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        Wendt操作對(duì)紐結(jié)和鏈環(huán)影響的若干規(guī)律

        2015-12-27 09:54:14譚秋月孫平安林姝妤

        譚秋月,孫平安,林姝妤

        (1.武夷學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)系,福建武夷山354300;2.廈門(mén)大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,福建廈門(mén)361000)

        Wendt操作對(duì)紐結(jié)和鏈環(huán)影響的若干規(guī)律

        譚秋月1,孫平安1,林姝妤2

        (1.武夷學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)系,福建武夷山354300;2.廈門(mén)大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,福建廈門(mén)361000)

        主要研究在紐結(jié)和鏈環(huán)投影圖上做一次Wendt操作對(duì)紐結(jié)和鏈環(huán)的影響,以及其與解結(jié)數(shù)和交叉指標(biāo)的關(guān)系.定義了與紐結(jié)解結(jié)數(shù)密切相關(guān)的一個(gè)概念—紐結(jié)投影圖的擬解結(jié)數(shù)和2分支鏈環(huán)投影圖的擬分拆數(shù),分別計(jì)算了紐結(jié)表中交叉指標(biāo)不超過(guò)9的紐結(jié)和交叉指標(biāo)不超過(guò)8的2分支鏈環(huán)的擬解結(jié)數(shù)和擬分拆數(shù),并總結(jié)了若干經(jīng)驗(yàn)規(guī)律.

        紐結(jié);鏈環(huán);Wendt操作;結(jié)數(shù);交叉指標(biāo)

        1 Wendt操作說(shuō)明

        借助于計(jì)算機(jī),有人已經(jīng)對(duì)不超過(guò)16個(gè)交叉點(diǎn)的素紐結(jié)的投影圖做了完整的同痕分類(lèi),對(duì)于紐結(jié)不計(jì)走向與鏡像的差別,有下面的表1:

        表1 素紐結(jié)交叉指標(biāo)與個(gè)數(shù)關(guān)系

        對(duì)于兩個(gè)分支鏈環(huán),有下面的表2:

        表2 兩個(gè)分支鏈環(huán)交叉指標(biāo)與個(gè)數(shù)關(guān)系

        筆者使用的紐結(jié)表和鏈環(huán)表出自Colin C.Adams主編的《The Knot Book》附錄中的表.對(duì)素紐結(jié)表中的投影圖做Wendt操作,首先在給定的紐結(jié)投影圖K(c(K)=n)的交叉點(diǎn)標(biāo)號(hào),按交叉點(diǎn)個(gè)數(shù)標(biāo)上1,2,…,n,然后依照標(biāo)號(hào)依次做Wendt操作.如圖1,我們給紐結(jié)表中紐結(jié)62投影圖標(biāo)上1,2,…,6,我們發(fā)現(xiàn)在標(biāo)號(hào)1做Wendt操作,再經(jīng)過(guò)一系列Reidemeister變化,紐結(jié)62將轉(zhuǎn)變成31,同理,在標(biāo)號(hào)2做Wendt操作和一系列Reidemeister變化,紐結(jié)62也將轉(zhuǎn)變成31,而在標(biāo)號(hào)3做Wendt操作和一系列Reidemeister變化,紐結(jié)62將轉(zhuǎn)變成平凡紐結(jié),在標(biāo)號(hào)4,5,6做Wendt操作和一系列Reidemeister變化,紐結(jié)62將轉(zhuǎn)變成41.

        同樣的,對(duì)兩個(gè)分支鏈環(huán)投影圖表中的投影圖做Wendt操作,首先在給定的鏈環(huán)投影圖=的交叉點(diǎn)標(biāo)號(hào),按交叉點(diǎn)個(gè)數(shù)標(biāo)上1,2,…,然后依照標(biāo)號(hào)依次做Wendt操作.如圖2,我們給鏈環(huán)投影圖的交叉點(diǎn)標(biāo)上1,2,…,8,我們發(fā)現(xiàn)在標(biāo)號(hào)1,2,4,5,6做Wendt操作,再經(jīng)過(guò)一系列Reidemeister變化,鏈環(huán)將轉(zhuǎn)變成,同理,在標(biāo)號(hào)3,7做交叉點(diǎn)做Wendt操作和一系列Reidemeister變化,鏈環(huán)也將轉(zhuǎn)變成,而在標(biāo)號(hào)8做Wendt操作和一系列Reidemeister變化,鏈環(huán)將轉(zhuǎn)變成

        2 擬解結(jié)數(shù)和擬分拆數(shù)

        定義1對(duì)紐結(jié)表中的投影圖K,先選定其中一個(gè)交叉點(diǎn)做Wendt操作,接著做一系列初等變換得到紐結(jié)表中的一個(gè)新投影圖K1,重復(fù)以上操作,直到得到平凡紐結(jié)投影圖.將上述過(guò)程所需要的Wendt操作的個(gè)數(shù)的最小值稱(chēng)為的擬解結(jié)數(shù),記為Qu(K)[1].

        顯然u(K)≤Qu(K).

        例如:紐結(jié)62的擬解結(jié)數(shù)為1,因?yàn)橹恍枰鲆淮蜽endt操作就可以使紐結(jié)62轉(zhuǎn)變成平凡紐結(jié).

        在表3,列出了交叉點(diǎn)數(shù)少于10的素紐結(jié)的解結(jié)數(shù)及擬解結(jié)數(shù).發(fā)現(xiàn)交叉點(diǎn)數(shù)少于10的素紐結(jié)的解結(jié)數(shù)和擬解結(jié)數(shù)都相等[2].

        一個(gè)紐結(jié)的解結(jié)數(shù)也不一定會(huì)在它的最少交叉點(diǎn)投影圖上找到,下面是同一個(gè)紐結(jié)108的(圖3)兩個(gè)投影圖,一個(gè)為最小投影圖,另一個(gè)則不是,但是左圖解結(jié)數(shù)為3,右圖解結(jié)數(shù)為2.

        定義2對(duì)2個(gè)分支的鏈環(huán)L,給定它的一個(gè)投影圖,在其部分交叉點(diǎn)上做Wendt操作,總能使得到的新投影圖成為L(zhǎng)1(可能需要初等變換)分離的[3].考慮L的所有投影圖,能實(shí)現(xiàn)上述目的的最少交叉點(diǎn)數(shù)稱(chēng)為L(zhǎng)的分拆數(shù),記為v(L).

        類(lèi)似紐結(jié)的擬解結(jié)數(shù),對(duì)2分支鏈環(huán)定義擬分拆數(shù).

        定義3對(duì)鏈環(huán)表中有2個(gè)分支的投影圖L,我們先選定其中一個(gè)交叉點(diǎn)做Wendt操作,接著做一系列初等變換得到鏈環(huán)表中的一個(gè)新投影圖L1,重復(fù)以上操作,直到得到可分離的鏈環(huán).將上述過(guò)程所需要的Wendt操作的個(gè)數(shù)的最小值稱(chēng)為L(zhǎng)的擬分拆數(shù),記為Qv(L)[4].

        表4中列出了交叉點(diǎn)數(shù)少于9的兩個(gè)分支鏈環(huán)的擬分拆數(shù).

        圖1 紐結(jié)62每個(gè)交叉點(diǎn)經(jīng)過(guò)一次Wendt操作的結(jié)果

        圖2 鏈環(huán)每個(gè)交叉點(diǎn)經(jīng)過(guò)一次Wendt操作的結(jié)果

        表3 紐結(jié)、紐結(jié)解結(jié)數(shù)及擬解結(jié)數(shù)

        表4 鏈環(huán)和鏈環(huán)擬分拆數(shù)

        以下是與擬分拆數(shù)有關(guān)的公開(kāi)問(wèn)題:

        一個(gè)交錯(cuò)鏈環(huán)投影圖,做一次Wendt操作,在什么條件下得到的投影圖將是可分離的,見(jiàn)文獻(xiàn)[5].

        3 經(jīng)驗(yàn)規(guī)律

        規(guī)律1在交叉點(diǎn)數(shù)少于10的紐結(jié)中,我們發(fā)現(xiàn):非交錯(cuò)紐結(jié)K的兩個(gè)交叉點(diǎn)數(shù)相同的投影圖的每個(gè)交叉點(diǎn)上做一次Wendt操作得到的紐結(jié)集合不見(jiàn)得會(huì)相同,但交錯(cuò)紐結(jié)的兩個(gè)叉點(diǎn)數(shù)相同的投影圖的每個(gè)交叉點(diǎn)上做一次Wendt操作得到的紐結(jié)集合則相同[6].

        第一行表格與第二行表格分別是紐結(jié)943的兩個(gè)不同投影圖,只需做一次R3變化,其交叉點(diǎn)均為9,在9個(gè)交叉點(diǎn)上分別做一次Wendt操作,再經(jīng)過(guò)一系列Reidemeister變化,得到的9個(gè)紐結(jié)是不同的.例如圖4.

        下面來(lái)說(shuō)明下這兩個(gè)紐結(jié)投影圖(圖6)是同痕的,注意到紅色橢圓區(qū)域內(nèi)tangle是一模一樣的的,我們只需說(shuō)明兩個(gè)紐結(jié)投影圖去掉紅色區(qū)域剩下的部分可以在4條端點(diǎn)固定情況下互相轉(zhuǎn)換即可[7].

        把紅色部分去掉所得的圖7,將其形變?yōu)橄聢D8:易看出以上2個(gè)只要沿水平線(xiàn)擰360度即可互相得到.由此可以這樣說(shuō)明因此兩個(gè)814投影圖是相同的紐結(jié).

        規(guī)律2在筆者采取的表中交叉點(diǎn)數(shù)少于10的交錯(cuò)紐結(jié)投影中,發(fā)現(xiàn)對(duì)其一個(gè)交叉點(diǎn)做Wendt操作,若得到的紐結(jié)仍然為交錯(cuò)紐結(jié),則其交叉指標(biāo)至少減少2.若不是,則不然.對(duì)交叉點(diǎn)數(shù)少于9的2個(gè)分支鏈環(huán),此結(jié)論也成立.

        若經(jīng)過(guò)Wendt操作得到的紐結(jié)為非交錯(cuò)紐結(jié),則存在減少1的情況.如圖9.

        規(guī)律3若紐結(jié)對(duì)應(yīng)的Conway符號(hào)為m,n,其中m,n必有一個(gè)為偶數(shù),m若為偶數(shù),則其對(duì)應(yīng)的解結(jié)數(shù)若,n均為偶數(shù),則其對(duì)應(yīng)的解結(jié)數(shù)如表5.

        同樣要證≤容易,但是要證明≥就比較難.

        表5 Conway符號(hào)m,n與解結(jié)數(shù)之間關(guān)系

        圖4 非交錯(cuò)紐結(jié)943兩個(gè)不同投影圖每個(gè)交叉點(diǎn)經(jīng)過(guò)一次Wendt操作的結(jié)果

        圖5 交錯(cuò)紐結(jié)814兩個(gè)不同投影圖每個(gè)交叉點(diǎn)經(jīng)過(guò)一次Wendt操作轉(zhuǎn)變結(jié)果

        圖6 紐結(jié)814的兩個(gè)投影圖

        圖7 紐結(jié)814的兩個(gè)投影圖

        圖8 紐結(jié)814的兩個(gè)投影圖

        圖9 交錯(cuò)紐結(jié)933每個(gè)交叉點(diǎn)經(jīng)過(guò)一次Wendt操作的結(jié)果

        [1]BOLLOBASB.ModernGraphTheory[M].Berlin:Springer,1998.

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        [4]JungHoonLee.CriticalHeegaardSurfacesObtainedbyAmalgamation[J].TopologyanditsApplications,2013,160(1):135-138.

        [5]ADAMSCC.TheKnotBook[M].AmericanMathematicalSociety,2004:143.

        [6]姜伯駒.繩圈的數(shù)學(xué)[M].長(zhǎng)沙:湖南教育出版社,1991:5-24.

        [7]REIDEMEISTERK.ElementareBegrundungderKnotentheorie[J].Abh.Math.Sem.Unic.Hamburg.,1926,(5):24-32.

        (責(zé)任編輯 李健飛)

        Some Results of the Unknotting Number and Crossing Number Based on Wendt Operation

        TAN Qiu-yue1,SUN Ping-an1,LIN Shu-yu2
        (1.Department of Mathematics&Computer,Wuyi College,Wuyishan,F(xiàn)ujian 354300,China;2.School of Mathematical Sciences,Xiamen University,Xiamen,F(xiàn)ujian 361000,China)

        This paper studies the effect of a single Wendt's operation on knot and link diagrams and its relation with the unknotting number and the crossing number.It introduces two notions for link diagrams,namely Quasi-unknotting number and Quasi-splitting number,calculates these two numbers for knots with crossing number no more than 9 and 2-comonent links with crossing number no more than 8,respectively,and finds some empirical regularities.

        knot link;Wendt's operation;unknotting number;crossing number

        O157.5

        :A

        :1673-1972(2015)06-0061-06

        2015-07-13

        福建省青年教師專(zhuān)項(xiàng)(JA1551);福建省教育廳科技項(xiàng)目(JK2012056);武夷學(xué)院青年教師專(zhuān)項(xiàng)(xq201110)

        譚秋月(1980-),女,陜西楊凌人,講師,主要從事圖論、離散數(shù)學(xué)研究.

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