姚競豪，穆成昱，高宇涵，孫 維

(沈陽航空航天大學，沈陽 110135)

供暖系統(tǒng)解決了居民的采暖問題，但有時流量過小，沒能使室溫達到人體的舒適溫度，有時流量過大使室內(nèi)燥熱難耐，多余的熱量導致資源浪費。針對這些問題，以一間50 m2的房間為例，對其室內(nèi)溫度調(diào)控進行了分析并提出以下問題：

問題1：當室外溫度為0℃、進水口流量為0.5 m3/h時，求房間的空間溫度分布。

問題2：當室外溫度為0℃、進水口流量在0.1～1變化時，求房間的動態(tài)溫度分布。

1 問題分析

問題1：假設室外溫度恒定，且暖氣進水溫度/流量都恒定，暖氣內(nèi)部水速恒定，房間溫度分布將趨于穩(wěn)定，不再隨時間發(fā)生變化。采用穩(wěn)態(tài)傳熱法進行研究，建立了房間溫度分布模型，討論房間南北方向上的溫度分布。利用導熱微分方程討論房間中任意單位空間的溫度傳導情況，根據(jù)第二類邊界條件及能量守恒定律中單位時間水的散熱等于單位時間窗戶、玻璃及冷風滲透散熱之和，據(jù)此對微分方程進行求解，得到溫度關于空間的一維分布函數(shù)。

問題2：不同流量時房間溫度的動態(tài)分布。在問題1的基礎上引入了一個新的維度-流量。建立了房間溫度隨空間與暖氣流量的二維模型T(x，V)，以此模型來研究不同流量下房間溫度的動態(tài)分布。

2 模型假設

對房間的空間布局與設計進行了假設。房間大小為50 m2，房間高為2.8 m。房間南北為外墻，與室外接觸，長為5 m，每面墻上有一扇窗戶，規(guī)格為2 m×1.5 m；東西為內(nèi)墻，不與室外接觸，長為10 m。房間采用暖氣片供熱方式，共兩扇，南北墻窗戶正下方各一扇，每扇暖氣片長2 m，高1 m。假設房間進水口每小時流量介于0.1～1 m3。建設入水口進水溫度為40℃；假設水和暖氣片之間不發(fā)生對流換熱；假設窗戶為鋼窗厚度為3 cm；假設墻為一磚實心墻，厚度為24 cm；假設不發(fā)生輻射傳熱；假設題目所給房間和隔壁房間不發(fā)生傳熱。

對問題1追加假設：假設室外溫度恒定為零度；假設水流速固定，為0.5 m3/h；假設暖氣中水溫在房間內(nèi)處處相同，等于進水溫度；假設外墻溫度和窗戶外側(cè)溫度等于外界溫度；假設暖氣外壁溫度與相鄰的空氣溫度相同；假設暖氣回水溫度為緊貼暖氣側(cè)的空氣溫度。

3 模型的建立與求解

3.1 溫度分布模型的建立

3.1.1 基于對稱分布的模型簡化

由模型假設，暖氣水溫在房間內(nèi)處處相等，且房間南北兩側(cè)傳熱過程同時進行，因此溫度呈對稱分布。以房間北側(cè)作為研究對象，建立溫度分布模型。

3.1.2 穩(wěn)態(tài)導熱微分方程

題設中外界溫度和暖氣流量及暖氣入水溫度恒定，因此將達到一個穩(wěn)態(tài)。定義了一個微元控制體積，確認相關的能量傳輸過程，并引入能量傳輸速率方程所得，結(jié)果是一個微分方程，在邊界條件給定的情況下，其解是給出介質(zhì)的溫度分布。

圖1 體積元能量守恒演示圖Fig.1 Energy conservation demonstration diagram of volume element

利用CAD繪制體積元能量守恒演示圖，藍色代表x，y，z方向熱量輸入，黃色代表x，y，z方向熱量輸出，紅色為體積元中的內(nèi)熱元，本題沒有內(nèi)熱元，選取x方向進行討論。

根據(jù)能量守恒定律，溫度達到平衡時，暖氣產(chǎn)熱等于房間散熱和使房間內(nèi)空氣溫度升高的熱量之和?；诖舜_立的一維穩(wěn)態(tài)傳熱微分方程模型如下：

T″(x)=0

3.1.3 邊界條件的設立

僅用該模型求解T(0)，實際暖氣水溫仍然為進水溫度(40℃)。

A.暖氣片理想散熱模型。

假想暖氣片為以隔熱面與墻壁緊密接觸，房間不再直接與墻壁進行換熱，而是通過暖氣片與墻壁進行間接散熱。由于暖氣管道內(nèi)壁和水密切接觸，為了簡化模型，假設暖氣管道內(nèi)壁的溫度等于入水溫度。隨著t(時間)的增加，房間的溫度分布趨于恒定，并且在熱傳導中，溫度分布處處連續(xù)，不會發(fā)生突變，所以將水散失熱量后趨于穩(wěn)定的溫度視為房間T(x=0)的實際溫度，即T(0)=Tw。

B.能量守恒模型。

由能量守恒定律可知：

Q產(chǎn)=Q散

其中，

Q產(chǎn)=Qw=cm(Two-Tw)

Tw0為入水溫度，Tw為水散失后的溫度。

Q散=Qm+Qc

其中，Qm是房間通過墻壁和窗戶散失的熱量，Qc是通過冷風滲透散失的熱量。

C.熱流密度。

在沒有內(nèi)熱源和物性為常數(shù)的一維傳熱情況下，熱擴散和電荷擴散之間存在著類比關系，如導電與電阻之間的關系一樣，導熱與熱阻也存在同樣的關系，熱阻可以定義為驅(qū)動，是相應的傳輸比率，且同樣存在串并聯(lián)的關系。

查找了玻璃與墻壁的導熱系數(shù)k1與k3，分別計算了墻壁與玻璃的熱阻：

R1=h1/(S1*k1)

R3=h3/(S3*k3)

其中，h為厚度，S為面積。

由于墻與窗戶為并聯(lián)體系，所以平均熱阻為：

Rm=(R1×R3)/(R1+R3)

墻與窗戶平均熱流密度為：

qm=(Tw-Tout)/(Rm*Sm)

Sm=S1+S3

總面積=墻壁面積+窗戶面積。

基于查找資料，得到暖氣片材質(zhì)的k2(暖氣片材質(zhì)導熱系數(shù))。

q2=((Tw0-Tw)*k2)/h2

D.熱量計算。

根據(jù)比熱容計算水的產(chǎn)熱：

Qw=cm(Tw0-Tw)

m=ρV

根據(jù)平均熱流密度qm計算墻與玻璃散熱：

Qm=qmSt

考慮冷風滲透[1]，查閱文獻[2]得知鋼窗的冷風滲透量，計算了其散熱：

Qc=0.278Vaρa(Tw-Tout)

E.方程求解。

將Qw,Qm,Qc代入方程解出：

Tw= 34.564℃

所以，

T(0)=Tw=34.564℃

3.1.4 一階初值條件的求解

將暖氣片假想成一張位于x=0處的隔熱面，但實際并非將暖氣片進行拉伸，假設原來暖氣片分解為了無窮多點，讓這些點均勻分布在x=0(墻壁面上)，這些點面積之和不變，仍為原來暖氣片面積，計算其熱流密度，作為暖氣片假想面的平均熱流密度，根據(jù)第二類邊界條件進行了求解。

根據(jù)暖氣片的熱流密度，由第二類邊界條件列出一階初值條件：

T″(0)=-k(Two-T(0))

3.1.5 溫度場的描繪

根據(jù)微分方程及其初值條件，利用MATLAB對方程進行了求解，溫度分布方程如下：

T=34.56-1.174x

繪制了房間溫度和到北側(cè)暖氣距離的函數(shù)圖像，如圖2。

圖2 0℃時房間溫度變化圖Fig.2 Room temperature change at 0℃

由圖2可以看出，隨著x的增大，房間溫度單調(diào)遞減，圖形為線性，即單位距離下降的溫度恒定，房間溫度隨離暖氣的距離增加而線性減少。由于房間溫度對稱分布，在x=5到x=10，房間溫度線性增加。

3.2 基于空間和入水流量的溫度動態(tài)分布模型

3.2.1 房間溫度動態(tài)溫度模型的建立

在問題1中，基于流量為0.5 m3/h，建立了溫度的空間分布模型。在問題2中，將流量作為變量，對模型進行重建。

3.2.2 能量守恒模型重建

Qw=cwVw(Tw0-Tw)

Qm=qmSmt

Qc=0.278Vaρa(Tw-Tout)

于是有：

Qw=Qm+Qc

解得：

Tw=(1.68×108V)/(4.2×106V+3.303×105)

3.2.3 溫度分布模型重建

T″(x) =0

q2=((Tw0-Tw)k2)/h2

T(0)=Tw

將Tw代入微分方程組：

T(x,V)=x((3.629×107V)/(4.2×106V+3.303×105)-8.64)+(1.68×108V)/(4.2×106V+3.303×105)

利用MATLAB繪制圖像如圖3：

圖3 室外溫度0℃時房間溫度隨流量V，距離x變化圖Fig.3 Change of room temperature on flow V and distance x at 0℃ outdoor

由圖3可以看出，隨著x的增大或V的減少，房間溫度均呈單調(diào)遞減，但它們對溫度的影響程度不同，V越小，房間溫度隨x的下降速度越快(斜率越大)。由溫度的對稱分布可知，x=5到x=10處溫度變化情況相同[3]。

4 模型評價

利用外圍護結(jié)構(gòu)散熱、能量守恒和暖氣產(chǎn)熱的能量守恒及第二類邊界條件和一維穩(wěn)態(tài)導熱微分方程描繪室內(nèi)溫度場的變化，考慮了流量對室內(nèi)溫度的影響，保證了模型的嚴謹性和準確性。本模型可以求解單個典型房間的溫度場變化，適用范圍廣，可操作性強，精確度高。