李美蓮,鄧青英

(1.廈門大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,福建廈門361005;2.龍巖學(xué)院數(shù)學(xué)與計算機科學(xué)學(xué)院,福建龍巖364000)

虛擬鏈環(huán)的Kauffman尖括號多項式的Maple計算

李美蓮1,2*,鄧青英2

(1.廈門大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,福建廈門361005;2.龍巖學(xué)院數(shù)學(xué)與計算機科學(xué)學(xué)院,福建龍巖364000)

將Itik和Banks對經(jīng)典鏈環(huán)的Kauffman尖括號多項式的計算方法推廣到虛擬鏈環(huán),算法使用了圈置換的方法計算虛擬鏈環(huán)投影圖的每一種狀態(tài)下的圈的個數(shù).所謂虛擬鏈環(huán)投影圖的狀態(tài)是指對投影圖中每個經(jīng)典交叉進行A-smoothing或B-smoothing操作,而對虛擬交叉點采用直走的兩條小弧線代替后所得的結(jié)果.利用Maple軟件編寫出了該算法的程序,可以實現(xiàn)任意一個虛擬鏈環(huán)的Kauffman尖括號多項式的計算.

虛擬鏈環(huán);Kauffman尖括號多項式;Maple程序

1 預(yù)備知識

文獻[1-2]引進了虛擬紐結(jié)理論,它是經(jīng)典紐結(jié)理論的推廣.一個虛擬鏈環(huán)投影圖本質(zhì)上是一個帶有標(biāo)記為虛擬交叉點的鏈環(huán)投影圖.一般地,一個虛擬鏈環(huán)投影圖由n個分段線性的閉合平面曲線組成,在這些曲線中有有限個重點,并且在每個重點正好兩段弧線交叉穿過.每個重點或者是一個經(jīng)典的交叉結(jié)構(gòu)(圖1(a))或者是一個虛擬交叉結(jié)構(gòu)(圖1(b)).一個虛擬鏈環(huán)指的是虛擬鏈環(huán)投影圖在廣義Reidemeister變換下的等價類.

圖1 虛擬鏈環(huán)投影圖Fig.1 Virtual link diagrams

正如鏈環(huán)投影圖一樣,為了美觀,把虛擬鏈環(huán)投影圖畫成光滑的(如圖1(c)).需要強調(diào)的是虛擬交叉點沒有上線,下線的交叉結(jié)構(gòu),這種交叉不是原投影圖(投影到曲面上)本身結(jié)構(gòu)的部分,而是將其畫到平面上時產(chǎn)生的.

設(shè)L是一個虛擬鏈環(huán)投影圖,令φ(L)為經(jīng)典交叉點的集合,L的一個狀態(tài)s是指一個φ(L)到{A,B}的函數(shù),即給L的每個經(jīng)典交叉點指定一個標(biāo)記A或B.L的所有狀態(tài)構(gòu)成的集合記為ψ(L).

將投影圖L中的一個經(jīng)典交叉點鄰近的4個區(qū)域分為兩個A區(qū)域,兩個B區(qū)域,其中上行線按逆時針方向轉(zhuǎn)至下行線所掃過的兩個區(qū)域為A區(qū)域,另兩個區(qū)域為B區(qū)域(見圖2(a)).

圖2 A區(qū)域與B區(qū)域與打開Fig.2 A regions and B regions and openings

從投影圖L按圖2(b)所示方法得到投影圖L′,稱之為將L在交叉點i處打開A通道(即進行A-smoothing操作)而得到的投影圖.從投影圖L按圖2 (c)所示方法得到投影圖L′稱之為在交叉點i處打開B通道(即進行B-smoothing操作)而得到的投影圖.

對一個投影圖L與一個狀態(tài)s∈ψ(L),令L|s為將L在每個經(jīng)典交叉點i處打開s(i)通道而得到的投影圖(i∈φ(L)).注意,L|s是一組圓圈的分離并(從曲面上看).記c(s)為L|s的圈的個數(shù),α(s),β(s)分別為s中標(biāo)記為A,B的交叉點個數(shù).

定義1 設(shè)L是一個虛擬鏈環(huán)投影圖,定義L的Kauffman尖括號多項式〈L〉∈Z[A,A-1]為

Kauffman尖括號多項式是由Kauffman在文獻[3]中對經(jīng)典鏈環(huán)引入的一個多項式并在文獻[1]中將其推廣到虛擬鏈環(huán).它是著名的Jones多項式的主要部分,也是計算Jones多項式的困難所在.

文獻[4]提出了計算經(jīng)典鏈環(huán)投影圖的Kauffman尖括號多項式的一種新方法,即使用圈置換的方法來計算經(jīng)典鏈環(huán)投影圖的每一種狀態(tài)下的圈數(shù).本文注意到該方法可推廣到虛擬鏈環(huán),并用Maple軟件編寫出了計算程序.

2 方 法

考慮一個具有N個經(jīng)典交叉點的虛擬鏈環(huán)投影圖,在每個經(jīng)典交叉點放置一個小圓圈,小圓圈里沒有任何其他交叉點.對小圓圈與投影圖弧段(經(jīng)典交叉點之間的連線)的交點按如圖3(a)從上線開始依順時針方向遞增進行標(biāo)號.

圖3 弧段端點的標(biāo)號與圖1(c)標(biāo)號后的弧段Fig.3 Numbering end points of arcs and numbered arcs from Fig.1(c)

由于假設(shè)有N個經(jīng)典交叉點(或稱為節(jié)點),所以鏈環(huán)投影圖有2N條弧段且共有4N個弧段的端點,對這些端點1,2,3,…,4N進行標(biāo)號.把集合{1,2,3,…4N}分成2N個子集{A1,A2,A3,…A2N},這里Ai={i1,i2},并且i1,i2是一條弧段的兩個端點的標(biāo)號,其中i2＞i1.把上述情況寫成數(shù)組形式,記為P1

注意到這個數(shù)組中,每個數(shù)ij∈{1,2,3,…,4N},且這個集合里的每個數(shù)在這個數(shù)組中恰好出現(xiàn)一次.下面考慮一個具體例子.對圖1(c)的虛擬鏈環(huán)投影圖,若按圖3(a)所示給它進行標(biāo)號,則P1等于下列所示的數(shù)組.

另外,按順時針的順序從標(biāo)號最小的上線開始標(biāo)記逐個節(jié)點周圍的端點,可以得到另外一個數(shù)組構(gòu)成的2N×2階矩陣,記為P2.

對應(yīng)圖3(b)的P2為下列所示的數(shù)組.

在數(shù)組P2中,1連接2,3連接4等等,按這種方式,P2對應(yīng)的就是全A狀態(tài).如果對節(jié)點1選擇B-smoothing操作,則需將P2變?yōu)镻′2

假定數(shù)組P1是固定的.給定一個對應(yīng)某個狀態(tài)s的P2,從P1開始選取11,令σ(11)=12,然后從P2中找到12,寫σ(12)=l2.這里l2是P2中與l2同一行的另一個數(shù).再回到P1,從P1中找到l2,寫σ(l2)=k2,其中k2為P1中與l2同一行的另外一個數(shù),如此一直下去,可以獲得集合{1,2,3,…,4N}的一個置換σ,這個置換的每個圈對應(yīng)于狀態(tài)s下的一個圈,這個置換的圈數(shù)正好就是c(s).

例1 考慮虛擬鏈環(huán)投影圖1(c)的BBAB狀態(tài),如圖4.

圖4 虛擬鏈環(huán)投影圖1(c)的BBAB狀態(tài)Fig.4 A state BBAB of the virtual link diagram Fig.1(c)

對應(yīng)于圖4的P2為:

與該鏈環(huán)投影圖相關(guān)的置換為

即置換

(1 5 8 12 11 4)(2 14 15 10 9 3)

(6 13 16 7).

表1 圖1(c)的圈置換Tab.1 Cyclic permutations for Fig.1(c)

3 程 序

通過將第2節(jié)中的求c(s)的方法轉(zhuǎn)換成求圖的分支數(shù)我們用Maple軟件編寫了計算虛擬鏈環(huán)的Kauffman尖括號多項式的程序.程序中輸入的3個參數(shù)P,K,N的解釋如下:數(shù)組P表示上文中的數(shù)組P1,矩陣K表示全A狀態(tài)下的數(shù)組P2,N表示所有經(jīng)典節(jié)點的數(shù)目.

程序中幾個重要變量的解釋如下:矩陣Q的初始值是2N×2階零矩陣,通過將第i個經(jīng)典節(jié)點的狀態(tài)值賦給矩陣Q的4個元素Q[2i-1,1],Q[2i-1,2], Q[2i,1],Q[2i,2].若第i個經(jīng)典節(jié)點的狀態(tài)是A-smoothing,則將矩陣K相應(yīng)的4個元素賦給矩陣Q的4個元素;若第i個經(jīng)典節(jié)點的狀態(tài)是B-smoothing,則先將矩陣K相應(yīng)的4個元素順時針旋轉(zhuǎn)90°再賦給矩陣Q的4個元素;從而矩陣Q表示虛擬鏈環(huán)投影圖的一種狀態(tài),即同上文中的數(shù)組P'2.程序中數(shù)組P的每一行看成圖Gr P的一條邊,矩陣Q的每一行表示在相應(yīng)狀態(tài)下小圓圈中的一段弧,將Q中的所有弧段當(dāng)作邊加入到圖Gr P中得到的新圖記做圖Gr PQ,通過命令ConnectedComponents(Gr PQ)求出圖Gr PQ中的連通分支Comp,即上文中由數(shù)組P1和P'2所得到的置換的圈分解.連通分支數(shù)記做c,即置換中圈的數(shù)目.根據(jù)Kauffman尖括號多項式的計算公式,對每個狀態(tài)對應(yīng)的的w·dc-1進行求和,其中b是第j(1≤j≤a)個狀態(tài)中A-smoothing的數(shù)目,w=Ab·A-(N-b).

4 實 例

例2 根據(jù)Maple程序求圖1(c)的虛擬鏈環(huán)投影圖的Kauffman尖括號多項式.

輸入 J 1∶=Virtual Link(Matrix([[1,5],[2,14],[3,9], [4,11],[6,13],[7,16],[8,12],[10,15]]),Matrix([[1,2], [4,3],[5,6],[8,7],[9,10],[12,11],[13,14],[16,15]]),4)

例3 根據(jù)Maple程序求圖5(a)的虛擬鏈環(huán)投影圖的Kauffman尖括號多項式,標(biāo)號如圖5(b).

圖5 紐結(jié)4.93[5]Fig.5 The knot 4.93[5]

輸入 J 2∶=Virtual Link(Matrix([[1,15],[2,12],[3, 5],[4,14],[6,16],[7,10],[8,11],[9,13]]),Matrix([[1,2], [4,3],[5,6],[8,7],[9,10],[12,11],[13,14],[16,15]]),4)

例4 根據(jù)Maple程序求圖6(a)的虛擬鏈環(huán)投影圖的Kauffman尖括號多項式,標(biāo)號如圖6(b).

輸入 J 3∶=Virtual Link(Matrix([[1,25],[2,5],[3, 16],[4,8],[6,27],[7,9],[10,22],[11,14],[12,13],[15, 17],[18,21],[19,24],[20,26],[23,28]]),Matrix([[1,2], [4,3],[5,6],[8,7],[9,10],[12,11],[13,14],[16,15],[17, 18],[20,19],[21,22],[24,23],[25,26],[28,27]]),7)

圖6 虛擬鏈環(huán)投影圖[6]Fig.6 The virtual link diagram[6]

[1] Kauffman L H.Virtual knot theory[J].Eur J Combin, 1999,20:663-691.

[2] Goussarov M,Polyak M,Viro O.Finite type invariants of classical and virtual knots[J].Topology,2000,39: 1045-1068.

[3] Itik M,Banks S P.On the calculation of the Kauffman bracket polynomial[J].Applied Mathematics and Computation,2010,216:655-661.

[4] Kauffman L H.State models and the Jones polynomial [J].Topology,1987,26:395-407.

[5] Dye H A,Kauffman L H.Virtual crossing number and the arrow polynomial[J].Journal of Knot Theory and Its Ramifications,2009,18:1335-1357.

[6] Miyazawa X.A multi-variable polynomial invariant for virtual knots and links[J].Journal of Knot Theory and Its Ramifications,2008,17:1311-1326.

Maple Calculation of the Kauffman Bracket Polynomial of Virtual Links

LI Mei-lian1*,DENG Qing-ying2
(1.School of Mathematical Science,Xiamen University,Xiamen 361005,China; 2.School of Mathematics and Computer Science,Longyan University,Longyan 364000,China)

We extend the computational method of the Kauffman bracket polynomial by Itik and Banks from classical links to virtual links.The algorithm uses cyclic permutations to count the number of circles of states obtained by the application of A-tybe or B-type smoothing to each classical crossing and the replacement of each virtual crossing with two arcs that they meet transversally.We show that our algorithm can be implemented easily by computer programs written in the Maple environment.

virtual links;Kauffman bracket polynomials;Maple program

10.6043/j.issn.0438-0479.2015.02.014

O 157.5

A

0438-0479(2015)02-0233-05

2014-07-14 錄用日期:2014-10-23

國家自然科學(xué)基金(11271307);中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費專項(0020 ZK1012)

*通信作者:meilian201@163.com

李美蓮,鄧青英.虛擬鏈環(huán)的Kauffman尖括號多項式的Maple計算[J].廈門大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版,2015,54(2): 233-237.

:Li Meilian,Deng Qingying.Maple calculation of the kauffman bracket polynomial of virtual links[J].Journal of Xiamen University:Natural Science,2015,54(2):233-237.(in Chinese)