周銀生

[摘 ?要] 復(fù)合圖形問題在中考中十分常見，問題圖像通常將眾多幾何要素融合在一起，造成線條錯(cuò)綜復(fù)雜. 問題解析需要把握特性，提取模型，利用知識(shí)定理轉(zhuǎn)化. 同時(shí)該類問題的解法不一，可從不同視角切入. 下面結(jié)合一道中考題開展解法探究，并提出相應(yīng)的建議.

[關(guān)鍵詞] 復(fù)合圖形;動(dòng)態(tài);模型;最值

幾何壓軸題往往圖形豐富、結(jié)構(gòu)復(fù)雜，涉及眾多的幾何模型，從不同視角分析可以獲得不同的結(jié)論，下面深入探究2021年重慶市B卷的幾何綜合題.

走進(jìn)考題

考題 ?（2021年重慶市B卷第26題）在等邊三角形ABC中，已知AB=6，BD⊥AC，垂足為D，E是AB邊上的一點(diǎn)，F(xiàn)為直線BD上的一點(diǎn)，連接EF.

（1）將線段EF繞著點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段EG，連接FG.

①如圖1所示，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)B重合，且GF的延長線過點(diǎn)C時(shí)，連接DG，求線段DG的長;

②如圖2所示，點(diǎn)E不與點(diǎn)A和B重合，GF的延長線交BC邊于點(diǎn)H，連接EH，求證：BE+BH=BF;

（2）如圖3所示，當(dāng)E為AB中點(diǎn)時(shí)，M為BE中點(diǎn)，點(diǎn)N在邊AC上，且DN=2NC，點(diǎn)F從BD中點(diǎn)Q沿射線QD運(yùn)動(dòng)，將線段EF繞著點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段EP，連接FP，當(dāng)NP+MP最小時(shí)，直接寫出△DPN的面積.

命題點(diǎn)評(píng) ?本題目為典型的以圖形變換為背景的中考動(dòng)態(tài)壓軸題，考題共設(shè)三問，問題逐步推進(jìn)，首先確定特殊情形，遞進(jìn)到探索變化中的不變關(guān)系，然后深入探究變化中的最值. 問題充分體現(xiàn)了“變中有定”、“變中有最”的幾何動(dòng)態(tài)理念. 同時(shí)采用階梯式的設(shè)問方式，能夠考查學(xué)生的基礎(chǔ)知識(shí)，也能考查學(xué)生的綜合能力，可起到選拔學(xué)生的效果.

解題探究

考題三問的圖形各自獨(dú)立，又具有一定的聯(lián)系，解題探究建議采用分步突破的策略，立足問題圖形，把握考點(diǎn)，探索解題思路.

第一步——把握特殊狀態(tài)

第（1）題的①問設(shè)定點(diǎn)E與點(diǎn)B重合，屬于特殊情形，整個(gè)圖形的結(jié)構(gòu)是確定的，不含動(dòng)點(diǎn)，則圖形中的幾何要素均可求出. 要求DG的長，通常將目標(biāo)線段放置在直角三角形中，通過解直角三角形的方式來求得. 因此可連接AG，構(gòu)造Rt△ADG.

連接AG，如圖4所示，將DG放置在△ADG中，由題意可得∠ABD=∠CBD=30°，則∠BCF=∠ACF=30°，∠CBG=90°，故CG垂直平分線段AB，從而可得AG=BG=2. 同時(shí)可證△CBG≌△CAG，則∠DAG=90°，即△ADG為直角三角形，又知AD=3，由勾股定理可得DG=.

評(píng)析 ?該問屬于確定性分析題，屬于動(dòng)態(tài)圖形的特殊狀態(tài). 上述解法的核心是“三線合一”和解Rt△ADG，即根據(jù)等邊三角形性質(zhì)推導(dǎo)角度關(guān)系，利用“三線合一”定理實(shí)現(xiàn)“等角”向“垂直”的轉(zhuǎn)化，進(jìn)而識(shí)別圖形中的直角三角形，借助勾股定理來破解.

第二步——探索變化規(guī)律

第（1）題的②問為一般狀態(tài)，圖中涉及了幾何變換，解析時(shí)需要識(shí)別或構(gòu)造基本圖形，通過線段轉(zhuǎn)化來證明其中隱含的不變關(guān)系.

過點(diǎn)F分別作AB和BC的垂線，設(shè)垂足分別為K和T，如圖5所示，可證Rt△BFK≌Rt△BFT，由全等性質(zhì)可得FK=FT，BK=BT. 又知∠EFH=∠KFT=120°，可得∠EFK=∠HFT，從而可證Rt△EFK≌Rt△HFT，則可推得EK=HT，所以BE+BH=（BK-EK）+（BT+HT）=2BT=2BF·cos30°=BF.

評(píng)析 ?上述為動(dòng)態(tài)變換中的一般形式，沒有設(shè)定點(diǎn)E的位置，顯然需要探索幾何變換中的一般規(guī)律. 解析過程需把握BD是∠ABC的平分線的特性，構(gòu)建雙垂直關(guān)系，逐步通過證明三角形全等來推導(dǎo)線段關(guān)系. 從所證明的線段關(guān)系來看，涉及三條相關(guān)線段，利用線段轉(zhuǎn)化來簡化關(guān)系是該解法的核心.

第三步——探索面積最值

第（2）題的圖形結(jié)構(gòu)極為復(fù)雜，將點(diǎn)變換與形變換充分結(jié)合在一起，動(dòng)點(diǎn)之間有著緊密的關(guān)聯(lián)，需要采用動(dòng)靜結(jié)合的策略，探索動(dòng)態(tài)圖形中的“不變”規(guī)律.

可連接DE，QM和QE，作射線MP，如圖6所示. 已知D，E分別是AE和AC上的中點(diǎn)，M和Q分別是BE和BD上的中點(diǎn)，可證MQ∥DE，且有MQ=DE=，從而可證△QME為等邊三角形. 又知△EFP為等邊三角形，可證△EMP≌△EQF（SAS），則∠EMP=∠EQD=90°，故點(diǎn)P在過點(diǎn)M且與AB相垂直的射線MP上運(yùn)動(dòng).

在射線MP的下方作∠PMI=30°，與BD的交點(diǎn)設(shè)為I，再過點(diǎn)P作射線MI的垂線，設(shè)垂足為R，則NP+MP=NP+PR. 再作NR′⊥射線MI于點(diǎn)R′，與射線MP交于點(diǎn)P′，如圖7所示，則NP+MP=NP+PR≥NR′. 分析可知，當(dāng)且僅當(dāng)N，P，R三點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立，所以當(dāng)點(diǎn)P與P′重合時(shí)，NP+MP取得最小值NR′. 易證MI∥AC，MI=BM=，BI=，DI=BD-BI=. 四邊形DIR′N為矩形，所以IR′=DN=2，NR′=DI=，MR′=MI+IR′=，從而可得P′R′=，P′N=NR′-P′R′=，所以S=DN·NP′=.

評(píng)析 ?上述是關(guān)于幾何三角形的面積最值探究，基于點(diǎn)運(yùn)動(dòng)分析，通過局部與整體變換確定點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡，然后通過構(gòu)造特殊角，借助正弦來處理其中的含系數(shù)線段和，最終借助“垂線段最短”原理來探究最值. 整個(gè)過程是“瓜豆原理”與“胡不歸”模型的結(jié)合，即利用“瓜豆原理”探尋動(dòng)點(diǎn)軌跡，利用“胡不歸”模型來處理含系數(shù)線段和. 對(duì)于幾何中的模型化問題，理解模型背后的原理是關(guān)鍵.

解法再探

上述對(duì)一道幾何復(fù)合問題進(jìn)行了解法探究，問題圖形較為復(fù)雜，突破過程主抓圖形特征，結(jié)合模型及幾何原理構(gòu)建解題思路. 對(duì)于復(fù)合圖形問題，往往解析方法不唯一，從不同視角切入，可以獲得不同的解題效果，下面對(duì)解法再探究.

1. 再探線段DG的求法

（1）題第①問求DG的線段長，可過點(diǎn)G作BD的垂線，設(shè)垂足為L，如圖8所示. 則可將DG放置在Rt△GDL中. BD為等邊三角形ABC的高，BD=3. 分析可證∠GBC=90°，∠GCB=30°，則可求得BG=2. 在Rt△GBL中，已知BG=2，∠GBL=60°，則可求得GL=3，BL=，所以DL=2. 在Rt△GDL中運(yùn)用勾股定理可求得DG=.

2. 再證線段和關(guān)系

（1）題第②問證明線段關(guān)系，其中含有系數(shù)，核心解法是轉(zhuǎn)化線段和，在三角形中構(gòu)建線段關(guān)系. 可在射線BC上取點(diǎn)E′，連接E′F，使得∠BFE′=120°，如圖9所示. 則BF=E′F，∠BFE=∠E′FH，結(jié)合∠EFH+∠EBH=180°，可證∠BEF=∠E′HF，所以△BEF≌△E′HF. 所以BE=E′H. 所以BE+BH=E′H+BH=BE′=BF.

3. 再探面積最值

上述對(duì)第（2）題采用“瓜豆原理”+“胡不歸”模型的策略來求最值，其中點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡是突破的難點(diǎn)，實(shí)際上挖掘圖像中的“隱線”可避開分析點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡，同樣可以求面積最值，解析過程如下.

對(duì)于本題中，動(dòng)點(diǎn)P可視為是動(dòng)點(diǎn)F繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°所得，將與目標(biāo)有關(guān)的點(diǎn)作相應(yīng)的反向旋轉(zhuǎn)，串聯(lián)條件，即可求解. 如圖10所示，分析可知△MEQ，△ADE，△NEN′均為等邊三角形，分析可證△AEN′≌△DEN（SAS），故AN′=DN=2，∠EAN′=∠EDN=120°，從而AN′∥BC.

過點(diǎn)F和N′分別作射線MQ的垂線段，垂足分別為R和R′，設(shè)N′R′與射線BQ交于點(diǎn)F′，如圖11所示，則N′F+QF=N′F+FR≥N′R′，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)N′，F(xiàn)，R三點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立. 所以當(dāng)點(diǎn)F與F′重合時(shí)，N′F+QF取得最小值N′R′，再作AK⊥射線MQ于點(diǎn)K，則AM=，MK=，AK=，QM=EM=，QK=. 又可證四邊形AKR′N′為矩形，故N′R′=AK=，KR′=2，QR′=，從而可得F′R′=，N′F′=，從而可求得S.

解后反思

上述對(duì)一道復(fù)合圖形綜合題進(jìn)行了解法探究，通過圖形分析、提取，構(gòu)建了解題思路，下面進(jìn)行深入反思.

1. 關(guān)注問題條件，把握?qǐng)D形構(gòu)造

復(fù)合圖形問題最為顯著的特點(diǎn)是幾何元素眾多，線條交錯(cuò)縱橫. 理解題干信息，把握?qǐng)D形構(gòu)造是解題突破的關(guān)鍵. 故解題時(shí)建議分兩步進(jìn)行，首先梳理題干條件，理解其中的邏輯關(guān)系，然后結(jié)合圖形深入剖析，體會(huì)圖形構(gòu)造的過程. 需要特別關(guān)注其中的垂線、角平分線、垂直平分線等，這些信息是后續(xù)特殊圖形提取、等角轉(zhuǎn)換、等邊推導(dǎo)的關(guān)鍵.

2. 提取幾何特性，構(gòu)建特殊模型

復(fù)合圖形問題的解析過程較為復(fù)雜，提取特性、構(gòu)建模型則可以簡化解題過程，提高解題效果. 同時(shí)模型所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)原理對(duì)于提升數(shù)學(xué)能力極為有利. 如上述問題中利用“三線合一”，構(gòu)造直角圖形求線段長，利用“等角互補(bǔ)”結(jié)構(gòu)，構(gòu)建旋轉(zhuǎn)模型求證線段的關(guān)系，求面積最值時(shí)又引入了“胡不歸”模型. 因此解題過程要注意挖掘幾何特性，合理提取幾何模型，利用模型結(jié)論來轉(zhuǎn)化條件.

3. 學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)思想，提升綜合素養(yǎng)

復(fù)合圖形問題的突破過程同樣也是思想方法的融合過程，無論是條件轉(zhuǎn)化、輔助構(gòu)圖，還是討論分析、思路探索中均需要用到數(shù)學(xué)的思想方法. 以上述考題為例，其中隱含了數(shù)形結(jié)合、化歸轉(zhuǎn)化、模型構(gòu)造等思想，利用數(shù)形結(jié)合理解題干條件，把握?qǐng)D形結(jié)構(gòu)，化歸轉(zhuǎn)化中構(gòu)建條件關(guān)聯(lián)，轉(zhuǎn)化幾何要素，結(jié)合構(gòu)造思想重塑圖形，實(shí)現(xiàn)問題的簡化突破. 解題探究要重視思想方法，理解思想內(nèi)涵，總結(jié)運(yùn)用技巧.