俞瑜
【摘 要】本文以“圓柱的表面積”教學(xué)為例,探索在幾何教學(xué)中,通過為學(xué)生創(chuàng)建探索的空間,讓學(xué)生經(jīng)歷操作、觀察、比較等數(shù)學(xué)活動,探索新知,溝通與舊知之間的聯(lián)系;通過多維建構(gòu),助力學(xué)生思維品質(zhì)的提升,讓深度學(xué)習(xí)真實地發(fā)生,讓學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)得以提升。
【關(guān)鍵詞】探索 深度學(xué)習(xí) 核心素養(yǎng)
“圖形與幾何”是小學(xué)數(shù)學(xué)課程的四個領(lǐng)域之一。在這一板塊的學(xué)習(xí)中,通常需要學(xué)生通過觀察、操作、實驗等具體活動來獲得感性認識和理性思維。本文以“圓柱的表面積”教學(xué)為例,談一談如何在幾何教學(xué)中為學(xué)生創(chuàng)建探索的空間,促進學(xué)生真正意義上的深度學(xué)習(xí),提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。
一、逆向思維,化難為易,突破知識難點
學(xué)生接觸的長方體和正方體都是由平面圖形圍成的幾何體,而圓柱作為旋轉(zhuǎn)體,表面既有平面又有曲面。因此,在教學(xué)圓柱的表面積計算時,如何突破曲面的面積計算成了教學(xué)難點。按照教材的編排,從圓柱的側(cè)面這個曲面入手進行探究,提出“圓柱形罐頭側(cè)面的商標(biāo)紙的面積大約是多少平方厘米”這樣一個問題,引發(fā)學(xué)生思考。教材引導(dǎo)學(xué)生沿著接縫把商標(biāo)紙剪開,看展開后的圖形與圓柱之間的關(guān)系,并提示學(xué)生思考兩個問題:①這個長方形的長和寬與圓柱有什么關(guān)系?②怎樣計算圓柱的側(cè)面積?通常這一環(huán)節(jié)并不具有普遍的操作性,學(xué)生根據(jù)教材的示意圖,直觀建立商標(biāo)紙剪開后是一個長方形這樣的表象,并沒有實際操作,經(jīng)歷知識生成的過程,建立長方形的長和寬與圓柱的底面周長和高之間的對應(yīng)關(guān)系,因此曲面面積計算這一難點沒有得到很好的突破。同時,思路也將根據(jù)教材的安排被局限在“化曲為直”這一數(shù)學(xué)思想方法上。
那么,探索圓柱的側(cè)面積是否只能“化曲為直”呢?學(xué)生在課堂中能否人人操作探究,完成“化曲為直”的過程并進行比較和思考呢?如果換一個角度,逆向思維,“化直為曲”操作的可能性就大了許多。
教學(xué)片段:
1.創(chuàng)建立體圖形,初步感知聯(lián)系
活動一:用一張長方形紙做出一個立體圖形
學(xué)生小組合作,積極思維,創(chuàng)建出多種幾何體(如圖1),并進行交流展示。其中有圓柱、長方體、三棱柱、八棱柱等多種立體圖形的側(cè)面。
圖1
師:不管你們怎么做,得到的都是立體圖形的側(cè)面。仔細觀察你折出的立體圖形,它們與長方形的長和寬有什么聯(lián)系?
(此時學(xué)生展開立體圖形,又合攏,通過這一操作,直觀感受長方形的長和寬與立體圖形之間的聯(lián)系。)
生1:我發(fā)現(xiàn)長方形紙片的長就是這個長方體底面上長方形的周長,長方形紙片的寬就是我折的這個長方體的高。
生2:我的發(fā)現(xiàn)和他的差不多,長方形的長就是這個三角形的周長,長方形的寬是這個立體圖形的高。
生3:長方形紙片的長就是這個多邊形的周長(邊演示邊說),長方形的寬就是這個立體圖形的高。
生4:我發(fā)現(xiàn)長方形的長是圓柱底面這個圓的周長,長方形的寬是這個圓柱的高。
師:不管你折的立體圖形的底面是一個什么圖形,我們都發(fā)現(xiàn)了長方形的長就是這個圖形的周長,長方形的寬就是這個立體圖形的高。其他同學(xué)也有這樣的發(fā)現(xiàn)嗎?
在此活動過程中,學(xué)生折出了更多樣的立體圖形。其中折出長方體是學(xué)生已有的經(jīng)驗積累,其他的立體圖形都是課堂中的生成性問題。不管折出的是怎樣的直棱柱,長方形紙片所代表的都是立體圖形的側(cè)面。通過展開、合攏地操作和直觀地觀察、比較,便能夠輕易得出底面周長和高與長方形長、寬之間的關(guān)系。教學(xué)難點在此得到第一次突破。
2.創(chuàng)造不同圓柱,完成模型建構(gòu)
活動二:用長方形紙創(chuàng)建出一個圓柱
師:剛才有同學(xué)用長方形紙圍出了圓柱,你也能用手中的紙圍出一個圓柱嗎?圍好后觀察你的圓柱和長方形之間有什么聯(lián)系。
生1:我圍的圓柱的底面周長是長方形的長,圓柱的高是長方形的寬。
生2:我的圍法和她的不同。我圍的圓柱的底面周長是長方形的寬,而圓柱的高是長方形的長。
師:通過圍一圍,再展開觀察,我們發(fā)現(xiàn)一種圍法是將長方形的長作為圓柱底面周長,長方形的寬作為圓柱的高;另一種圍法是將長方形的寬作為圓柱的底面周長,長方形的長作為圓柱的高。
第一次“化直為曲”,學(xué)生初步建立了立體圖形側(cè)面與長方形長和寬之間的聯(lián)系,第二次活動則讓全體學(xué)生參與創(chuàng)造圓柱、探究圓柱側(cè)面與長方形之間的聯(lián)系。
3.溝通新舊聯(lián)系,形成知識遷移
出示圖2
師:同學(xué)們,通過剛才的兩次操作,我們成功地用一張長方形紙片創(chuàng)建出了長方體和圓柱???,用長方形的長或?qū)捵鳛榈酌嬷荛L,能夠得到這兩種不同的長方體,這是我們已經(jīng)學(xué)過的知識。同樣,用長方形的長或?qū)捵鳛榈酌嬷荛L,也能夠得到兩種不同的圓柱。不管是哪一種折法,長方形紙都圍出了它們的側(cè)面。
圖2
這幅圖的呈現(xiàn),將兩次活動串聯(lián)在一起,形成知識體系,使學(xué)生清晰地認識到圓柱側(cè)面與長方形之間的關(guān)系。兩次操作,既突破了難點,又溝通了新舊知識之間的聯(lián)系。
二、多維建構(gòu),形成認知,強化知識重點
深度學(xué)習(xí)是理解性的學(xué)習(xí),是將新知識整合進原有的知識結(jié)構(gòu)的過程學(xué)習(xí),從本質(zhì)上講就是由經(jīng)驗引起的學(xué)習(xí)者原有觀念的轉(zhuǎn)變。這就需要在課堂中結(jié)合學(xué)生原有知識,多次進行新知的模型建構(gòu)。圓柱表面積模型的建構(gòu),可以從“做—畫—比—思”入手。
1.第一次建構(gòu)——做一個圓柱
活動二中,用長方形紙片折出圓柱體(實為圓柱的側(cè)面),學(xué)生完成了對圓柱側(cè)面積的模型建構(gòu)。因此,圓柱側(cè)面積的計算方法水到渠成。在此基礎(chǔ)上,讓學(xué)生思考圓柱完整的表面積的計算方法。
教學(xué)片段:
師:要補齊這個圓柱體,還需要補什么面?
生1:還需要補兩個底面。
師:你能計算出這兩個圓的面積嗎?怎樣計算?
生1:我想量圓的直徑,然后算出半徑,再根據(jù)圓面積的公式算出圓的面積。
師:在一個圓中量它的直徑,需要找到……(圓心),在測量之前,我們還要先想辦法找到圓的圓心。
(與學(xué)生達成共識,這個方法在測量時有難度。)
師:有更好的辦法嗎?你能聯(lián)系長方形的長和寬來進行思考嗎?
生2:可以量長方形的一條邊,根據(jù)底面周長反過來推算出圓的半徑,這樣就能算出圓的面積了。
師:你們認為這個方法怎么樣?
生3:比直接測量圓的直徑簡單。
師:是的,同學(xué)們,這一次你們化曲為直,找到了便捷的方法。
學(xué)生通過自主性地思考,發(fā)現(xiàn)圓柱的表面積需由三個面組成,并通過比較、討論達成共識:需要量長方形的一條邊,根據(jù)周長算出半徑,再一次鞏固了對圓柱底面周長和長方形邊之間關(guān)系的認識。通過這次操作,學(xué)生完整建立起圓柱表面積的整體模型,找到求圓柱底面積的關(guān)鍵所在,抓住了知識重點。
2.第二次建構(gòu)——畫一個圓柱
活動要求:在方格紙上畫一個圓柱
通過畫圓柱展開圖,將立體圖形轉(zhuǎn)化到平面,完成對圓柱表面積模型的整體認知。由整體到部分,再由部分組成整體,符合立體圖形認知的一般規(guī)律。
3.第三次建構(gòu)——比較相同點
比較圓柱表面積和長方體的表面積在計算方法上有什么共同點。學(xué)生發(fā)現(xiàn)表面積都等于側(cè)面積+兩個底面積。從實物直觀(紙折圓柱)到模型直觀(平面圖)到語言直觀(比較相同點),從具象到抽象,完成了圓柱表面積模型的三次建構(gòu),同時完善了學(xué)生的認知體系,培養(yǎng)了思維素養(yǎng)和空間觀念。
4.第四次建構(gòu)——回顧本節(jié)課的收獲
讓學(xué)生在課的尾聲談一談本節(jié)課的收獲,學(xué)生通過表達彰顯了思維過程,也對自我進行了審視。通過總結(jié)、反思,才能檢驗學(xué)生是否真正地理解了所學(xué)知識,深度學(xué)習(xí)是否真正發(fā)生。
三、前延后展,提升素養(yǎng),關(guān)注知識生長點
“圓柱的表面積”是學(xué)生在直觀地認識圓柱和球、認識圓、圓的周長和面積,以及學(xué)習(xí)了長方體和正方體的特征、表面積及體積的基礎(chǔ)上進行學(xué)習(xí)的。學(xué)生在之前的學(xué)習(xí)中積累了豐富的圖形與幾何的學(xué)習(xí)經(jīng)驗。因此,在探索圓柱表面積計算方法時,充分利用之前知識來進行切入。圓柱表面積的計算方法適用于所有直柱體。在設(shè)計兩次探究活動時,由特殊性到普遍性,通過聯(lián)系舊知,學(xué)生的已有經(jīng)驗進行了遷移,激發(fā)了學(xué)生探究的熱情,主動拓展到三棱柱的側(cè)面積=三角形的周長×高,八棱柱的側(cè)面積=八邊形的周長×高……即都是用底面周長×高,學(xué)生找到了解決這一類型題目的方法,進行知識的延展,形成了基本的邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)建模等核心素養(yǎng)。
深度學(xué)習(xí)倡導(dǎo)學(xué)生深入知識的內(nèi)核,獲取知識之外重要的思維價值,促進知識與思維的協(xié)同發(fā)展。當(dāng)教材以規(guī)范化的形式進行內(nèi)容編排、知識固定時,學(xué)習(xí)活動可以打破傳統(tǒng)模式,逆向而上,通過多維建構(gòu),為學(xué)生創(chuàng)造探索的空間,幫助學(xué)生構(gòu)建模型,提升幾何直觀,積累數(shù)學(xué)經(jīng)驗,完善認知結(jié)構(gòu),實現(xiàn)深度的理解。
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