韓友發(fā)， 張宇濃, 燕佳鈺, 姜明慧

(遼寧師范大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，遼寧 大連 116029)

本論文主要分為兩個(gè)部分,第一部分介紹一些基本知識(shí),包括紐結(jié)鏈環(huán)的定義,Alexander多項(xiàng)式和Jones多項(xiàng)式的表達(dá)形式與性質(zhì);第二部分,重點(diǎn)討論了排叉結(jié)P(k,1,…,1)和P(k,k,k)的瓊斯多項(xiàng)式的零點(diǎn)分布性質(zhì)，給出了某些單位根不是解的證明.

1 預(yù)備知識(shí)

1.1 紐結(jié)的基本概念

定義1.1把嵌入歐式空間R3或者三維球面S3中的圓周S1稱(chēng)為紐結(jié).若給紐結(jié)規(guī)定一個(gè)方向,則得到有向紐結(jié).

定義1.2由有限條互不相交的簡(jiǎn)單閉曲線構(gòu)成的圖形,稱(chēng)為鏈環(huán);組成鏈環(huán)的每一條閉曲線稱(chēng)為該鏈環(huán)的一個(gè)分支；如果給鏈環(huán)的每一個(gè)分支規(guī)定一個(gè)方向,則稱(chēng)該鏈環(huán)為有向鏈環(huán).

定義1.3對(duì)有向投影圖L的全體交叉點(diǎn)符號(hào)(+1或-1)(見(jiàn)圖1)求和,結(jié)果稱(chēng)為L(zhǎng)的擰數(shù),記作ω(L).

圖1 交叉點(diǎn)符號(hào)

1.2 紐結(jié)多項(xiàng)式

引理1.1[3]亞歷山大多項(xiàng)式Δ(L)的3個(gè)基本性質(zhì)：

(1)同痕不變量.

(2)拆接關(guān)系式:

(3)Δ()=1.

引理1.2[3]設(shè)L是紐結(jié)的任意一個(gè)有向投影圖，則都有一個(gè)關(guān)于t的整系數(shù)多項(xiàng)式V(L),同時(shí)滿(mǎn)足下面3個(gè)性質(zhì)：

(1)它是同痕不變量.

(2)滿(mǎn)足拆接關(guān)系式:

(3)平凡紐結(jié)的多項(xiàng)式為

V()=1.

則稱(chēng)V(L)是L的瓊斯多項(xiàng)式.

1.3 排叉結(jié)

定義1.4排叉結(jié)p(c1,c2,…,cn)由n元數(shù)組(c1,c2,…,cn)確定,i=1,2,…,n(n≥3),|ci|表示該位置的半扭轉(zhuǎn)數(shù),ci的正負(fù)表示扭轉(zhuǎn)數(shù)的正負(fù)(見(jiàn)圖2)．

圖2 p(c1,c2,…,cn)標(biāo)準(zhǔn)圖

2 排叉結(jié)及排叉鏈環(huán)的瓊斯多項(xiàng)式零點(diǎn)性質(zhì)

引理2.1[7]當(dāng)k是偶數(shù)時(shí),P(k,1,…,1)為排叉紐結(jié),其瓊斯多項(xiàng)式為

t1-n+(t+t-1+1)·(tk-1)·(-1)n-1}.

(1)

當(dāng)k是奇數(shù)時(shí),P(k,1,…,1)為排叉紐結(jié),其瓊斯多項(xiàng)式為

Vp(k(1),1(n-1))(t)=

(2)

(tk+t+t-1+1)·t1-n+(t+t-1+1)·(tk-1)·(-1)n-1，

得到

(3)

根據(jù)i4k=1,i4k+1=i,i4k+2=-1,i4k+3=-i(k為整數(shù))，可以分下幾種情況討論(見(jiàn)表1，表2)：

表1 取值討論表

表2 取值討論表

當(dāng)k為偶數(shù),n為偶數(shù)時(shí)： 此時(shí)式(3)變?yōu)?/p>

同樣以下幾種情況討論：

2.2 排叉鏈環(huán)P(k,k,k)的瓊斯多項(xiàng)式零點(diǎn)性質(zhì)

引理2.3[7]當(dāng)k是正整數(shù)時(shí),排叉鏈環(huán)P(k,k,k)的瓊斯多項(xiàng)式為

(4)

t3k+(t+t-1+1)[3tk+(-1)3k(t+t-1)],

得到

由數(shù)學(xué)歸納法知

循環(huán)重復(fù)取值,周期為8(見(jiàn)表3).

表3 取值討論表

當(dāng)k≠4n時(shí)，虛部不為0，結(jié)論成立.

當(dāng)k=4n時(shí)，虛部為0，下面證明實(shí)部不為0.

表4 取值討論表