譚秋月，孫平安，林姝妤

（1.武夷學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)系，福建武夷山354300；2.廈門(mén)大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，福建廈門(mén)361000）

Wendt操作對(duì)紐結(jié)和鏈環(huán)影響的若干規(guī)律

譚秋月1，孫平安1，林姝妤2

（1.武夷學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)系，福建武夷山354300；2.廈門(mén)大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，福建廈門(mén)361000）

主要研究在紐結(jié)和鏈環(huán)投影圖上做一次Wendt操作對(duì)紐結(jié)和鏈環(huán)的影響，以及其與解結(jié)數(shù)和交叉指標(biāo)的關(guān)系.定義了與紐結(jié)解結(jié)數(shù)密切相關(guān)的一個(gè)概念—紐結(jié)投影圖的擬解結(jié)數(shù)和2分支鏈環(huán)投影圖的擬分拆數(shù)，分別計(jì)算了紐結(jié)表中交叉指標(biāo)不超過(guò)9的紐結(jié)和交叉指標(biāo)不超過(guò)8的2分支鏈環(huán)的擬解結(jié)數(shù)和擬分拆數(shù)，并總結(jié)了若干經(jīng)驗(yàn)規(guī)律.

紐結(jié)；鏈環(huán)；Wendt操作；結(jié)數(shù)；交叉指標(biāo)

1 Wendt操作說(shuō)明

借助于計(jì)算機(jī)，有人已經(jīng)對(duì)不超過(guò)16個(gè)交叉點(diǎn)的素紐結(jié)的投影圖做了完整的同痕分類(lèi)，對(duì)于紐結(jié)不計(jì)走向與鏡像的差別，有下面的表1：

表1 素紐結(jié)交叉指標(biāo)與個(gè)數(shù)關(guān)系

對(duì)于兩個(gè)分支鏈環(huán)，有下面的表2：

表2 兩個(gè)分支鏈環(huán)交叉指標(biāo)與個(gè)數(shù)關(guān)系

筆者使用的紐結(jié)表和鏈環(huán)表出自Colin C.Adams主編的《The Knot Book》附錄中的表.對(duì)素紐結(jié)表中的投影圖做Wendt操作，首先在給定的紐結(jié)投影圖K（c（K）=n）的交叉點(diǎn)標(biāo)號(hào)，按交叉點(diǎn)個(gè)數(shù)標(biāo)上1，2，…，n，然后依照標(biāo)號(hào)依次做Wendt操作.如圖1，我們給紐結(jié)表中紐結(jié)62投影圖標(biāo)上1，2，…，6，我們發(fā)現(xiàn)在標(biāo)號(hào)1做Wendt操作，再經(jīng)過(guò)一系列Reidemeister變化，紐結(jié)62將轉(zhuǎn)變成31，同理，在標(biāo)號(hào)2做Wendt操作和一系列Reidemeister變化，紐結(jié)62也將轉(zhuǎn)變成31，而在標(biāo)號(hào)3做Wendt操作和一系列Reidemeister變化，紐結(jié)62將轉(zhuǎn)變成平凡紐結(jié)，在標(biāo)號(hào)4，5，6做Wendt操作和一系列Reidemeister變化，紐結(jié)62將轉(zhuǎn)變成41.

同樣的，對(duì)兩個(gè)分支鏈環(huán)投影圖表中的投影圖做Wendt操作，首先在給定的鏈環(huán)投影圖=的交叉點(diǎn)標(biāo)號(hào)，按交叉點(diǎn)個(gè)數(shù)標(biāo)上1，2，…，然后依照標(biāo)號(hào)依次做Wendt操作.如圖2，我們給鏈環(huán)投影圖的交叉點(diǎn)標(biāo)上1，2，…，8，我們發(fā)現(xiàn)在標(biāo)號(hào)1，2，4，5，6做Wendt操作，再經(jīng)過(guò)一系列Reidemeister變化，鏈環(huán)將轉(zhuǎn)變成，同理，在標(biāo)號(hào)3，7做交叉點(diǎn)做Wendt操作和一系列Reidemeister變化，鏈環(huán)也將轉(zhuǎn)變成，而在標(biāo)號(hào)8做Wendt操作和一系列Reidemeister變化，鏈環(huán)將轉(zhuǎn)變成

2 擬解結(jié)數(shù)和擬分拆數(shù)

定義1對(duì)紐結(jié)表中的投影圖K，先選定其中一個(gè)交叉點(diǎn)做Wendt操作，接著做一系列初等變換得到紐結(jié)表中的一個(gè)新投影圖K1，重復(fù)以上操作，直到得到平凡紐結(jié)投影圖.將上述過(guò)程所需要的Wendt操作的個(gè)數(shù)的最小值稱(chēng)為的擬解結(jié)數(shù)，記為Qu（K）[1].

顯然u（K）≤Qu（K）.

例如：紐結(jié)62的擬解結(jié)數(shù)為1，因?yàn)橹恍枰鲆淮蜽endt操作就可以使紐結(jié)62轉(zhuǎn)變成平凡紐結(jié).

在表3，列出了交叉點(diǎn)數(shù)少于10的素紐結(jié)的解結(jié)數(shù)及擬解結(jié)數(shù).發(fā)現(xiàn)交叉點(diǎn)數(shù)少于10的素紐結(jié)的解結(jié)數(shù)和擬解結(jié)數(shù)都相等[2].

一個(gè)紐結(jié)的解結(jié)數(shù)也不一定會(huì)在它的最少交叉點(diǎn)投影圖上找到，下面是同一個(gè)紐結(jié)108的（圖3）兩個(gè)投影圖，一個(gè)為最小投影圖，另一個(gè)則不是，但是左圖解結(jié)數(shù)為3，右圖解結(jié)數(shù)為2.

定義2對(duì)2個(gè)分支的鏈環(huán)L，給定它的一個(gè)投影圖，在其部分交叉點(diǎn)上做Wendt操作，總能使得到的新投影圖成為L(zhǎng)1（可能需要初等變換）分離的[3].考慮L的所有投影圖，能實(shí)現(xiàn)上述目的的最少交叉點(diǎn)數(shù)稱(chēng)為L(zhǎng)的分拆數(shù)，記為v（L）.

類(lèi)似紐結(jié)的擬解結(jié)數(shù)，對(duì)2分支鏈環(huán)定義擬分拆數(shù).

定義3對(duì)鏈環(huán)表中有2個(gè)分支的投影圖L，我們先選定其中一個(gè)交叉點(diǎn)做Wendt操作，接著做一系列初等變換得到鏈環(huán)表中的一個(gè)新投影圖L1，重復(fù)以上操作，直到得到可分離的鏈環(huán).將上述過(guò)程所需要的Wendt操作的個(gè)數(shù)的最小值稱(chēng)為L(zhǎng)的擬分拆數(shù)，記為Qv（L）[4].

表4中列出了交叉點(diǎn)數(shù)少于9的兩個(gè)分支鏈環(huán)的擬分拆數(shù).

圖1 紐結(jié)62每個(gè)交叉點(diǎn)經(jīng)過(guò)一次Wendt操作的結(jié)果

圖2 鏈環(huán)每個(gè)交叉點(diǎn)經(jīng)過(guò)一次Wendt操作的結(jié)果

表3 紐結(jié)、紐結(jié)解結(jié)數(shù)及擬解結(jié)數(shù)

表4 鏈環(huán)和鏈環(huán)擬分拆數(shù)

以下是與擬分拆數(shù)有關(guān)的公開(kāi)問(wèn)題：

一個(gè)交錯(cuò)鏈環(huán)投影圖，做一次Wendt操作，在什么條件下得到的投影圖將是可分離的，見(jiàn)文獻(xiàn)[5].

3 經(jīng)驗(yàn)規(guī)律

規(guī)律1在交叉點(diǎn)數(shù)少于10的紐結(jié)中，我們發(fā)現(xiàn)：非交錯(cuò)紐結(jié)K的兩個(gè)交叉點(diǎn)數(shù)相同的投影圖的每個(gè)交叉點(diǎn)上做一次Wendt操作得到的紐結(jié)集合不見(jiàn)得會(huì)相同，但交錯(cuò)紐結(jié)的兩個(gè)叉點(diǎn)數(shù)相同的投影圖的每個(gè)交叉點(diǎn)上做一次Wendt操作得到的紐結(jié)集合則相同[6].

第一行表格與第二行表格分別是紐結(jié)943的兩個(gè)不同投影圖，只需做一次R3變化，其交叉點(diǎn)均為9，在9個(gè)交叉點(diǎn)上分別做一次Wendt操作，再經(jīng)過(guò)一系列Reidemeister變化，得到的9個(gè)紐結(jié)是不同的.例如圖4.

下面來(lái)說(shuō)明下這兩個(gè)紐結(jié)投影圖（圖6）是同痕的，注意到紅色橢圓區(qū)域內(nèi)tangle是一模一樣的的，我們只需說(shuō)明兩個(gè)紐結(jié)投影圖去掉紅色區(qū)域剩下的部分可以在4條端點(diǎn)固定情況下互相轉(zhuǎn)換即可[7].

把紅色部分去掉所得的圖7，將其形變?yōu)橄聢D8：易看出以上2個(gè)只要沿水平線(xiàn)擰360度即可互相得到.由此可以這樣說(shuō)明因此兩個(gè)814投影圖是相同的紐結(jié).

規(guī)律2在筆者采取的表中交叉點(diǎn)數(shù)少于10的交錯(cuò)紐結(jié)投影中，發(fā)現(xiàn)對(duì)其一個(gè)交叉點(diǎn)做Wendt操作，若得到的紐結(jié)仍然為交錯(cuò)紐結(jié)，則其交叉指標(biāo)至少減少2.若不是，則不然.對(duì)交叉點(diǎn)數(shù)少于9的2個(gè)分支鏈環(huán)，此結(jié)論也成立.

若經(jīng)過(guò)Wendt操作得到的紐結(jié)為非交錯(cuò)紐結(jié)，則存在減少1的情況.如圖9.

規(guī)律3若紐結(jié)對(duì)應(yīng)的Conway符號(hào)為m，n，其中m，n必有一個(gè)為偶數(shù)，m若為偶數(shù)，則其對(duì)應(yīng)的解結(jié)數(shù)若，n均為偶數(shù)，則其對(duì)應(yīng)的解結(jié)數(shù)如表5.

同樣要證≤容易，但是要證明≥就比較難.

表5 Conway符號(hào)m，n與解結(jié)數(shù)之間關(guān)系

圖4 非交錯(cuò)紐結(jié)943兩個(gè)不同投影圖每個(gè)交叉點(diǎn)經(jīng)過(guò)一次Wendt操作的結(jié)果

圖5 交錯(cuò)紐結(jié)814兩個(gè)不同投影圖每個(gè)交叉點(diǎn)經(jīng)過(guò)一次Wendt操作轉(zhuǎn)變結(jié)果

圖6 紐結(jié)814的兩個(gè)投影圖

圖7 紐結(jié)814的兩個(gè)投影圖

圖8 紐結(jié)814的兩個(gè)投影圖

圖9 交錯(cuò)紐結(jié)933每個(gè)交叉點(diǎn)經(jīng)過(guò)一次Wendt操作的結(jié)果

[1]BOLLOBASB.ModernGraphTheory[M].Berlin:Springer，1998.

[2]KAWAMURAT.TheUnknottingNumberof10139and10152are4[J].OsakaJ.Math.，1998，（35）：539-546.

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[6]姜伯駒.繩圈的數(shù)學(xué)[M].長(zhǎng)沙：湖南教育出版社，1991：5-24.

[7]REIDEMEISTERK.ElementareBegrundungderKnotentheorie[J].Abh.Math.Sem.Unic.Hamburg.，1926，（5）：24-32.

（責(zé)任編輯 李健飛）

Some Results of the Unknotting Number and Crossing Number Based on Wendt Operation

TAN Qiu-yue1，SUN Ping-an1，LIN Shu-yu2
（1.Department of Mathematics&Computer，Wuyi College，Wuyishan，F(xiàn)ujian 354300，China；2.School of Mathematical Sciences，Xiamen University，Xiamen，F(xiàn)ujian 361000，China）

This paper studies the effect of a single Wendt's operation on knot and link diagrams and its relation with the unknotting number and the crossing number.It introduces two notions for link diagrams，namely Quasi-unknotting number and Quasi-splitting number，calculates these two numbers for knots with crossing number no more than 9 and 2-comonent links with crossing number no more than 8，respectively，and finds some empirical regularities.

knot link；Wendt's operation；unknotting number；crossing number

O157.5

：A

：1673-1972（2015）06-0061-06

2015-07-13

福建省青年教師專(zhuān)項(xiàng)(JA1551)；福建省教育廳科技項(xiàng)目（JK2012056）；武夷學(xué)院青年教師專(zhuān)項(xiàng)(xq201110)

譚秋月（1980-），女，陜西楊凌人，講師，主要從事圖論、離散數(shù)學(xué)研究.