白雪峰 彭華

[摘 ?要] 以2018年北京市中考第27題的深度分析、流暢解決和適度拓展為例，強(qiáng)調(diào)了“四基”的整體性和統(tǒng)一性，明確提出培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)直覺和發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維應(yīng)該成為平面幾何教學(xué)的重要目標(biāo);揭示了數(shù)學(xué)直覺在引領(lǐng)學(xué)生產(chǎn)生聯(lián)想與發(fā)現(xiàn)問題本質(zhì)之間的聯(lián)系，數(shù)學(xué)思維在促進(jìn)學(xué)生形成證明思路、深化問題本質(zhì)理解過程中的重要作用;闡明了指導(dǎo)學(xué)生歸納梳理、提煉概括蘊(yùn)含于解題過程之中的數(shù)學(xué)基本思想和基本活動經(jīng)驗對于發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要教育價值.

[關(guān)鍵詞] 追根溯源;正本清源;數(shù)學(xué)直覺;數(shù)學(xué)思維

推理是數(shù)學(xué)最為顯著的特征之一，也是數(shù)學(xué)內(nèi)部自身發(fā)展的依賴，更是一種基本的數(shù)學(xué)思想[1]. 數(shù)學(xué)的推理是一種有邏輯的推理，其過程基于數(shù)學(xué)的直覺和思維. 因此，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的要義不僅僅是為了認(rèn)識和理解概念定理、公式法則等基礎(chǔ)知識，也不僅僅是要掌握“會計算”“會證明”的基本技能，更重要的是指導(dǎo)學(xué)生在“感悟”和“理解”的基礎(chǔ)上，最終形成數(shù)學(xué)的直覺和數(shù)學(xué)的思維. 這一點(diǎn)完全符合《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》所倡導(dǎo)的要注重“四基”、突出強(qiáng)調(diào)基本思想以及基本活動經(jīng)驗的本意[2]. 這就要求教師必須立足學(xué)生的數(shù)學(xué)直覺培養(yǎng)和思維發(fā)展來開展平面幾何的教學(xué)設(shè)計與實施. 下面，筆者以2018年北京市高級中等學(xué)校招生考試數(shù)學(xué)試卷第27題為例，談?wù)勥@方面的思考與研究.

問題呈現(xiàn) 如圖1所示，在正方形ABCD中，E是邊AB上的一動點(diǎn)（不與點(diǎn)A，B重合），連接DE，點(diǎn)A關(guān)于直線DE的對稱點(diǎn)為F，連接EF并延長交BC于點(diǎn)G，連接DG，過點(diǎn)E作EH⊥DE交DG的延長線于點(diǎn)H，連接BH.

（1）求證：GF=GC;

（2）用等式表示線段BH與AE的數(shù)量關(guān)系，并證明.

追根溯源

上述問題中的第（1）問是求證兩條線段GF與GC相等，比較簡單，只要連接DF（如圖1所示），則容易證明△DAE≌△DFE，隨即可證得∠DAE=∠DFE=90°，DA=DF. 進(jìn)而容易證明Rt△DFG≌Rt△DCG，于是GF=GC得證. 下面我們重點(diǎn)分析和解決第（2）問.

1. 問題分析

學(xué)生在解決第（2）問的時候會遇到困難，雖然已知條件正方形ABCD中、DE⊥EH等都不難理解，但是對于射線BH與正方形ABCD的位置關(guān)系，學(xué)生還不能準(zhǔn)確把握，從而不能產(chǎn)生準(zhǔn)確的聯(lián)想和正確的解題思路.

事實上，學(xué)生在以前的練習(xí)中是見過本題的影子的，但只是見過類似的問題還不一定能使學(xué)生在遇到一個新問題的時候自然地產(chǎn)生十分精準(zhǔn)的聯(lián)想. 正因如此，著名的美國數(shù)學(xué)教育家波利亞（G.Polya）在《怎樣解題》中給出了指導(dǎo)解題的“解題表”，表中羅列了若干問題和解題建議，旨在驅(qū)動解題者基于已有認(rèn)知自然而然地產(chǎn)生豐富而準(zhǔn)確的聯(lián)想.

例如，波利亞在解題表中給出過這樣的問題：

你以前看過此題嗎？是否見過形式略有不同的題目？

基于已知問題，如果學(xué)生能夠進(jìn)行上述自我追問，或許可以促使自己聯(lián)想到與該問題類似的問題：

類似問題 如圖2所示，在正方形ABCD中，點(diǎn)E在邊AB上，EH⊥DE，與∠CBA的外角平分線交于點(diǎn)H. 求證：DE=EH.

上述類似問題有多種證明方法，前幾年中考也考過，而且該題還可以推廣到任意正多邊形的情形.

在圖2中，由于DE⊥EH，且DE=EH，所以△DEH為等腰直角三角形，BH為∠CBP的平分線. 而在圖1中，如果E不是邊AB上的動點(diǎn)，而是定點(diǎn)，那么猜想BH與AE的數(shù)量關(guān)系將變得易如反掌.

由此可以看出：圖2與圖1主體結(jié)構(gòu)相同，且圖2之題是圖1之題的“根”，找到了問題的“根”，“樹干、樹枝和樹葉”也就可以看得更加真切，解題思路也就可以自然而得. 應(yīng)該說，追根溯源可以助力我們產(chǎn)生準(zhǔn)確的聯(lián)想、發(fā)現(xiàn)問題的本質(zhì)并形成正確的解題思路.

2. 流暢解題

基于上述類似問題的研究，學(xué)生解決中考27題的思維過程可以分為如下三個階段：

第一階段：要先證明DE=EH;

第二階段：要能夠根據(jù)聯(lián)想到的類似問題，想到證明BH為∠CBA的外角平分線;

第三階段：把與BH有等量關(guān)系的線段和線段AE放在同一個三角形中，進(jìn)而要能夠大膽猜想BH與AE的數(shù)量關(guān)系，最后證明猜想即可.

下面，筆者先給出前兩個階段的證明過程，進(jìn)而多角度闡述第三階段關(guān)于猜想的證明.

【第一階段：證明DE=EH.】

如圖3所示，由（1）知△DAE≌△DFE，所以∠1=∠2. 因為△DFG≌△DCG，所以∠FDG=∠3.

在正方形ABCD中，因為∠1+∠2+∠FDG+∠3=90°，所以∠2+∠FDG=45°，即∠EDH=45°.

又∠DEH=90°，∠EHD=45°，所以△DEH為等腰直角三角形.

所以DE=EH.

【第二階段：證明BH為∠CBA的外角平分線.】

延長AB至點(diǎn)P，連接DB，則有∠CBP=90°，∠DBE=45°，所以∠DHE=45°.

所以 D，E，B，H四點(diǎn)共圓.

所以∠HBP=∠EDH=45°.

所以∠HBC=45°，即BH為∠CBP的平分線.

說明 從上面的證明過程我們看到，本題要證明的是兩條線段的數(shù)量關(guān)系，但需要先確定這兩條線段的位置關(guān)系，基于位置關(guān)系再確定數(shù)量關(guān)系，即先定“位”再定“性”最后再定量;由于線段BH在△EBH中，而EH（EH=DE）也在△EBH中，所以∠HBP=45°，∠EBH=135°，∠HBP=∠BEH+∠EHB=45°等為確定BH與AE的數(shù)量關(guān)系準(zhǔn)備了條件. 下面重點(diǎn)闡述第三階段的證明.

【第三階段】

思路1 構(gòu)造全等三角形.

證法1 如圖4所示，在AD上截取AK=AE，則△KAE為等腰直角三角形，∠AKE=45°.

所以∠EKD=∠HBE=135°.

因為∠DEH=90°，所以∠2+∠AED=90°.

又∠1+∠AED=90°，所以∠1=∠2.

又DE=EH，所以△EKD≌△HBE. 所以BH=EK.

在Rt△AEK中，EK=AE，所以BH=AE.

證法2 如圖5所示，連接BD，過點(diǎn)E作EK⊥AB交BD于點(diǎn)K，則△KEB為等腰直角三角形. 所以KE=BE.

因為∠2+∠AED=90°，又∠1+∠AED=90°. 所以∠1=∠2.

又DE=EH，所以△HBE≌△DKE. 所以BH=DK.

過點(diǎn)K作KL⊥AD于點(diǎn)L，則△DLK為等腰直角三角形. 所以DK=LK.

易證四邊形LAEK為矩形，所以LK=AE. 所以BH=AE.

說明 證法1和證法2都是直接利用了△HBE，所以證明過程簡潔順暢，下面間接應(yīng)用△HBE，與證法1、2比較，會有異曲同工之妙.

證法3 如圖6所示，過點(diǎn)H作HK⊥BP于點(diǎn)K，則△HKB為等腰直角三角形，所以BH=HK.

在Rt△DAE和Rt△EKH中，∠1=∠2，DE=EH，所以Rt△DAE≌Rt△EKH. 所以AE=HK.

所以BH=AE.

證法4 如圖7所示，過點(diǎn)H作HP⊥BH交AB的延長線于點(diǎn)P，則△BHP為等腰直角三角形，所以HP=HB.

延長DA到點(diǎn)K，使AK=AE，則△AKE為等腰直角三角形. 所以KE=AE.

因為∠1=∠2， ∠DKE=∠EPH=45°，又DE=EH，所以△DKE≌△EPH.

所以HP=KE=AE.

所以BH=AE.

思路2 構(gòu)造平行四邊形.

證法5 如圖8所示，以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心，將Rt△DAE順時針旋轉(zhuǎn)90°，使DA與AB重合，得到Rt△BAK. 連接AC，KE，則△AKE為等腰直角三角形.

所以∠1=∠2=∠3. 所以KE∥AC∥BH.

因為DE⊥EH，DE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)90°到KB， 所以EH∥KB.

所以四邊形EKBH為平行四邊形.

所以BH=KE.

又KE=AE，

所以BH=AE.

思路3 應(yīng)用四點(diǎn)共圓.

證法6 如圖9所示，由前面的證明可知，D，E，B，H四點(diǎn)共圓，作出輔助圓☉O， 與AD的另一個交點(diǎn)為K，連接KE，KH，則∠1=∠3.

因為∠1=∠2，所以∠2=∠3.

所以KH∥EB，BH=EK.

所以∠A=∠AKH=90°.

又∠EKH=∠EDH=45°，所以∠AKE=45°.

所以△AKE為等腰直角三角形.

所以EK=AE.

所以BH=AE.

思路4 應(yīng)用解三角形法.

證法7 如圖10所示，在Rt△DAE中， sin∠1=.……①

在△EBH中，應(yīng)用正弦定理，得=.……②

因為sin∠EBH=sin135°=sin45°=，sin∠1=sin∠2=，又DE=EH， 所以由①和②，得=.

所以BH=AE.

說明 采用解三角形的方法解決平面幾何證明問題，基本思路就是將證明轉(zhuǎn)化為計算.這種方法不用添加輔助線，過程清晰而簡捷，對于學(xué)有余力的同學(xué)（例如，參加過初中數(shù)學(xué)競賽）就像是打開了一扇窗，拓寬了幾何問題的證明路徑.

思路5 應(yīng)用解析法.

證法8 建立如圖11所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)A（0，0），B（a，0），C（a，a），D（0，a），E（b，0），則直線DE的解析式為y=-x+a，又因為DE⊥EH，所以直線EH 的解析式為y=（x-b） .……①

直線BH 的解析式為y=x-a.……②

解由①和②聯(lián)立的方程，得x=a+b，

y=b.所以H（a+b，b）. 所以BH=b.

因為AE=b，所以BH=AE.

說明 在初中學(xué)習(xí)一次函數(shù)y=kx+b（k≠0）的基礎(chǔ)上，根據(jù)兩條直線平行和垂直的條件，利用解析法證明具有垂直或平行關(guān)系的直線型平面幾何問題，簡單易行. 本題就是利用了正方形中DE和EH的垂直關(guān)系，將問題轉(zhuǎn)化為二元一次方程組的計算問題，解題思路流暢清新.

問題拓展

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，普遍存在著運(yùn)動變化、相互聯(lián)系、相互轉(zhuǎn)化的問題，這些問題中蘊(yùn)含著豐富的辯證法的哲學(xué)觀點(diǎn)，這些觀點(diǎn)對于促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展和理性精神的樹立具有重要的教育價值. 在本題中，運(yùn)動變化和相互聯(lián)系等觀點(diǎn)同樣表現(xiàn)得非常充分.

事實上，在這些具有普世價值的思想觀念的引領(lǐng)下，一方面，可以指導(dǎo)我們對問題進(jìn)行推廣和拓展;另一方面，問題拓展探究的過程又有助于我們更加準(zhǔn)確地把握和深刻地領(lǐng)會內(nèi)隱問題中的數(shù)學(xué)本質(zhì).

1. 運(yùn)動變化思想——點(diǎn)E在直線AB上運(yùn)動

（1）當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動到BA的延長線上時，如圖12所示，依題有∠EHD=45°，連接DB，∠DBE=45°，所以∠EHD=∠DBE.

所以D，E，H，B四點(diǎn)共圓.

所以∠EBH=∠EDH=45°.

所以HB是∠CBP的平分線.

由題意，得∠1=∠2.

利用解三角形法可證BH=AE.

（2）當(dāng)點(diǎn)E在AB的延長線上時，如圖13所示，連接DB，∠DBC=45°.

又∠CBP=90°，所以∠DBE=135°.

又∠DHE=45°，所以∠DBE+∠DHE=180°.

所以D，B，E，H四點(diǎn)共圓.

所以∠EDH=∠EBH=45°，BH依然是∠CBP的平分線，利用解三角形法可證BH=AE.

2. 相互聯(lián)系觀點(diǎn)——將正方形推廣到一般的正多邊形

在原題已知條件中，四邊形ABCD是正方形，是正多邊形的一種. 根據(jù)相互聯(lián)系的觀點(diǎn)，我們可以大膽猜想：如果將問題推廣到其他的正多邊形中，結(jié)論依然成立.

如圖14所示，△ABD是正三角形，點(diǎn)E在AB邊上，△DEH是正三角形時，連接HB. 因為D，E，B，H四點(diǎn)共圓不變，所以BH依然是∠DBP的平分線. 在邊AD上截取線段AK，使AK=AE，連接EK，則△AKE為正三角形，可證△DEK≌△EHB. 所以HB=EK=AE.

如圖15所示，多邊形A1 A2 A3 …An是正n多邊形，點(diǎn)E在邊A1A2上，△AnEH是頂角∠AnEH=∠A1的等腰三角形，EAn=EH，連接HA2 .

同理可證：An，E，A2，H四點(diǎn)共圓，HA2是∠A3A2P的平分線，在邊A1An上截取線段A1K，使A1K=AE，連接EK，則可證△An EK≌△HEA2. 所以HA2=EK.

設(shè)∠KA1E=α，過點(diǎn)A1作A1G⊥KE于點(diǎn)G，則∠EA1G=α，GE=KE.

在Rt△A1GE中，因為sinα=，所以EK=2A1E·sinα.

所以當(dāng)n=3時，EK=2A1E ·sin30°=A1E，A2H=A1E;

當(dāng)n=4時，EK=2A1E·sin45°=A1E，A2H=A1E;

當(dāng)n=6時，EK=2A1E·sin60°=A1E，A2H=A1E;

……

當(dāng)然，因為∠KA1E為正n邊形A1A2A3…An的一個內(nèi)角，所以∠KA1E=（n≥3），所以由半角公式，得EK=A1E（n≥3）. 據(jù)此也可以獲得上述結(jié)論.

可以說，重要的數(shù)學(xué)結(jié)論往往是“看”出來的，會“看”、能“看”需要的就是一種數(shù)學(xué)的直覺，這種直覺體現(xiàn)的正是直觀想象的素養(yǎng). 正如法國數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家H. 龐加萊在《數(shù)學(xué)中的直覺與邏輯》一文中所指出：……沒有直覺，年輕人在理解數(shù)學(xué)時便無從著手;他們不可能學(xué)會熱愛它，他們從中看到的只是空洞的玩弄詞藻的爭論;尤其是，沒有直覺他們永遠(yuǎn)也不會有應(yīng)用數(shù)學(xué)的能力……如果直覺對學(xué)生是有用的，那么對有創(chuàng)造性的科學(xué)家來說，它更是須臾不可或缺的[3].

縱觀上述問題的分析、解決和拓展過程，我們不難看到：正是數(shù)學(xué)的直覺引領(lǐng)學(xué)生自然而然地產(chǎn)生了數(shù)學(xué)的聯(lián)想，想到了蘊(yùn)藏在不同數(shù)學(xué)問題之間的本質(zhì)聯(lián)系;正是數(shù)學(xué)的思維指導(dǎo)師生水到渠成地形成了證明問題的五種基本思路. 進(jìn)而，在基于不同思路展開一題多證的過程中，學(xué)生不斷深化對幾何問題中關(guān)鍵條件和幾何圖形基本特征的本質(zhì)理解. 貫穿于其中的判斷、說理等數(shù)學(xué)思維活動，體現(xiàn)了學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng). 同時，在數(shù)學(xué)觀念的引導(dǎo)下，師生對問題進(jìn)行適度拓展，將問題推廣到一般正多邊形的情形，使學(xué)生進(jìn)一步體會并感悟到一般與特殊之間的辯證關(guān)系，感受數(shù)學(xué)知識之間的縱橫聯(lián)系以及數(shù)學(xué)思維的奇異之美.

筆者認(rèn)為：基于感覺與想象的數(shù)學(xué)思考、基于歸納總結(jié)的科學(xué)程序，將會助力學(xué)生創(chuàng)造真正的數(shù)學(xué)推理. 進(jìn)一步地，教師如果能夠適時、適當(dāng)?shù)匾龑?dǎo)學(xué)生對所研究問題的思維過程進(jìn)行深入挖掘、系統(tǒng)梳理、高度概括、理性認(rèn)識，充分提煉蘊(yùn)含其中的數(shù)學(xué)基本思想和基本活動經(jīng)驗，那么發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)便能夠落到實處[4].

參考文獻(xiàn)：

[1]中華人民共和國教育部制訂. 義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）[S]. 北京：人民教育出版社，2012.

[2]史寧中. 基本數(shù)學(xué)思想18講[M]. 北京：北京師范大學(xué)出版社，2016.

[3]鄧東皋，孫曉禮，張祖貴. 數(shù)學(xué)與文化[M]. 北京：北京大學(xué)出版社，1999.

[4]白雪峰. 提煉基本活動經(jīng)驗 ?欣賞數(shù)學(xué)理性之美——以一道初中數(shù)學(xué)競賽試題的多種解答與變式拓展為例[J]. 數(shù)學(xué)通報，2018（02）：28-31.