鄂 強，張志艷

(大連海事大學(xué) 理學(xué)院，遼寧 大連 116033)

0 引言

在分子生物學(xué)領(lǐng)域中，研究人員通過電子顯微鏡觀察DNA的雙螺旋結(jié)構(gòu)，有時會無法區(qū)分影像中的纏繞的鏈在某些交叉點處的交叉方式，僅能得到一個具有不確定的交叉點信息的鏈環(huán)投影圖，研究人員仍希望通過研究這樣的投影圖來研究DNA鏈環(huán)的拓撲結(jié)構(gòu)，這就是偽紐結(jié)理論提出的背景[1].

2009年，R.Hanaki[2]引入了3維歐氏空間中的紐結(jié)在平面上的偽投影圖的概念.紐結(jié)的偽投影圖是指缺失紐結(jié)部分(或全部)交叉點信息的投影圖，也就是在投影圖中的某些交叉點處，上行線和下行線分別是哪一條線是不清楚的.2013年，A.Henrich等[3]提出了偽紐結(jié)的概念.偽紐結(jié)是紐結(jié)偽投影圖在初等變換及偽變換下的等價類.這一理論的提出為研究DNA鏈環(huán)的模糊影像提供了一種可能的數(shù)學(xué)方法，同時作為紐結(jié)理論的一個嶄新分支，近年來也逐漸受到關(guān)注.

偽紐結(jié)與奇異紐結(jié)、虛擬紐結(jié)都是經(jīng)典紐結(jié)的推廣，但研究對象不同.奇異紐結(jié)[4]是帶有自交點的曲線，奇異交叉點對應(yīng)曲線的自交點；虛擬紐結(jié)[5]可看作嵌入在閉曲面的I-叢中的閉曲線，虛交叉點對應(yīng)曲線投影不存在的交叉點.而偽紐結(jié)對應(yīng)的曲線是3維歐氏空間中的嵌入的閉曲線，偽交叉點對于曲線投影真實存在但形式未知的交叉點.

與紐結(jié)理論類似，偽紐結(jié)理論的核心問題是偽紐結(jié)的分類問題.即任意給定兩個偽紐結(jié)，如何區(qū)分它們或者證明它們是等價的.其主要的研究方法是尋找偽紐結(jié)不變量，即尋找偽投影圖在初等變換及偽變換下保持不變的量.A.Henrich等[3]定義了偽紐結(jié)的賦權(quán)解集，即偽投影圖所對應(yīng)全部的紐結(jié)及其概率權(quán)重構(gòu)成的集合，并證明了它是偽紐結(jié)的不變量.2014年，A.Henrich等[6]給出了紐結(jié)偽投影圖的染色性的性質(zhì).2015年，F(xiàn).Dorais和A.Henrich等[7]提出了用高斯圖來刻畫偽紐結(jié)的方法，并將虛擬紐結(jié)理論推廣到偽紐結(jié)理論，引入虛擬偽紐結(jié)的概念.同年V.G.Bardakov等[8]研究了偽紐結(jié)與辮群的關(guān)系，定義了偽辮子的群和半群，并證明這個半群同構(gòu)于一個奇異辮子的半群，將經(jīng)典紐結(jié)關(guān)于辮群表示等價的Markov 定理推廣到偽紐結(jié)上.如果權(quán)重解集中含有某個紐結(jié)及其鏡面像，如果將它們看作不同的紐結(jié).就得到了偽紐結(jié)“帶記號的加權(quán)解集”這一概念.2016年，A.Henrich等[9]證明了帶記號的加權(quán)解集不是偽紐結(jié)的完全不變量，即不能區(qū)分所有的偽紐結(jié).2017年，H.A.Dye[10]將經(jīng)典紐結(jié)的Kauffman括號多項式推廣到偽紐結(jié)上，添加了針對偽交叉點一個拆解關(guān)系式，稱為規(guī)范偽括號多項式，并證明了它是偽紐結(jié)的不變量.

本文將計算經(jīng)典紐結(jié)Kauffman多項式的方法[11]推廣到偽紐結(jié)的規(guī)范偽括號多項式，提出了一種利用偽紐結(jié)的全部分裂狀態(tài)計算規(guī)范偽括號多項式的方法.據(jù)此，本文計算了含有不同數(shù)目偽交叉點的三葉結(jié)投影圖的規(guī)范偽括號多項式.

1 偽紐結(jié)不變量簡介

經(jīng)典紐結(jié)理論中，投影圖包含經(jīng)典紐結(jié)的全部信息，其對應(yīng)的經(jīng)典紐結(jié)是唯一的.若投影圖缺失在某些交叉點處的信息，就會得到一個交叉形式不確定的投影圖，稱為偽投影圖.偽投影圖通常對應(yīng)多個經(jīng)典紐結(jié).

圖1 偽投影圖Fig.1 A pseudo diagram

經(jīng)典紐結(jié)的投影圖的交叉點處，其上行線表示為一條連續(xù)的弧，下行線表示為兩段分開的弧.在偽投影圖中的缺失信息的交叉點上，哪條線是上行線，哪條線是下行線是不清楚的，這種交叉點稱為偽交叉點，在圖中通常用黑色的點表示.圖1所示含一個偽交叉點的偽投影圖，它對應(yīng)的可能是平凡結(jié)或者三葉結(jié).

圖2所示的3種變換，稱為經(jīng)典紐結(jié)投影圖的Reidemeister變換或初等變換.兩個經(jīng)典紐結(jié)投影圖如果可以通過有限次的Reidemeister變換轉(zhuǎn)化，則稱這兩個投影圖是等價的.1927年，德國數(shù)學(xué)家K.Reidemeister證明了同一個經(jīng)典紐結(jié)的任意兩個投影圖都是等價的.因此經(jīng)典紐結(jié)也可以看作是投影圖在Reidemeister變換下的等價類.

圖3所示的3種變換，稱為偽投影圖的偽變換.兩個偽投影圖，如果能夠通過有限次的Reidemeister變換和偽變換轉(zhuǎn)化，則稱這兩個偽投影圖是等價的，并稱偽投影圖在Reidemeister變換和偽變換下等價類為偽紐結(jié).給定方向的偽紐結(jié)稱為有向偽紐結(jié).

圖2 Reidemeister變換Fig.2 Reidemeister moves

圖3 偽變換Fig.3 Pseudo moves

區(qū)分偽紐結(jié)的方法主要是尋找偽紐結(jié)不變量，即偽投影圖在初等變換和偽變換下保持不變的量.這里介紹兩種偽紐結(jié)不變量：賦權(quán)解集和規(guī)范偽括號多項式.

1.1 賦權(quán)解集

首先對于有向的偽投影圖的交叉點，可定義正交叉點、負交叉點和偽交叉點，如圖4所示.

圖4 偽投影圖的交叉點

假設(shè)D是一個有向偽投影圖.對于D的每一個偽交叉點，將其確定為正交叉點或負交叉點，就得到一個經(jīng)典紐結(jié)，稱為偽投影圖的一個解.由于在每個偽交叉點處都有兩種確定方式，不同方式可能得到不同的經(jīng)典紐結(jié)，因此偽投影圖通常都有多個解，可以研究給定的偽投影圖的解集中包含哪些經(jīng)典紐結(jié).更進一步的，可以討論得到每個經(jīng)典紐結(jié)解的概率.

圖5 含2個偽交叉點的偽投影圖Fig.5 A pseudo diagram with 2 precrossings

定義1.1偽投影圖D的賦權(quán)解集是由形式如(K，pK)的二元組構(gòu)成的集合，其中K是D的一個解，pK是在每個偽交叉點隨機采用一種確定方式確定獲得K的概率，這里假設(shè)將一個偽交叉點確定為正交叉點和負交叉點的概率是相等的.

A.Henrich等證明了初等變換和偽變換不改變偽投影圖的賦權(quán)解集，因此賦權(quán)解集是偽紐結(jié)的不變量，可以用來區(qū)分偽紐結(jié).例如，圖1和圖5中的偽投影圖的解集都是平凡結(jié)01和三葉結(jié)31，如果僅考慮解集則無法將它們區(qū)分.圖5中的偽投影圖有2個偽交叉點，因此有4種確定偽交叉點的方法.4種確定方式中的3種會得到01，1種會得到31.因此圖5中的偽紐結(jié)的賦權(quán)解集為{(31，0.25)；(01，0.75)}.而圖1中的偽投影圖確定為01和31是等可能的，因此賦權(quán)解集是{(31，0.5)；(01，0.5)}，從而它們是不等價的偽紐結(jié).這一例子說明這表明將解賦概率權(quán)重可以更好的區(qū)分偽紐結(jié)，賦權(quán)解集是比解集更強大的不變量.

1.2 規(guī)范偽括號多項式

設(shè)c是有向的偽紐結(jié)D的一個經(jīng)典交叉點.對于正交叉點規(guī)定sgn(c)=1，對于負交叉點規(guī)定sgn(c)=-1.記D的全部的經(jīng)典交叉點集為C(D)，定義D的扭數(shù)w(D)為

D的偽括號多項式〈D〉由如下拆解關(guān)系和初始值確定，對于正交叉點處，規(guī)定

對負交叉點處，規(guī)定

對于偽交叉點處，規(guī)定

其中H=1-Vd，d=-A2-A-2.記U為平凡結(jié)，并規(guī)定初始值〈U〉=1，〈U∪K〉=d〈K〉.

定義1.2設(shè)D是有向的偽紐結(jié)，稱二元多項式

PD(A，V)=(-A-3)w(D)〈D〉

為D的規(guī)范偽括號多項式.

H.A.Dye證明了規(guī)范偽括號多項式在初等變換和偽變換下保持不變，因此是偽紐結(jié)的不變量.兩個偽紐結(jié)，若對應(yīng)的規(guī)范偽括號多項式不相等，則它們必然不等價.規(guī)范偽括號多項式是經(jīng)典紐結(jié)的Kauffman多項式在偽紐結(jié)理論中的推廣，事實上，如果把經(jīng)典紐結(jié)看作是偽交叉點數(shù)為0的特殊的偽紐結(jié)，那么經(jīng)典紐結(jié)的規(guī)范偽括號多項式就是其Kauffman多項式.

2 利用偽投影圖的分裂狀態(tài)計算規(guī)范偽括號多項式

如果利用拆解關(guān)系式和初始值計算偽紐結(jié)的偽括號多項式，則需要依次拆解每一個交叉點，求和項會隨著拆解的交叉點數(shù)指數(shù)級增長，當交叉點數(shù)比較多時，計算比較繁瑣.注意到紐結(jié)的Kauffman多項式是由拆解關(guān)系式定義的，但是可以通過分別計算分裂狀態(tài)圖的多項式再求和得到.受到經(jīng)典紐結(jié)的Kauffman多項式計算方法的啟發(fā)，可以給出通過一種計算偽紐結(jié)的規(guī)范偽括號多項式的方法.

給定一個定向的偽紐結(jié)D，類似經(jīng)典紐結(jié)Kauffman多項式的計算方法，在D的每個經(jīng)典交叉點處，用A和B按圖6標記(與偽紐結(jié)的方向無關(guān))，并定義兩種局部變形：A分裂和B分裂.

圖6 A分裂和B分裂

在D的每個偽交叉點處用V和H按圖7方式標記(與偽紐結(jié)的方向有關(guān))，并定義兩種局部變形：V分裂和H分裂.

圖7 V分裂和H分裂

在每個經(jīng)典交叉點處可以應(yīng)用A分裂或B分裂，每個偽交叉點處可以應(yīng)用V分裂或H分裂，而在交叉點之外的線保持不變.在每個經(jīng)典交叉點和偽交叉點處選擇其中一種分裂方式后，可以得到平面上一些不交的簡單閉曲線的集合.稱通過分裂得到閉曲線集合為一個狀態(tài)，記為S.假設(shè)狀態(tài)S是通過D經(jīng)過a(S)個A分裂和b(S)個B分裂、v(S)個V分裂和h(S)個H分裂得到的，這里nc=a(S)+b(S)是D的經(jīng)典交叉點數(shù)，np=v(S)+h(S)是D的偽交叉點數(shù).n=nc+np為D的總交叉點數(shù)，D經(jīng)過不同的分裂可以得到2n個狀態(tài)，記|S|為狀態(tài)S中的閉曲線數(shù).則偽括號多項式〈D〉可以表示為

代入H=1-Vd及d=-A2-A-2，有

式中的求和是指對D的所有2n個狀態(tài)下的多項式求和.偽紐結(jié)的規(guī)范偽括號多項式可表示為

3 計算實例

現(xiàn)在用第2節(jié)提出的計算方法計算圖8所示的含有1個偽交叉點的偽紐結(jié)的規(guī)范偽括號多項式.用A、B、V、H標記交叉點.

圖8 標記交叉點

圖8中的偽紐結(jié)一共有3個交叉點，每個交叉點處都有2種分裂方式，因此一共有8種分裂狀態(tài)，如圖9所示.

圖9 8種分裂狀態(tài)

分別計算每種分裂狀態(tài)下偽括號多項式，結(jié)果如表1所示.

表1 各分裂狀態(tài)下的偽括號多項式

將每種分裂狀態(tài)下的多項式求和，得

并代入H=1-vd及d=-A2-A-2，化簡后得到偽括號多項式

〈D〉=A-8V+A-6-A4V.

D的2個經(jīng)典交叉點的符號都為正，因此w(D)=2，從而D的規(guī)范偽括號多項式為

PD(A，V)=-A-6(A-8V+A-6-A4V)=-A-14V-A-12+A-2V.

利用類似的方法，可以計算含有2個偽交叉點的三葉結(jié)投影圖(圖5)的規(guī)范偽括號多項式為

-2A-10V-4A-6V-2A-2V-A-12V2-A-8-A-8V2-A-4-A-4V2，

含有3個偽交叉點的三葉結(jié)投影圖的規(guī)范偽括號多項式為

A-10(3A2V2+3A18V2+V3+A20V3+2A8V(3+V+V2)+2A12V(3+V+V2)+
A4V(3+2V2)+A16V(3+2V2)+A6(1+6V2+V3)+A14(1+6V2+V3)+A10(2+V+8V2+2V3)).

4 結(jié)論

基于偽投影圖的分裂狀態(tài)計算偽紐結(jié)的偽括號多項式，是直接計算偽紐結(jié)在拆解全部交叉點后得到的完全分裂的平凡鏈環(huán)的多項式再求和，這樣的計算方法避免多項式項數(shù)的指數(shù)級別增長，一定程度上簡化了規(guī)范偽括號多項式的計算過程.

容易計算，含有2個偽交叉點和含有3個偽交叉點的三葉結(jié)偽投影圖的賦權(quán)解集都是{(31，0.25)；(01，0.75)}，但它們的規(guī)范偽括號多項式不同，從而是不等價的偽紐結(jié)，因此這一例子同時表明賦權(quán)解集不是偽紐結(jié)的完全不變量.