陳沛余

[摘? 要] 在發(fā)展學生核心素養(yǎng)的大背景下，研究者對高三一輪復習課做了一些新的嘗試，充分了解學生的情況，編擬微專題，以“導數(shù)的幾何意義——切線方程”為例，明確目標，由淺入深，以點帶面，見微知著，提高復習效率，提升核心素養(yǎng).

[關鍵詞] 高三一輪復習;核心素養(yǎng);提高效率

高三一輪復習是整個高三復習的基礎和關鍵.高三數(shù)學一輪復習多以某本教輔為藍本，按部就班地對知識、技能、方法等逐點梳理，以喚醒學生的記憶. 隨著時間的推移，學生會對這種教學方式產生疲勞甚至厭倦，以至于一輪復習結束后學生無法牢固掌握知識，解題能力沒有提高，思維停滯不前，數(shù)學核心素養(yǎng)的提升更是淪為空談.那么一輪復習如何才能提高效率、提升核心素養(yǎng)呢？筆者嘗試在一輪復習中穿插微專題復習，明確目標，對某一重點、難點或疑點進行突破.例如，在復習導數(shù)時，將“導數(shù)的幾何意義——切線方程”這一學生經常出錯的問題作為重點突破. 下文是筆者講授這節(jié)課的教學實錄以及教學思考.

[?] 教學過程回顧

1. 創(chuàng)設情境，回顧導數(shù)的幾何意義

教師：同學們，我們前段時間學習了導數(shù)，那么導數(shù)有什么意義呢？我們先看視頻（視頻截圖如圖1所示）.

這是殲-15在遼寧艦上的起飛現(xiàn)場.這個視頻中最激動人心的時刻是什么？是不是戰(zhàn)斗機起飛脫離甲板的這一瞬間？飛機在甲板上滑行一定距離后必須達到一定角度才能起飛，角度怎么求呢？從側面看，這是甲板的圖像，如圖2所示，建立平面直角坐標系，能得到函數(shù)解析式. 如果函數(shù)解析式是y=（ex-1），飛機在x=10處起飛，那么飛機飛離甲板的瞬間方向如何？也就是該點處的切線斜率該怎么求呢？

學生異口同聲：求導！

教師：對，我們已經學習過導數(shù)了，知道可以用導數(shù)求這一點處的切線斜率.也就是說，函數(shù)y=f（x）在點x處的導數(shù)的幾何意義就是曲線y=f（x）在點P（x，f（x））處的切線斜率k，那么這節(jié)課我們就來著重講一下如何運用導數(shù)的幾何意義解決切線問題.

點評：著名心理學家皮亞杰認為，一切有效的工作必須是以某種動機為先決條件的. 動機分為內部動機（興趣、需要）和外部動機（追求激勵、逃離懲罰）.? 事實上，內部動機比外部動機更利于思維的開發(fā)，也就是說資源要足夠引起學生的興趣.視頻中殲-15在遼寧艦上起飛非常地振奮人心，吸引學生的注意力，調動課堂氣氛，一系列的問題引導學生構建導數(shù)模型解決飛機離開甲板的瞬時方向問題. 數(shù)學學習從枯燥乏味的被動接受轉換為了縱橫捭闔的思維游戲，學生發(fā)現(xiàn)導數(shù)在生活中具有實際意義，課堂的有效性也就自然地流淌出來了.

2. 嘗試——解決在某點處的切線問題

題1：曲線y=ex的一條切線的斜率為1，則切點的橫坐標為_________.

題2：曲線y=mx+lnx在點（1，m）處的切線斜率為0，則m=_____.

題3：曲線f（x）=x3+x+1在點（1，3）處的切線方程為______.

由教師板書解題過程.

教師：這3個問題比較簡單，第一題已知曲線和切線斜率，求切點的橫坐標，第二題已知切點和切線斜率求曲線，第三題已知曲線和切點求切線方程，所以切線問題實為切線、切點、曲線三者“知二求一”的問題（如圖3所示），其中什么最重要？（學生答：切點）對，因為我們要用導數(shù)去解決切線問題，就肯定要知道某點處的切線斜率，也就是切點的導數(shù). 所以切點是最重要的.

下面我們總結：函數(shù)在某點處，也就是函數(shù)f（x）在點P（x，y）處的切線方程是y-y=f′（x）·（x-x）.

點評：設計3道簡單的在某點處的切線問題，旨在低起點、慢啟動，在教師的指導下，學生通過理解、研究導數(shù)的幾何意義，總結出解決函數(shù)切線問題的一般規(guī)律，提升數(shù)學邏輯推理素養(yǎng).

3. 提升——求解過某點的切線方程

題4：求過點P（0，-1），且與曲線y=xlnx相切的直線方程.

教師：這個點在曲線上嗎？

學生：不在，需要設切點.

教師（邊講解邊板書）：對，切點知道了，斜率就知道了. 因為斜率是該點處的導數(shù)值，求導得f′（x）=lnx+1，設切點為（x，y），那么斜率k=lnx+1，由點斜式寫出切線方程為y-xlnx=（lnx+1）（x-x），將（0，-1）代入切線方程得x=1，所以切線方程為x-y-1=0.

題5：求過點P（2，8），且與曲線y=x3相切的直線方程.

請學生練習，教師展示生1的解法：因為y′=3x2，k=12，所以l：y-8=12（x-2）.

教師：只有這一個答案嗎？現(xiàn)在思考一個問題：點P（2，8）在曲線y=x3上，切線過這個點，這個點就一定是切點嗎？（有學生回答“不是”，也有學生沉默表示疑惑）

通過幾何畫板把圖像畫出來，如圖4所示，發(fā)現(xiàn)在這一點處的切線確實是存在的.

請生1上講臺，在一體機上直接拖動切線，探索是否存在過點P、但點P不是切點的切線. 如圖5所示，生1通過親身體驗，發(fā)現(xiàn)這樣的切線也是存在的，因此不能單純地把點P當成切點.

生2：所以這題要分兩種情況，一種為點P是切點，一種為點P不是切點.

教師展示生2的解答過程：點P不是切點，設切點為（x，y），則k=3x=（x≠2），即3x-6x=x-8，即x-3x+4=0. 三次方程因式分解得（x+1）（x-2）2=0，解得x=-1，x=2（舍），進而得到切線方程.

教師：我的做法是，同樣設切點為（x，y），則切線方程為y-x=3x（x-x），將（2，8）代入切線方程，得三次方程x-3x+4=0，和生2一樣因式分解得（x+1）（x-2）2=0，解得x=-1，x=2，因此切線方程有兩個. 這樣做避免了討論.

教師引導學生一起總結：過某點的切線問題分為“點在曲線上”與“點不在曲線上”，“點在曲線上”又細分為“該點是切點”和“該點不是切點”. 做題策略為：不論什么情況，先設出切點，因為切點處的導數(shù)是切線的斜率，所以只要用導數(shù)去解決切線問題，一定會用到切點，如圖6所示. 時刻牢記，切點很重要.

點評：蘇霍姆林斯基說過，如果學生想牢固地掌握數(shù)學知識，必須用內心創(chuàng)造和體驗的方法學習數(shù)學. 培養(yǎng)數(shù)學運算能力的關鍵在于“做中學”“做中悟”，即親身體驗. 過某點的切線問題設計了兩個層次，一是“點不在曲線上”，可以直接設切點求解切線方程;二是“點在曲線上”，通過學生板演暴露思維誤區(qū)，再利用幾何畫板請學生親自動手操作，發(fā)現(xiàn)錯誤并糾正錯誤，提升其直觀想象、邏輯推理素養(yǎng)，進而主動尋求真知、理清概念、正本清源.

4. 拓展——探究切線的存在性問題

探究：函數(shù)f（x）=xlnx是否存在過點

，0的切線？

學生靜靜思考，一時未有思路.

教師：大家對這個函數(shù)不是特別熟悉，我們先來觀察圖像（如圖7所示），你們有哪些發(fā)現(xiàn)？

生3：這個函數(shù)圖像是先遞減再遞增的，而且遞增的這部分有一種向下凹的感覺，所以切線肯定在函數(shù)圖像的下方，不可能經過

，0.

教師：很有道理，大家都是這么想的嗎？

（學生交頭接耳，小聲議論）

生4：我也不確定，幾何畫板給出的只有這一小段圖像，無窮遠處無法判斷.

教師：這位同學的疑問也有道理，無窮遠處的情況我們可以想象嗎？我們的想象一定對嗎？也許無窮遠處的圖像是向上凸的呢？因此我們的想象不能代替結論.就算我們的想象是正確的，那么又如何證明呢？

學生：設切點！

教師與學生一起板書解答過程：設切點為（x，y），寫出切線方程，將

，0代入切線方程，判斷x是否存在.（詳細解答過程略）

課后思考題：函數(shù)f（x）=xlnx是否存在過點（a，0）（0<a<1）的切線？

點評：本題對數(shù)學推理、數(shù)學抽象以及數(shù)學運算能力提出了較高要求. 高中數(shù)學課程標準指出：“高中數(shù)學課程應為學生提供選擇和發(fā)展的空間，為學生提供多層次、多種類的選擇，以促進學生的個性發(fā)展和對未來的人生規(guī)劃的思考.”[1]布魯納說過，“探索是數(shù)學的生命線”. 嚴謹性是學習數(shù)學最基本的要求，是思維品質的基礎，在一定程度上影響著解題能力. 學生在主動探究、相互質疑中發(fā)現(xiàn)想象并不能代替結論，掌握知識的同時還學習了數(shù)學方法，獲得了情感體驗. 通過對切線存在性問題的拓展探究，教師留下的是課堂探究時間，開發(fā)的是學生的思維和素養(yǎng).

5. 歸納總結，形成解題思維

回放圖6，教師及時帶領學生站在整體的高度進行梳理與歸納，幫助學生跳出問題，進而駕馭問題，促進學生“大徹大悟”：本節(jié)課主要學習的是，利用導數(shù)的幾何意義解決切線問題的三個題型，發(fā)現(xiàn)切線問題本質上是曲線、切線、切點三者的關系問題，在某點處切線的斜率即為該點處的導數(shù)，因此利用導數(shù)解決切線問題的關鍵是切點.

[?] 教學反思

1. 微專題復習，由淺入深，滲透核心素養(yǎng)

根據(jù)高考的重點，以及高一、高二學段學生掌握知識的情況，筆者編擬了“導數(shù)的幾何意義——切線方程”這一微專題，主題鮮明. 例題選取緊緊圍繞考綱，設置了“在某點處的切線問題”“過某點的切線問題”“切線的存在性問題”三個層次的題型，由淺入深，促進不同層次的學生積極思考，使所有學生都有收獲.堅決摒棄教師照本宣科、一講到底的模式，讓學生成為課堂的主角，從課堂引入、例題分析、幾何畫板動手實踐、合作探究等各個環(huán)節(jié)，有目的地培養(yǎng)其思維的嚴謹性和靈活性，滲透數(shù)學建模、數(shù)學抽象、數(shù)學運算、邏輯推理、直觀想象等數(shù)學核心素養(yǎng).

2. 元認知提問，見微知著，激發(fā)學習動機

動機常常是“認知不協(xié)調問題”，即一個人經歷的事物與他的觀念相沖突，而“認知不協(xié)調問題”常產生于問題驅動[2]. 本節(jié)課中，筆者在學生的最近發(fā)展區(qū)開展思維風暴，通過“飛機飛離甲板的瞬間方向如何？該點處的切線斜率如何求？”“切線問題中切點、切線、曲線什么最重要？”“該點在曲線上嗎？這個點一定是切點嗎？”“如果不是切點怎么解決這個問題？”“無窮遠處的情況我們可以想象嗎？我們的想象一定對嗎？也許無窮遠處的圖像是向上凸的呢？就算我們的想象是正確的，那么又如何證明呢？”等一系列元認知提問，引發(fā)學生的認知沖突，激發(fā)學習動機，使學生通過獨立思考以及合作探究解決“思維障礙”，提煉出“利用導數(shù)解決切線問題的關鍵點是切點”這一結論，從而完善學生的認知結構. 同時，學生認識到筆者是真誠地對他們的想法感興趣，學習數(shù)學的幸福感自然增加了，有利于學習動機的激發(fā)與持續(xù).

3. 思規(guī)律重歸納，以點帶面，提高復習效率

本節(jié)課以“在某點處的切線問題”和“過某點的切線問題”為突破口，進行一題多變、一題多解、一法多題的訓練，并適時進行知識類比、歸納推廣，將切線問題的思維圖多次呈現(xiàn)給學生，促使學生在異中求同、同中求異，帶領學生對“切線的存在性問題”進行深入探究.以點帶面，讓學生從會解一道題，到理解一類題，再到掌握一系列題，挖掘知識本質，深化數(shù)學理解，掌握知識的規(guī)律性，擺脫“題?！?，提高復習效率.

參考文獻：

[1]? 中華人民共和國教育部. 普通高中數(shù)學課程標準（2017年版2020年修訂）[S]. 北京：人民教育出版社，2020.

[2]? 花奎. 微型探究揭本質，深度學習促素養(yǎng)——一節(jié)習題研究課的教學活動及課后調研和思考[J]. 中學教研（數(shù)學），2017（12）：4-8.