福建省福州市倉山區(qū)教師進(jìn)修學(xué)校 林曉捷

模型思想是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)十大核心概念之一，在《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》中，它是唯一用“思想”命名的核心概念。數(shù)學(xué)模型與生活密切相關(guān)，其原型來源于生活。在教學(xué)中滲透模型思想實則是幫助學(xué)生在頭腦中建立關(guān)于模型的結(jié)構(gòu)，并通過練習(xí)與實際操作鍛煉學(xué)生的抽象思維，激發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)興趣，從而使學(xué)生可以建立完備的數(shù)學(xué)體系，并將知識應(yīng)用在實際生活中，進(jìn)而不斷提升學(xué)生解決實際問題的能力。

一、滲透模型思想的意義

學(xué)生對問題進(jìn)行建模的過程也是對問題進(jìn)行歸納分析的過程，通過對問題進(jìn)行分析，抽象出數(shù)學(xué)問題，建立模型并解決問題。學(xué)生在經(jīng)歷整體的知識建構(gòu)之后，有利于培養(yǎng)自身搭建解決問題的思路，從而提高解決問題的能力。學(xué)生在建模的過程中首先要做的是分析問題的結(jié)構(gòu)框架，在分析過程中訓(xùn)練的是學(xué)生剖析問題與提出問題的能力，其次才是鍛煉學(xué)生解決問題的能力。教師在滲透模型思想的過程中，不斷誘導(dǎo)學(xué)生對問題進(jìn)行探究，通過思考、分析、解決和反思的循環(huán)過程，不僅有利于學(xué)生鞏固所學(xué)知識，同時也有利于其逐漸養(yǎng)成探究思維的習(xí)慣。因此，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透模型思想，建立模型顯得尤為重要。

二、理解數(shù)學(xué)的常用模型

“數(shù)學(xué)模型”代指數(shù)學(xué)語言、符號、圖形和算法等能夠概括或表述實際問題的主要特征以及主要關(guān)系的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。小學(xué)數(shù)學(xué)中蘊含的“數(shù)學(xué)模型”有：數(shù)量模型——反映一個數(shù)與另一個數(shù)之間的關(guān)系；運算模型——關(guān)于數(shù)的加減乘除運算以及一些常見的數(shù)量關(guān)系；方程模型——方程是建模思想的重要體現(xiàn)；幾何圖形模型——把每一種圖形看作一種數(shù)學(xué)模型。平面圖形的周長、面積以及立體圖形體積的計算公式教學(xué)，是模型化思想滲透的重要載體。

（一）數(shù)量模型

主要反映一個數(shù)與另一個數(shù)之間的關(guān)系，比如總數(shù)與部分?jǐn)?shù)之間的關(guān)系。一般建立的模型是“總數(shù)=部分?jǐn)?shù)+部分?jǐn)?shù)”或“總數(shù)=每份數(shù)份數(shù)”，也可以依據(jù)情境的不同引導(dǎo)學(xué)生靈活地使用這類模型來解決現(xiàn)實生活中的具體問題。

（二）運算模型

數(shù)學(xué)概念的特點是抽象、概括，有的概念對學(xué)生來說不容易直接理解，教師要善于運用運算模型尋找生活中的直觀物體或借助數(shù)學(xué)中的運算模型，借助與數(shù)學(xué)對象有關(guān)聯(lián)的實際存在物或替代物作為參照，建立與數(shù)學(xué)概念的關(guān)聯(lián)，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行形象、簡明的聯(lián)想與思考，從而深刻理解概念的內(nèi)涵與外延。小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，特別是小學(xué)中低年級，學(xué)生的思維以具體形象思維為主，教師要善于尋找學(xué)生喜歡、樂于接受的實物模型，借助與數(shù)學(xué)對象有關(guān)聯(lián)的實際存在物作為參照，建立與數(shù)學(xué)對象的關(guān)聯(lián)，便于學(xué)生進(jìn)行形象、簡明的聯(lián)想與思考，讓學(xué)生感知直觀模型，感受直觀模型對學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的幫助。例如，在小學(xué)數(shù)學(xué)“數(shù)位”的學(xué)習(xí)中，十根小棒捆成一捆，十捆裝成一盒，這里的一根小棒、一捆小棒、一盒小棒就是針對個位一、十位十、百位一百的實物直觀模型。

（三）方程模型

方程模型是指從分析問題的數(shù)量關(guān)系入手，適當(dāng)設(shè)定未知數(shù)，把所研究的數(shù)學(xué)問題中已知量和未知量之間的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為方程或方程組的數(shù)學(xué)模型，從而使問題得到解決的思維方法。方程模型的獨特優(yōu)勢是使問題簡單化，方便解題。

（四）幾何模型

這部分內(nèi)容是小學(xué)所學(xué)的平面圖形和立體圖形及相關(guān)的物體，并且這些物體和圖形是用數(shù)量、幾何特征進(jìn)行清晰表達(dá)的模型，其包含周長、面積、體積、容積相關(guān)的模型。學(xué)生只要理解和掌握這些基本幾何模型，無論圖形是大是小，無論是圖形計算題還是生活實際操作，都可以用這個公式去解決，大大節(jié)省了時間，提高了解決問題的效率。

三、模型思想的培養(yǎng)

數(shù)學(xué)解決問題是由一定的情景引起，按照一定的目標(biāo)，應(yīng)用各種認(rèn)知活動、技能等，經(jīng)過一系列的思維操作，使問題得以解決的過程。數(shù)學(xué)問題能否得到正確解決首先取決于學(xué)生對問題的理解分析是否正確。但問題通常都具有抽象性的特點，學(xué)生很難理解，也難以轉(zhuǎn)化為自己可理解的內(nèi)部語言，此時如何將問題表述的內(nèi)容轉(zhuǎn)化為自己可理解的內(nèi)容成為學(xué)生能否解決問題的先決條件，巧用各類解決問題模型，就能有效解決這個問題。借助各類解決問題模型這一解決問題的策略，通過模型思想來揭示數(shù)量之間的關(guān)系，將抽象的數(shù)學(xué)問題、數(shù)量關(guān)系變得簡單形象、有模型、善拓展，不僅使解題思路簡捷明了，還有助于學(xué)生拓展解題思路，豐富數(shù)學(xué)解題策略。

（一）先探索后建模，再驗證

給予學(xué)生充分的時間，讓學(xué)生經(jīng)歷構(gòu)建模型的探索過程，然后在探索已有經(jīng)驗的基礎(chǔ)上構(gòu)建模型，進(jìn)行教學(xué)。比如各種平面圖形的周長、面積，立體圖形的體積、表面積公式的探索，還有各種運算定律的探索等。在學(xué)生學(xué)習(xí)了教材各種基本模型以后，利用已有知識解決新的更加復(fù)雜的各種問題，能夠舉一反三（如圖1），如方程問題、植樹問題、雞兔同籠、找次品、抽屜原理等。

（二）減少“講與聽”，增加“說與做”

心理學(xué)研究表明，學(xué)習(xí)者采用不同的學(xué)習(xí)方式，其收獲顯著不同，看一遍的收獲是10%，聽一遍是20%，說一遍是70%，動手做一遍（如操作、演練等）是90%。

從中我們可以看出，減少學(xué)生被動聽講的時間，增加學(xué)生表達(dá)、操作、互動的時間是最有效的一種建模方式（如圖2）。例如，小組合作學(xué)習(xí)過程中兩人一組互相說一遍，動手寫一寫，會比只聽教師或其他人講一遍收獲大得多。

（三）借助幾何直觀模型，形象理解概念

數(shù)學(xué)概念的特點是抽象概括，是事物本質(zhì)屬性的反映。概念、定義、公式、法則、定律、規(guī)則等都是概念性知識，這些知識對于學(xué)生而言，有兩種獲得的方式：類比和概括。當(dāng)學(xué)生學(xué)習(xí)新的數(shù)學(xué)概念時，利用已有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的概念與新的概念之間建立聯(lián)系進(jìn)行認(rèn)知，即遷移類比。從大量具體例子出發(fā)，概括出新概念的本質(zhì)屬性概念，從而認(rèn)知新的概念，即歸納概括。教師要善于鼓勵學(xué)生在學(xué)習(xí)中發(fā)現(xiàn)所學(xué)知識的規(guī)律，教學(xué)時有意識地培養(yǎng)學(xué)生在畫圖中構(gòu)造直觀模型的能力，通過引導(dǎo)學(xué)生畫幾何直觀圖，把語言抽象的表述轉(zhuǎn)化為具體可感的探究載體，在直觀模型中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，獲得探索數(shù)學(xué)知識的方法，積極建構(gòu)數(shù)學(xué)知識體系，促進(jìn)發(fā)現(xiàn)規(guī)律、應(yīng)用規(guī)律意識的生成。

圖3

圖4

圖5

通過以上實例，不難看出數(shù)學(xué)概念的特點是抽象、概括。有的概念對學(xué)生來說不容易直接理解，教師要善于運用幾何直觀模型，尋找生活中的直觀物體或借助數(shù)學(xué)中的直觀圖形，借助與數(shù)學(xué)對象有關(guān)聯(lián)的實際存在物或替代物作為參照，建立與數(shù)學(xué)概念的關(guān)聯(lián)，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行形象、簡明的聯(lián)想與思考，從而深刻理解概念的內(nèi)涵與外延。

（四）借助直觀模型，探索發(fā)現(xiàn)規(guī)律

模型思想是指借助于一定的經(jīng)驗，借助表象或聯(lián)想到的數(shù)學(xué)模型，直接把握數(shù)學(xué)的本質(zhì)的能力。利用適當(dāng)?shù)膱D形、幾何模型進(jìn)行數(shù)學(xué)解釋，能夠開拓學(xué)生思路，幫助學(xué)生理解和接受抽象的數(shù)學(xué)內(nèi)容和方法，直觀的數(shù)學(xué)模型能讓數(shù)學(xué)變得通俗易懂。模型思想不僅在“圖形與幾何”的學(xué)習(xí)中發(fā)揮著不可替代的作用，而且貫穿在整個數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中。模型思想能力是學(xué)生重要的數(shù)學(xué)能力之一，可通過初步感知模型思想、探索發(fā)現(xiàn)規(guī)律、構(gòu)造運用模型、反思模型合理性等來培養(yǎng)學(xué)生的模型思想能力。

圖6

教師要善于鼓勵學(xué)生在學(xué)習(xí)中發(fā)現(xiàn)所學(xué)知識的規(guī)律，從一年級開始，教學(xué)時有意識地培養(yǎng)學(xué)生在畫圖中構(gòu)造直觀模型能力，通過引導(dǎo)學(xué)生畫幾何直觀模型，把抽象的語言表述轉(zhuǎn)化為具體可感的探究載體，畫圖發(fā)現(xiàn)規(guī)律，做到動口、動腦、動手，體驗規(guī)律的形成過程。在直觀模型中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，獲得探索數(shù)學(xué)知識的方法，積極建構(gòu)數(shù)學(xué)知識體系，促進(jìn)發(fā)現(xiàn)規(guī)律、應(yīng)用規(guī)律意識的生成。

總之，數(shù)學(xué)是一種模型科學(xué)，數(shù)學(xué)教學(xué)同樣是模型建構(gòu)的教學(xué)。小學(xué)數(shù)學(xué)的內(nèi)容雖然簡單，但卻蘊含深刻的數(shù)學(xué)思想，教學(xué)中應(yīng)將感悟作為學(xué)生獲得數(shù)學(xué)基本思想的途徑和要求。教師要有意識地引領(lǐng)學(xué)生建構(gòu)有意義的數(shù)學(xué)模型，滲透數(shù)學(xué)模型思想，引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)數(shù)學(xué)模型，促進(jìn)學(xué)生把握數(shù)學(xué)模型的本質(zhì)，才能切實減輕學(xué)生的學(xué)業(yè)負(fù)擔(dān)，達(dá)到“減負(fù)提質(zhì)”的最佳效果。