王志堅

【摘要】本文旨在闡述以希沃一體機(jī)與網(wǎng)絡(luò)畫板（離線播放器）為主要教學(xué)設(shè)備，開展《任意角的三角函數(shù)》的教學(xué)活動。筆者通過動態(tài)演示，輔助學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)思維，理解任意角與單位圓交點，建立三角函數(shù)與交點坐標(biāo)的一一對應(yīng)關(guān)系，從而讓學(xué)生形成三角函數(shù)的數(shù)學(xué)概念，并更好地發(fā)現(xiàn)三角函數(shù)的規(guī)律性。

【關(guān)鍵詞】網(wǎng)絡(luò)畫板;高中數(shù)學(xué);三角函數(shù)

在信息化2.0的背景下，高中數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)當(dāng)有效應(yīng)用計算機(jī)信息技術(shù)，逐步實現(xiàn)高中數(shù)學(xué)信息化教學(xué)，幫助學(xué)生理解透徹所學(xué)到的數(shù)學(xué)知識，落實高中數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，從而提高學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成績，保障高中數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量。三角函數(shù)是高中數(shù)學(xué)最重要的函數(shù)之一，是最典型的周期函數(shù)，是描述客觀世界中表現(xiàn)周期現(xiàn)象變化規(guī)律的基本數(shù)學(xué)模型，在提升學(xué)生數(shù)學(xué)抽象邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運算、數(shù)據(jù)分析等素養(yǎng)上也具有不可替代的重要作用。在思想方法上，本設(shè)計著重概念的形成，通過分析、探究、概括思維的邏輯加工，依據(jù)已有三角函數(shù)的知識基礎(chǔ)，重新認(rèn)識任意角三角函數(shù)的定義，并在后續(xù)的解題上，強化定義的形成和運用。作為《任意角的三角函數(shù)》的教學(xué)重點，任意角三角函數(shù)的定義將貫穿課程始終。從單位元的出現(xiàn)，到終邊交點坐標(biāo)與函數(shù)之間的聯(lián)系。與已有經(jīng)驗不同，三角函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系不以“代數(shù)運算”為媒介，而是以“幾何元素之間的對應(yīng)”，強調(diào)三角函數(shù)得到的過程，最終形成定義。網(wǎng)絡(luò)畫板是專業(yè)的數(shù)學(xué)教學(xué)平臺，為教師和學(xué)生提供一個操作的環(huán)境，讓數(shù)學(xué)真正動起來。通過互聯(lián)網(wǎng)，廣大教師在平臺上共享課件資源，并根據(jù)自己的教學(xué)需要重新編輯制作。學(xué)生也能夠利用網(wǎng)絡(luò)畫板進(jìn)行自主探究，培養(yǎng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣?；谏鲜霰尘?，筆者決定使用網(wǎng)絡(luò)畫板進(jìn)行三角函數(shù)的輔助教學(xué)。

一、具體實施

1.教學(xué)問題診斷

已有的基礎(chǔ)知識可能成為本節(jié)知識學(xué)習(xí)的羈絆。一方面，初中階段我們已經(jīng)在直角三角形的前提下，初步掌握了三角函數(shù)中正弦、余弦、正切的定義，即直角三角形中的各邊比值。而在本節(jié)內(nèi)容學(xué)習(xí)中，由于角的范圍拓展，三角函數(shù)無法通過直角三角形給予更多的支持，同時定義也由原來的“邊的比值”變?yōu)椤白鴺?biāo)的對應(yīng)關(guān)系”，這在理解上讓學(xué)生很難轉(zhuǎn)變，乃至部分學(xué)生始終希望能讓三角函數(shù)的定義回歸到“邊的比值”上，無法完成本節(jié)課程的內(nèi)容學(xué)習(xí)。另一方面，在本冊書中，我們先后學(xué)習(xí)了函數(shù)的性質(zhì)及包括指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)等初等函數(shù)，確定了“以代數(shù)運算”為媒介的學(xué)習(xí)載體。而本節(jié)內(nèi)容，三角函數(shù)的建立以“幾何元素之間的對應(yīng)”為模型，這在認(rèn)識上必須采取措施破除定勢，幫助學(xué)生搞清楚三角函數(shù)的“三要素”，特別是要先明確“給定一個角，如何得到對應(yīng)的三角函數(shù)值”的操作過程，從而得出定義。

2.溫故知新

以初中已有三角函數(shù)定義為基礎(chǔ)，說明已有知識基礎(chǔ)對于任意角的限制，引出本節(jié)課程內(nèi)容學(xué)習(xí)的必要性。如圖1。

3.以自然現(xiàn)象為背景，引入任意角三角函數(shù)概念

筆者以PPT觀察為教學(xué)活動（四季更替、潮汐現(xiàn)象），提出問題，引出學(xué)生了解“周期現(xiàn)象在現(xiàn)實生活中大量存在”，從而引入任意角三角函數(shù)概念。如圖2。

4. 概念生成，引入網(wǎng)絡(luò)畫板輔助教學(xué)

引入單位圓，并將角放置于單位圓中，終邊與單位圓產(chǎn)生。此過程中特別需要強調(diào)“一一對應(yīng)”—即角、終邊、終邊與單位圓交點及其坐標(biāo)均唯一。根據(jù)角的范圍擴(kuò)充，我們需要一個一般性的方法來重新定義三角函數(shù)。通過在直角坐標(biāo)系中角的終邊與單位圓的交點，我們可以建立三角函數(shù)的模型，并通過交點坐標(biāo)，從而言之有物地刻畫出三角函數(shù)的定義。

以銳角情況為基礎(chǔ)，給出三角函數(shù)定義，繼而推廣到任意角。思考：如圖3，RT△ABC中，∠C=90°，若已知a=3，試求sinA，cosA，tanA的值。

解：由初中已掌握直角三角形中三角函數(shù)的定義，sinA=a/c=3/5，cosA=b/c=4/5，tanA=a/b=3/4

思考：銳角三角函數(shù)（在單位圓中）若|OP|=r=1，則以原點O為圓心，以單位長度為半徑的圓，稱為單位圓。

sinα=MP/OP=b? cosα=OP/OP=a? tanα=MP/OM=b/a

然而，學(xué)生對引入單位圓的原因難以理解，傳統(tǒng)地使用畫圖的方法難以讓學(xué)生深度學(xué)習(xí)本節(jié)課的知識。因此，筆者引入網(wǎng)絡(luò)畫板進(jìn)行輔助。利用網(wǎng)絡(luò)畫板的軌跡、計算、旋轉(zhuǎn)、跟蹤功能，能夠?qū)⑶€較為準(zhǔn)確、直觀地展示出來，體會數(shù)形結(jié)合的思想。如圖4。在明確三角函數(shù)定義的基礎(chǔ)上，依據(jù)交點坐標(biāo)與函數(shù)的關(guān)系，我們可以有效地探討三角函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系，包括符號的判斷。角在不同象限對于三角函數(shù)值變化的影響，配以動態(tài)過程演示，強化三角函數(shù)的定義及相關(guān)簡單性質(zhì)的理解。

5.學(xué)生反饋與教師反思

課后，教師對學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查，并根據(jù)學(xué)生的學(xué)習(xí)成果進(jìn)行反思，對網(wǎng)絡(luò)畫板的應(yīng)用進(jìn)行修改。

二、教學(xué)成效

1.實施效果

課堂效果整體情況：本節(jié)課在A班共52名同學(xué)參與，使用了網(wǎng)絡(luò)畫板進(jìn)行輔助教學(xué)，通過課堂作業(yè)反饋，有46名同學(xué)能正確完成課堂練習(xí)題目，正確率達(dá)到88.46%。另有一節(jié)在B班的同課異構(gòu)課，沒有使用網(wǎng)絡(luò)畫板進(jìn)行輔助，參與課堂的同學(xué)為49名，能正確完成課堂練習(xí)題目的同學(xué)有36名，正確率為73.47%。

課后作業(yè)：A班測試卷滿分100，平均分81.2分;B班測試卷滿分100分，平均分71.9分。

2.應(yīng)用前景

從上述課堂實踐和課后作業(yè)表明，網(wǎng)絡(luò)畫板可以幫助學(xué)生強化“一個角，一個三角函數(shù)值”的對應(yīng)關(guān)系，區(qū)別與一次函數(shù)、二次函數(shù)的“代數(shù)運算”。三角函數(shù)強調(diào)的是幾何要素關(guān)系，在一般函數(shù)概念引導(dǎo)下的“下位學(xué)習(xí)”，由三角函數(shù)對應(yīng)關(guān)系的獨特性，讓學(xué)生再一次認(rèn)識函數(shù)的本質(zhì)。

因此，本節(jié)課的實施效果證明了網(wǎng)絡(luò)畫板對于高中數(shù)學(xué)函數(shù)教學(xué)是可行的。在信息化教學(xué)2.0的背景下，以信息技術(shù)手段為載體，通過對網(wǎng)絡(luò)畫板的合理利用，能幫助學(xué)生落實數(shù)學(xué)建模能力，提高高中學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科的核心素養(yǎng)。

未來，我們將在校內(nèi)推廣網(wǎng)絡(luò)畫板，著重幫助高二、高三的學(xué)生突破學(xué)科上的教學(xué)難點。

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