方蘇云

【摘? ?要】聚焦小數(shù)除法高頻率錯(cuò)誤，鏈接與之密切相關(guān)的“除數(shù)是兩位數(shù)的除法”單元進(jìn)行整體教學(xué)，從“橫向重組，精煉單元整體架構(gòu);縱向拓展，完善單元間聯(lián)系;縱橫交錯(cuò)，關(guān)聯(lián)內(nèi)在核心指向”三個(gè)維度，通過大概念將原本分散的知識(shí)進(jìn)行整合，讓學(xué)生經(jīng)歷建構(gòu)完整知識(shí)體系的過程，促進(jìn)學(xué)生有深度的結(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí)。

【關(guān)鍵詞】大概念;單元教學(xué);關(guān)聯(lián)缺失;重組拓展

基于大概念展開單元教學(xué)已成為當(dāng)前學(xué)科教學(xué)中落實(shí)核心素養(yǎng)的趨勢(shì)。數(shù)學(xué)大概念指向數(shù)學(xué)核心內(nèi)容與核心教學(xué)任務(wù)，它能反映數(shù)學(xué)本質(zhì)，是將數(shù)學(xué)關(guān)鍵思想和相關(guān)內(nèi)容聯(lián)系起來的關(guān)鍵“錨點(diǎn)”。小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)一般以“冊(cè)”為基準(zhǔn)，以“單元”為目標(biāo)，分“課時(shí)”進(jìn)行，教學(xué)中師生都較少關(guān)注單元間的關(guān)聯(lián)。下面以人教版教材五年級(jí)上冊(cè)“小數(shù)除法”和四年級(jí)上冊(cè)“除數(shù)是兩位數(shù)的除法”這兩個(gè)單元的內(nèi)容為例，基于大概念，從知識(shí)關(guān)聯(lián)的視角對(duì)不同單元間的知識(shí)進(jìn)行重新審視與研究，提出重組拓展的對(duì)策。

一、點(diǎn)擊“小數(shù)除法”計(jì)算的高頻率錯(cuò)誤

教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，學(xué)生在“小數(shù)除法”計(jì)算中的錯(cuò)誤率明顯高于“小數(shù)乘法”，尤其是錯(cuò)在：商中間有“0”的小數(shù)除法;被除數(shù)、除數(shù)“小數(shù)位數(shù)不同”的除法;轉(zhuǎn)化后成為“多位數(shù)除以兩位數(shù)”的除法。仔細(xì)琢磨后發(fā)現(xiàn)，小數(shù)除法中“商中間不夠商1就商0”與整數(shù)除法的處理方法是相同的，而“被除數(shù)的小數(shù)點(diǎn)是隨著除數(shù)的小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)位數(shù)而定的”是小數(shù)除法的關(guān)鍵，即將小數(shù)除法轉(zhuǎn)化成除數(shù)是整數(shù)的除法來計(jì)算，照理學(xué)生不應(yīng)該出現(xiàn)如此高頻率的錯(cuò)誤。思索之余，自然聯(lián)想到學(xué)生是否在四年級(jí)上學(xué)期“除數(shù)是兩位數(shù)的除法”學(xué)習(xí)中出現(xiàn)了“斷層點(diǎn)”，是否積累了充足的除法計(jì)算經(jīng)驗(yàn)。因此考慮，或許能在“除數(shù)是兩位數(shù)的除法”與“小數(shù)除法”這兩個(gè)單元中找到根治的“藥方”。

二、解讀兩單元教材，鏈接教學(xué)關(guān)聯(lián)與缺失

為進(jìn)一步尋找錯(cuò)因，有必要再次閱讀兩單元教材，厘清教材的“序”，打通知識(shí)的“脈”，整體剖析兩個(gè)單元之間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)與缺失。

（一）解讀教材內(nèi)容編排結(jié)構(gòu)

1.“小數(shù)除法”單元

教材編排緊扣“被除數(shù)的小數(shù)點(diǎn)是隨著除數(shù)的小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)位數(shù)而定的”這一關(guān)鍵點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生按整數(shù)除法的計(jì)算方法進(jìn)行運(yùn)算。內(nèi)容安排逐步遞進(jìn)，螺旋上升，例題及“做一做”中的絕大多數(shù)習(xí)題是兩位數(shù)除兩位數(shù)、兩位數(shù)除三位數(shù)、兩位數(shù)除四位數(shù)，在“商的近似數(shù)和循環(huán)小數(shù)”中甚至涉及兩位數(shù)除五位數(shù)、兩位數(shù)除六位數(shù)，商是多位數(shù)的除法。

2.“除數(shù)是兩位數(shù)的除法”單元

教材一共編排了10個(gè)例題，包括除數(shù)是兩位數(shù)的口算、筆算、商的變化規(guī)律及簡(jiǎn)便計(jì)算。內(nèi)容編排注重層次性，強(qiáng)化試商的經(jīng)歷，展現(xiàn)計(jì)算思路。但仔細(xì)梳理后發(fā)現(xiàn)，絕大多數(shù)習(xí)題是兩位數(shù)除三位數(shù)、兩位數(shù)除兩位數(shù)，商最多是兩位數(shù)的除法。

（二）厘清兩個(gè)單元教學(xué)的關(guān)聯(lián)

從圖1中可以清楚地看到，小數(shù)除法的算理基礎(chǔ)是小數(shù)的意義和性質(zhì)，算法基礎(chǔ)是整數(shù)除法，無論在知識(shí)技能上，還是在思想方法上，都與“除數(shù)是兩位數(shù)的除法”密切關(guān)聯(lián)。

（三）分析對(duì)比明了“缺失”所在

1.“除數(shù)是兩位數(shù)的除法”中，商是兩位數(shù)的練習(xí)量缺失

“除數(shù)是兩位數(shù)的除法”是整數(shù)除法的最后部分，在一定程度上影響著“小數(shù)除法”的學(xué)習(xí)，但教材中“商是兩位數(shù)的整數(shù)除法”例題數(shù)只占該單元例題總數(shù)的40%;小題數(shù)約占單元小題總數(shù)的18%;絕大部分習(xí)題中的商是一位數(shù)。可見，商是兩位數(shù)的練習(xí)量明顯不足;商是三位數(shù)、四位數(shù)的幾乎沒有。顯然，這對(duì)后續(xù)學(xué)習(xí)“小數(shù)除法”的計(jì)算埋下一定的“隱患”。

2.“除數(shù)是兩位數(shù)的除法”中，“兩位數(shù)除多位數(shù)”內(nèi)容缺失

“小數(shù)除法”單元中安排了“商中間有0、商是多位數(shù)”的習(xí)題，反觀“除數(shù)是兩位數(shù)的除法”單元，根本沒有安排“兩位數(shù)除多位數(shù)，即商是多位數(shù)”的除法。的確，在除數(shù)是一位數(shù)的除法中，學(xué)生經(jīng)歷過商是多位數(shù)的計(jì)算過程，但“小數(shù)除法”中的絕大部分計(jì)算轉(zhuǎn)化后是“除數(shù)是兩位數(shù)的整數(shù)除法”，因此有理由相信“兩位數(shù)除多位數(shù)”內(nèi)容的缺失，是造成“小數(shù)除法”出錯(cuò)的源頭。

面對(duì)上述關(guān)聯(lián)與缺失，展開如下探討與思辨：一是如何彌補(bǔ)缺失;二是在彌補(bǔ)過程中課時(shí)怎么調(diào)整;三是用怎樣的理念支撐研究行為。筆者結(jié)合教學(xué)實(shí)際及學(xué)生情況，基于大概念教學(xué)理念，嘗試對(duì)單元教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行整合、重組與拓展，依托大任務(wù)、大問題達(dá)成教學(xué)目標(biāo)。

三、基于大概念，對(duì)單元內(nèi)容進(jìn)行重組與拓展

大概念即核心概念、共通概念，并非數(shù)學(xué)教學(xué)中具體的某個(gè)概念，而是指向數(shù)學(xué)學(xué)科的基本結(jié)構(gòu)和方法，是其他知識(shí)得以發(fā)生與依附的主根?！俺龜?shù)是兩位數(shù)的除法”與“小數(shù)除法”兩個(gè)單元間的重組與拓展，就是通過大概念將分散的知識(shí)進(jìn)行鏈接，以促進(jìn)學(xué)生的結(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí)。

（一）橫向重組，精煉單元整體架構(gòu)

知識(shí)間的橫向交融能形成一定的知識(shí)脈絡(luò)，與學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)建立關(guān)聯(lián)，使數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)在結(jié)構(gòu)中具有再生力。

1.“除數(shù)是兩位數(shù)的除法”單元重組——基于大概念“除數(shù)是整十?dāng)?shù)的除法”

從大概念視角看“除數(shù)是兩位數(shù)的除法”單元內(nèi)的所有知識(shí)，都可由“除數(shù)是整十?dāng)?shù)的口算、筆算”孕育而出。其中，“筆算除法”中的例1～例7，任何一個(gè)兩位數(shù)的除數(shù)，都可看作整十?dāng)?shù)來試商、調(diào)商，用“除數(shù)是整十?dāng)?shù)的除法”這個(gè)大概念來重組，可以使知識(shí)體系結(jié)構(gòu)更主干化。重組前后對(duì)比如圖2所示。

2.“小數(shù)除法”單元重組——基于大概念“除數(shù)是整數(shù)的除法”

將“小數(shù)除法”轉(zhuǎn)化成“整數(shù)除法”來計(jì)算是本單元的內(nèi)核。將例1～例3和例6～例8按“除數(shù)是整數(shù)的小數(shù)除法”來重組，讓學(xué)生在充分理解并掌握計(jì)算方法后，再學(xué)習(xí)“除數(shù)是小數(shù)的除法”，可以使知識(shí)結(jié)構(gòu)更簡(jiǎn)潔，思路更清晰，脈絡(luò)更整體，能讓學(xué)生領(lǐng)悟小數(shù)除法的本質(zhì)——轉(zhuǎn)化成“除數(shù)是整數(shù)”的思想方法。重組前后對(duì)比如圖3所示。

（二）縱向拓展，完善單元間聯(lián)系

數(shù)學(xué)的知識(shí)技能、思想方法的縱向深度發(fā)展往往直接影響著學(xué)生的后續(xù)學(xué)習(xí)。學(xué)生只有在前一階段理解掌握的基礎(chǔ)上，才能順利進(jìn)入下一階段的深度學(xué)習(xí)。

1.“除數(shù)是兩位數(shù)的除法”單元拓展——基于大概念的“整數(shù)除法的計(jì)算思想原理”

為有效防止“小數(shù)除法”計(jì)算中高頻錯(cuò)誤的發(fā)生，對(duì)“除數(shù)是兩位數(shù)的除法”單元進(jìn)行縱向拓展，主要指向兩位數(shù)除多位數(shù)。拓展學(xué)習(xí)路徑如圖4所示。

通過大問題驅(qū)動(dòng)學(xué)生思考，讓學(xué)生在自主編題、互查互糾中熟練方法;在分類比較中，進(jìn)一步理解兩位數(shù)除多位數(shù)的計(jì)算方法;在對(duì)比辨析中，掌握確定商的位置的策略。經(jīng)歷了“散—聚”的學(xué)習(xí)過程后，學(xué)生的思維會(huì)更加深刻。

2.“小數(shù)除法”單元拓展——基于大概念的“整數(shù)除法中商的變化規(guī)律”

本節(jié)拓展課重在探究小數(shù)除法的商和余數(shù)的變化規(guī)律，用大問題推動(dòng)教學(xué)，并融入計(jì)算器教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生觀察發(fā)現(xiàn)規(guī)律并加以運(yùn)用。拓展學(xué)習(xí)路徑如圖5所示。

啟動(dòng)整數(shù)除法“商的變化規(guī)律”經(jīng)驗(yàn)，研究小數(shù)除法“商的變化規(guī)律”，能幫助學(xué)生在知識(shí)技能和活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)積累上進(jìn)行系統(tǒng)的關(guān)聯(lián)，讓小數(shù)除法的商與余數(shù)規(guī)律也更加清晰明了化。

（三）縱橫交錯(cuò)，關(guān)聯(lián)內(nèi)在核心指向

因篇幅限制，著重對(duì)“除數(shù)是兩位數(shù)的除法”中“口算”和“筆算”兩節(jié)課進(jìn)行闡述，體現(xiàn)關(guān)聯(lián)的內(nèi)在核心指向。

1.探尋口算除法的秘密——指向內(nèi)容的關(guān)聯(lián)

教材第87頁例8所呈現(xiàn)的內(nèi)容是學(xué)生掌握口算除法的基礎(chǔ)。因此在口算除法第一課時(shí)設(shè)計(jì)了大任務(wù)“探尋口算除法的秘密”，目的是打通口算除法與商的變化規(guī)律之間的關(guān)聯(lián)。整體思路如圖6所示。

教學(xué)前對(duì)學(xué)生進(jìn)行了前測(cè)，內(nèi)容包括“直接寫出得數(shù)”“用自己喜歡的方式表示”和“算算、想想，你發(fā)現(xiàn)了什么”，主要目的是找準(zhǔn)教學(xué)起點(diǎn)，摸清關(guān)聯(lián)抓手。從前測(cè)數(shù)據(jù)來看，學(xué)生對(duì)除數(shù)是整十?dāng)?shù)的口算除法具備一定的經(jīng)驗(yàn)與基礎(chǔ)，50%以上的人能用圖式、算式、語言來表述除數(shù)是整十?dāng)?shù)的口算除法，但對(duì)商的變化規(guī)律比較陌生。因此，實(shí)際教學(xué)中的重點(diǎn)是理解“口算”算理，難點(diǎn)是理解商的變化規(guī)律，將算法熟練融入到找商的變化規(guī)律中。

實(shí)際教學(xué)后對(duì)學(xué)生（共計(jì)84人）進(jìn)行了后測(cè)，后測(cè)內(nèi)容與前測(cè)內(nèi)容基本一致，增加了運(yùn)用商的變化規(guī)律解決問題的內(nèi)容，正確率統(tǒng)計(jì)如表1所示。

從統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)看，將商的變化規(guī)律融入口算除法教學(xué)，學(xué)生自主學(xué)習(xí)積極性高，且口算練習(xí)不枯燥，練習(xí)量也得到保證。

2.除數(shù)是整十?dāng)?shù)的筆算除法——指向方法的關(guān)聯(lián)

將教材中例1、例2、例3（1）、例4、例6，用大任務(wù)串聯(lián)，緊緊圍繞“除數(shù)是整十?dāng)?shù)的筆算除法”這一內(nèi)容，運(yùn)用情境圖及小棒圖表征算理與算法，在“題組”對(duì)比中，學(xué)生感知到“除數(shù)不是整十?dāng)?shù)的筆算除法”與“除數(shù)是整十?dāng)?shù)的筆算除法”存在關(guān)聯(lián)，體會(huì)到計(jì)算方法的相通之處。整體思路如圖7所示。

教學(xué)前對(duì)學(xué)生進(jìn)行了前測(cè)，內(nèi)容包括筆算除法、試商基礎(chǔ)、解決問題。從前測(cè)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)看，學(xué)生具有一定的試商基礎(chǔ)，近50%的人能正確填寫最大數(shù)，但用豎式計(jì)算基本不會(huì)。實(shí)際教學(xué)中的重點(diǎn)是理解用“豎式”如何表征計(jì)算過程，掌握正確的書寫方式，計(jì)算時(shí)，把除數(shù)看成“整十?dāng)?shù)”來試商，在對(duì)比中突破“商的位置的確定”，掌握計(jì)算方法。

實(shí)際教學(xué)后對(duì)學(xué)生（共計(jì)84人）進(jìn)行了后測(cè)，測(cè)試內(nèi)容主要是筆算除法、商位數(shù)的確定和解決問題，正確率統(tǒng)計(jì)如表2所示。

從統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)來看，學(xué)生經(jīng)歷這節(jié)課后，用豎式計(jì)算掌握得很不錯(cuò)，近50%的人能進(jìn)行兩位數(shù)除多位數(shù)的豎式計(jì)算;在商位數(shù)的確定上正確率達(dá)到70%以上。

3.兩位數(shù)除多位數(shù)和小數(shù)除法的規(guī)律——指向活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)、思想方法的關(guān)聯(lián)

“小數(shù)除法的規(guī)律”的教學(xué)著重利用整數(shù)除法中“商的變化規(guī)律”思路展開;“兩位數(shù)除多位數(shù)”的教學(xué)則沿用“除數(shù)是整十?dāng)?shù)”的思想方法展開，這兩節(jié)課都在大問題驅(qū)動(dòng)下，對(duì)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)、思想方法進(jìn)行了關(guān)聯(lián)。學(xué)習(xí)路徑在前面已闡述，不再贅述。

四、單元后測(cè)對(duì)比與思考

（一）后測(cè)對(duì)比

對(duì)實(shí)驗(yàn)班與對(duì)比班各84人進(jìn)行了單元后測(cè)，后測(cè)主要聚焦“小數(shù)除法”單元，包括小數(shù)除法規(guī)律的應(yīng)用（商的變化規(guī)律14題，探索余數(shù)規(guī)律3題）、豎式計(jì)算（8題）、解決問題（2題）三大方面，正確率如表3所示。

從統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)看，對(duì)小數(shù)除法中余數(shù)意義的理解及小數(shù)除法規(guī)律的應(yīng)用，實(shí)驗(yàn)班的正確率明顯高于對(duì)比班，特別是商中間有“0”的被除數(shù)是多位數(shù)的除法，實(shí)驗(yàn)班正確率依然高于對(duì)比班;在解決問題中，沒有非常明顯的差異，但從試卷看，對(duì)比班有列式錯(cuò)誤和計(jì)算錯(cuò)誤，而實(shí)驗(yàn)班只有計(jì)算錯(cuò)誤。

（二）分析思考

綜觀整個(gè)研究過程，基于大概念指導(dǎo)研究與實(shí)踐行為，在縱橫交錯(cuò)中架構(gòu)單元間知識(shí)、方法、經(jīng)驗(yàn)的關(guān)聯(lián)，形成大結(jié)構(gòu)體系，能有效促進(jìn)學(xué)生深度學(xué)習(xí)的發(fā)生。然而，這樣的回溯研究經(jīng)歷時(shí)間長(zhǎng)、跨度大，研究中可變因素較多，在控制影響因素上具有一定的挑戰(zhàn)性。

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（浙江省杭州市富陽區(qū)教育發(fā)展研究中心? ?311499）