張子振，張偉詩(shī)

(安徽財(cái)經(jīng)大學(xué) 管理科學(xué)與工程學(xué)院，安徽 蚌埠 233030)

0 引言

煙草煙霧中至少含有69種致癌物，長(zhǎng)期暴露在煙草煙霧中，會(huì)引起體內(nèi)關(guān)鍵基因發(fā)生永久性突變并逐漸積累，最后可能發(fā)展成為惡性腫瘤.二手煙中同樣含有大量有害物質(zhì)與致癌物，不吸煙者吸入二手煙，也會(huì)增加吸煙相關(guān)疾病的發(fā)病風(fēng)險(xiǎn)[1].吸煙有害健康，盡快戒煙是對(duì)自己負(fù)責(zé)，同時(shí)也是對(duì)社會(huì)負(fù)責(zé).

為了提高戒煙的效率，不同領(lǐng)域的學(xué)者都在各自的領(lǐng)域做出努力.因?yàn)槲鼰熜袨樵谌巳褐芯哂幸欢ǖ膫鞑バ?，生物?shù)學(xué)領(lǐng)域的許多學(xué)者都指出其在傳播形式上可以看作成一種慢性傳染病，一個(gè)人吸煙可能會(huì)使周?chē)芏嗳巳旧衔鼰?為此，國(guó)內(nèi)外一些學(xué)者基于傳染病原理，通過(guò)構(gòu)建微分方程模型，研究吸煙行為的動(dòng)力學(xué)性質(zhì).C.C.Garsow等[2]首先提出了基本的PSQ戒煙模型；O.Sharomi和A.B.Gumel[3]在文獻(xiàn)[2]的基礎(chǔ)上又提出了考慮臨時(shí)戒煙群體的戒煙模型；R.Zaman[4]則提出了考慮偶爾吸煙群體的戒煙模型；G.Ullah等[5]在文獻(xiàn)[2-3]的基礎(chǔ)上，又提出了考慮復(fù)吸的戒煙模型；國(guó)內(nèi)外一些學(xué)者又提出了隨機(jī)戒煙模型[6]和具有非線性發(fā)生率的戒煙模型[7]等.上述模型都對(duì)之后的戒煙模型的發(fā)展與完善起著積極的作用，但目前絕大多數(shù)戒煙模型還未考慮電子煙對(duì)吸煙行為的影響.

電子煙在初期的設(shè)計(jì)理念為“無(wú)煙香煙”.而隨著科技的發(fā)展，香煙中的尼古丁等成分被添加到電子煙產(chǎn)品中，在某種程度上甚至可以替代香煙，因此許多吸煙者將電子煙作為戒煙的“中轉(zhuǎn)站”，但電子煙同樣會(huì)對(duì)健康產(chǎn)生危害.為研究電子煙對(duì)吸煙行為傳播的影響，在文獻(xiàn)[2-5]的基礎(chǔ)上，并考慮到吸煙者和吸電子煙者都是需要經(jīng)歷一定的時(shí)間周期才會(huì)對(duì)尼古丁的依賴(lài)逐漸減輕，即吸煙者和吸電子煙者戒煙是非瞬時(shí)的，提出了如下考慮電子煙的時(shí)滯戒煙模型：

(1)

其中：P(t)，S(t)，V(t)，Q(t)分別表示潛在吸煙者、吸煙者、吸電子煙者、戒煙者在時(shí)刻t的數(shù)量；Λ，β，α，δ，η，ε，μ為模型(1)的參數(shù)，具體含義見(jiàn)表1.本文主要研究τ對(duì)模型(1)穩(wěn)定性的影響.

表1 模型(1)的參數(shù)及其含義

模型(1)的傳播流程圖如圖1所示.

圖1 模型(1)的傳播流程圖

1 基本再生數(shù)和吸煙平衡點(diǎn)

則可以得出矩陣F和矩陣V在無(wú)吸煙平衡點(diǎn)E0=(P0，0，0，0)處的雅可比矩陣分別為：

進(jìn)而得到基本再生數(shù)為

2 局部漸近穩(wěn)定性和Hopf分岔的存在性

模型(1)在吸煙平衡點(diǎn)E*=(P*，S*，V*，Q*)處的雅可比矩陣為

其中：m11=-(βS*+μ)，m12=-βP*，m14=ε，m21=βS*，m22=βP*-α-μ，n22=-δ，m32=α，m33=-μ，n33=-η，n42=δ，n43=η，m44=-(μ+ε).

相應(yīng)的特征方程為

λ4+Γ3λ3+Γ2λ2+Γ1λΓ0+(Φ3λ3+Φ2λ2+Φ1λ+Φ0)e-λτ+(Θ2λ2+Θ1λ+Θ0)e-2λτ=0，

(2)

其中：

Γ3=-(m11+m22+m33+m44)，

Φ2=m22n33+m33n22+(m11+m44)(n22+n33)，

Φ3=-(n22+n33)，

Θ1=-n22n33(m11+m44)，

Θ2=n22n33.

當(dāng)τ=0時(shí)，方程(2)變?yōu)?/p>

λ4+Δ3λ3+Δ2λ2+Δ1λ+Δ0=0，

其中：Δ0=Γ0+Φ0+Θ0，Δ1=Γ1+Φ1+Θ1，Δ2=Γ2+Φ2+Θ2，Δ3=Γ3+Φ3.

根據(jù)Hurwitz穩(wěn)定性判據(jù)，方程(3)—(6)成立時(shí)，則當(dāng)τ=0時(shí)，模型(1)是局部漸近穩(wěn)定的.

L1=1>0，

(3)

(4)

(5)

(6)

當(dāng)τ>0時(shí)，假設(shè)λ=i?(?>0)為方程(2)的解，代入方程(2)分離實(shí)部和虛部，可以得到：

(7)

根據(jù)方程(7)可以計(jì)算得到：

其中：

A10=Φ0(Θ0-Γ0)，A12=Φ0(Γ2-Θ2)+Φ1(Θ1-Γ1)+Φ2(Γ0-Θ0)，

A14=-Φ0+Φ1Γ3+Φ2(Θ2-Γ2)+Φ3(Γ1-Θ1)，A16=Φ2-Φ3Γ3，

A21=Φ0(Γ1+Θ1)-Φ1(Γ0+Θ0)，

A23=-Φ0Γ3+Φ1(Γ2+Θ2)-Φ2(Γ1+Θ1)+Φ3(Γ0+Θ0)，

A25=-Φ1+Φ2Γ3-Φ3(Γ2+Θ2)，A27=Φ3，

因此可以得到

?16+Η14?14+Η12?12+Η10?10+Η8?8+Η6?6+Η4?4+Η2?2+Η0=0.

(8)

其中：

令?2=ζ，方程(8)變?yōu)?/p>

ζ8+Η14ζ7+Η12ζ6+Η10ζ5+Η8ζ4+Η6ζ3+Η4ζ2+Η2ζ+Η0=0.

(9)

X1(λ)=λ4+Γ3λ3+Γ2λ2+Γ1λ+Γ0，

X2(λ)=Φ3λ3+Φ2λ2+Φ1λ+Φ0，

X3(λ)=Θ2λ2+Θ1λ+Θ0.

則方程(2)變?yōu)?/p>

X1(λ)+X2(λ)e-λτ+X3(λ)e-2λτ=0.

(10)

在方程(2)的兩邊同時(shí)乘上eλτ，并同時(shí)求λ關(guān)于τ的導(dǎo)數(shù)，可以得到

因此

其中：

定理1對(duì)于模型(1)，當(dāng)τ∈[0，τ0)時(shí)，模型(1)局部漸近穩(wěn)定；當(dāng)τ>τ0時(shí)，模型(1)失去穩(wěn)定性，在τ=τ0附近產(chǎn)生Hopf分岔，并在有正平衡點(diǎn)E*=(P*，S*，V*，Q*)處產(chǎn)生分岔周期解.

3 基本再生數(shù)影響分析

基本再生數(shù)R0作為流行病動(dòng)力系統(tǒng)中的一個(gè)重要閾值，其數(shù)值大小對(duì)于是否能有效控制疾病傳播異常關(guān)鍵.在第2節(jié)中，通過(guò)計(jì)算得到：當(dāng)R0>1時(shí)，模型(1)存在吸煙平衡點(diǎn)，此時(shí)吸煙行為的傳播將會(huì)失控；當(dāng)R0<1時(shí)，吸煙行為的傳播將得到有效控制.所以，控制基本再生數(shù)R0小于1，是模型(1)中如何控制吸煙行為的擴(kuò)散需要重點(diǎn)考慮的問(wèn)題.下面將對(duì)模型(1)中的參數(shù)對(duì)基本再生數(shù)的影響進(jìn)行研究，從而得出能夠控制R0小于1的控?zé)焻⒖疾呗?

假設(shè)模型(1)中的各參數(shù)取值范圍為：Λ=1，0<β，α，δ，η，ε，μ≤1.由R0的表達(dá)式

可以得到：

從上式可以得到，假設(shè)只考慮某一參數(shù)變化的影響，其他參數(shù)為常數(shù)并保持不變時(shí)，Λ、β的數(shù)值變化與R0呈正相關(guān)，α、δ、μ的數(shù)值變化與R0呈負(fù)相關(guān)，η、ε的數(shù)值變化與R0變化無(wú)關(guān).即如果能控制Λ、β的數(shù)值減小或者α、δ、μ的數(shù)值增大，R0將會(huì)被控制在一定的范圍之內(nèi)，這時(shí)有利于控制吸煙行為的擴(kuò)散.

4 仿真示例

根據(jù)文獻(xiàn)[5，10-12]中參數(shù)取值，并考慮到模型(1)產(chǎn)生Hopf分岔的充分條件，選取以下參數(shù)值：Λ=1，β=0.14，α=0.485，δ=0.285，η=0.6，ε=0.54，μ=0.01.則可以得到模型(1)的如下示例模型：

(11)

因此，可以得到R0=17.948 7>0，用Matlab軟件可以計(jì)算得到示例模型(11)存在唯一吸煙平衡點(diǎn)E*=(5.571 4，29.688 7，23.604 9，41.135 0).進(jìn)而計(jì)算得到?0=0.670 4，τ0=3.050 4.當(dāng)選取τ=2.769 3∈(0，τ0)時(shí)，示例模型(11)是局部漸近穩(wěn)定的，此時(shí)示例模型(11)的狀態(tài)軌跡與相圖分別如圖2和圖3所示.當(dāng)選取τ=3.075 4>τ0時(shí)，示例模型(11)將失去穩(wěn)定性，并在E*=(5.571 4，29.688 7，23.604 9，41.135 0)附近產(chǎn)生Hopf分岔，此時(shí)的狀態(tài)軌跡和相圖如圖4和圖5所示.

圖2 當(dāng)τ=2.769 3時(shí)，示例模型(11)的狀態(tài)軌跡

圖3 當(dāng)τ=2.769 3時(shí)，示例模型(11)的相圖

圖4 當(dāng)τ=3.075 4時(shí)，示例模型(11)的狀態(tài)軌跡

圖5 當(dāng)τ=3.075 4時(shí)，示例模型(11)的相圖

5 結(jié)語(yǔ)

電子煙“無(wú)毒”“無(wú)害”的觀念是錯(cuò)誤的，并且電子煙不是安全的.研究發(fā)現(xiàn)，電子煙在使用初期可能會(huì)對(duì)戒煙有利，但沒(méi)有可靠證據(jù)表明利用電子煙來(lái)戒斷香煙是一種安全有效的戒煙手段.在控?zé)熣邎?zhí)行過(guò)程中，應(yīng)及時(shí)糾正大眾對(duì)電子煙的錯(cuò)誤看法，并將電子煙的防控與傳統(tǒng)香煙防控并行.

本文結(jié)合當(dāng)下社會(huì)熱點(diǎn)與實(shí)際情況，進(jìn)一步提出了考慮電子煙的戒煙模型，并引入吸煙者和吸電子煙者戒煙需要經(jīng)歷的時(shí)間周期時(shí)滯，研究了一類(lèi)考慮電子煙的時(shí)滯戒煙模型.首先計(jì)算出模型的基本再生數(shù)和吸煙平衡點(diǎn)，進(jìn)而以吸煙者和吸電子煙者戒煙需要經(jīng)歷的時(shí)間周期時(shí)滯為分岔參數(shù)，推導(dǎo)出模型局部漸近穩(wěn)定和產(chǎn)生Hopf分岔的充分條件，并計(jì)算出模型產(chǎn)生Hopf分岔時(shí)滯臨界點(diǎn)，之后對(duì)模型的基本再生數(shù)進(jìn)行定量分析，給出控?zé)焻⒖疾呗?研究表明，當(dāng)時(shí)滯取值足夠小時(shí)，模型處于理想的穩(wěn)定狀態(tài).此時(shí)，將有利于控制吸煙的流行傳播；而當(dāng)時(shí)滯的取值一旦越過(guò)臨界點(diǎn)τ0，模型將失去穩(wěn)定產(chǎn)生Hopf分岔，此時(shí)則不利于吸煙的流行傳播控制.同時(shí)，通過(guò)對(duì)基本再生數(shù)R0進(jìn)行分析發(fā)現(xiàn)，控制潛在吸煙者的常數(shù)輸入率、潛在吸煙者與吸煙者的有效接觸率，提高吸煙者改吸電子煙的概率以及吸煙者本身的戒煙率，能有效控制基本再生數(shù)R0從而控制吸煙行為的傳播.