AM⊥BN. 由∠ABN=∠MAD，∠D=∠BAN，可證△ADM∽△BAN，由相似性質(zhì)可得BN ∶ AM=AB ∶ DA，即EF ∶ GH=AB ∶ AD.

總結拓展

1. 模型總結

“十字架垂直”模型的結構特點極為鮮明，主要有上述兩種結構，即正方形和矩形中的兩條十字交叉垂直線段. 該類模型的基本破題策略可概括如下：對兩條相互垂直的線段進行平行，構建封閉的三角形，然后證明相關三角形全等或相似. 通常有如下對應結論：

①正方形的“十字架”模型中，兩條互相垂直的線段長度相等;

②矩形的“十字架”模型中，兩條相互垂直的線段的比等于矩形的長寬之比.

2. 拓展探究

“十字架垂直”模型的解析策略和模型結論在解題中有著廣泛的應用，合理利用可有效轉(zhuǎn)化條件，顯著提升解題效率. 應用時需要同時滿足模型的兩大特征條件，而模型應用有兩種思路：一是直接利用模型中與線段相關的條件，二是巧妙利用模型解析的策略，即通過全等或相似轉(zhuǎn)化來推導條件. 對于隱藏模型的問題，實際解題需分兩步進行：第一步，補全或挖掘模型，提取“十字架垂直”模型;第二步，利用模型的結論或轉(zhuǎn)化策略求解問題. 下面結合實例探索應用.

應用1：直接利用模型結論

例1 ?如圖8所示，已知正方形ABCD的邊長為24 cm，折疊正方形使得點A落在DC邊上的點E處，壓平后的折痕為FG，如果FG的長為25 cm，則線段CE的長為______.

解析 ?連接AE，由折疊性質(zhì)可知折痕FG和AE為垂直關系，故問題圖形滿足“十字架垂直”模型，由模型性質(zhì)可知AE=GF=25 cm. 而在Rt△ADE中，已知AD=24 cm，AE=25 cm，由勾股定理可得DE=7 cm，所以CE=CD-DE=17 cm.

評析 ?在上述題目中，雖沒有直接指明圖形滿足“十字架垂直”模型，但結合折疊特性，連接對應點即可獲知正方形中存在兩條交叉垂直的線段，故可直接利用模型結論來推導線段關系.

應用2：巧用模型補全策略

例2 ?在圖9所示的四邊形ABCD中，已知∠ABC=90°，AB=AD=10，BC=CD=5，AM⊥DN，點M和N分別位于BC和AB上，試求DN和AM的比值.

解析 ?本題目中以普通四邊形為背景，其中存在交叉線段垂直關系，則可以考慮采用補全模型的策略，即依托交叉垂直線段構建矩形.

過點D作AB的平行線，與BC的延長線交于點E，再過點A作AB的垂線，與DE的延長線交于點F，再連接AC，如圖10所示. 根據(jù)已知條件可得△ADC≌△ABC，可證△ADF∽△DCE，由相似性質(zhì)可得DE ∶ AF=DC ∶ AD=1 ∶ 2. 設DE=x，則AF=2x，DF=10-x. 在Rt△ADF中，AF2+DF2=AD2，可解得x=4，所以AF=2x=8，進而可推得DN ∶ AM=AF ∶ AB=4 ∶ 5.

評析 ?上述問題中雖沒有直接顯現(xiàn)出矩形中的“十字架垂直”模型，但可以通過模型補全的方式，構建出矩形，進而利用矩形背景中模型的解析策略來轉(zhuǎn)化條件.

解后反思

模型探究是初中數(shù)學教學的重要環(huán)節(jié)，有助于學生能力的提升，而在實際教學中建議關注教材，循序引導，重視拓展，下面提出相應教學建議.

1. 關注教學模型，認識模型結構

上述對正方形及矩形中的“十字架垂直”模型進行了探究，實際上所涉模型源于教材習題，是基礎圖形中的特殊結構. 雖模型簡單，但其中隱含的轉(zhuǎn)化策略和特殊結論有著極高的價值，可有效提升學生的解題能力. 教學中要引導學生關注教材習題，注重模型提取，特征總結，尤其是總結模型中的基本結構，如上述模型中交叉線段的構建方式，線段的垂直關系. 通過結構分析、特征總結來使學生認識模型.

2. 循序引導深入，挖掘模型本質(zhì)

模型探究建議采用“由淺入深、循序引導”的策略. 上述模型是基于特殊圖形、特殊三角形關系所構建的，并隱含了線段平移或補全的建模方式，其中的“圖形與關系”是對全等三角形、相似三角形等知識的重現(xiàn)，而“平移與補全”是對圖形運動、動態(tài)變換的突出體現(xiàn). 教學中建議首先引導學生重溫三角形的特殊關系，掌握全等及相似的證明方法;然后開展模型探究，關注模型的本質(zhì)、結構;最后將模型與圖形運動相關聯(lián)，形成模型構建、解析轉(zhuǎn)化的策略.

3. 拓展遷移模型，提升數(shù)學思維

遷移模型有助于強化模型應用、拓展學生思維. 實際探究中建議引導學生體驗模型的證明過程，在此基礎上開展模型遷移，如從“一線三直角”的視角認識模型，從輔助線構建方式的角度總結模型，從模型結論與圖形結構的視角分析模型. 教學中注重學生的思維培養(yǎng)，采用由特殊到一般的探究方法，引導學生合理討論、充分思考，使學生在自主探究中掌握模型、再生應用，獲得思維升華.