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        次解析集的正規(guī)嵌入

        2022-12-09 04:38:24許靜波
        關(guān)鍵詞:等價(jià)度量常數(shù)

        許靜波,周 彤

        (吉林師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院,吉林 四平 136000)

        分類(lèi)是奇點(diǎn)理論中一個(gè)著名的問(wèn)題,其中正則函數(shù)芽的bi-Lipschitz分類(lèi)近年來(lái)被廣泛研究.E.Bierstone等[1]利用半解析集、次解析集的基本性質(zhì),給出了對(duì)纖維切割引理的簡(jiǎn)單證明,也對(duì)次解析集的補(bǔ)集定理進(jìn)行了闡述;L.Birbrair等[2-4]給出了次解析平面函數(shù)芽bi-Lipschitz接觸等價(jià)性的一個(gè)完全不變量,并證明了不變量的存在意味著這個(gè)等價(jià)性沒(méi)有模.bi-Lipschitz分類(lèi)介于拓?fù)浞诸?lèi)和解析分類(lèi)之間,并且在Lipschitz分類(lèi)下,誘導(dǎo)度量中的等價(jià)性與長(zhǎng)度度量中的等價(jià)性是相同的.郭青松[5]將次解析集與bi-Lipschitz映射的理論相結(jié)合,研究了二維次解析集在bi-Lipschitz等價(jià)關(guān)系下的分類(lèi),為本文研究準(zhǔn)備了豐富的基礎(chǔ)知識(shí);L.Birbrair和T.Mostowski[6]研究了半代數(shù)集的正規(guī)嵌入,對(duì)本文思路有著引導(dǎo)的作用.本文基于A.Parusinski等[7-12]對(duì)pancake度量的研究,借助其將次解析集的度量性質(zhì)與bi-Lipschitz分類(lèi)問(wèn)題聯(lián)系起來(lái).

        1 預(yù)備知識(shí)

        設(shè)X是n的次解析連通子集.由于每個(gè)連通次解析集都是弧連通的,所以在X上定義以下兩個(gè)度量,第一個(gè)是n的誘導(dǎo)度量,用dind表示;第二個(gè)是長(zhǎng)度度量,定義如下:設(shè)x1,x2∈X,且Γ是連接x1和x2的所有分段光滑曲線γ的集合;即γ:[0,1]→X使得γ(0)=x1,γ(1)=x2.令其中l(wèi)(γ)表示γ的長(zhǎng)度.

        定義1.1如果度量dind和dl是等價(jià)的,則集合X稱(chēng)為在n中的正規(guī)嵌入.也就是說(shuō)存在一個(gè)常數(shù)C>0,使得對(duì)于每個(gè)x1,x2∈X,有dl(x1,x2)≤Cdind(x1,x2).

        性質(zhì)1.1在每個(gè)分層弧連通子集Y?n中定義正規(guī)嵌入,如果X正規(guī)嵌入Y,Y正規(guī)嵌入Z,則X正規(guī)嵌入Z.

        定義1.2設(shè)x0∈X,如果存在一個(gè)以x0為心,半徑為r的球Bx0,r,使集Bx0,r∩X是正規(guī)嵌入,則稱(chēng)集合X在x0處是局部正規(guī)嵌入的.

        定義1.3設(shè)X是次解析集,Y?X.如果存在一個(gè)常數(shù)C>0使得對(duì)所有x∈X和y∈Y,有dl(x,y)≤Cdind(x,y),則稱(chēng)Y是相對(duì)正規(guī)嵌入在X中.

        命題1.1設(shè)X是一個(gè)緊集,局部正規(guī)嵌入在每個(gè)點(diǎn)x∈X上,則X是正規(guī)嵌入.

        命題1.2設(shè)X?n是一個(gè)閉次解析集,存在子集{Xi}的有限集,使得

        (1)所有的Xi都是X的次解析閉子集;

        (3)對(duì)每個(gè)i≠j,dim(Xi∩Xj)

        (4)Xi正規(guī)嵌入在n中.

        則集合Xi稱(chēng)為pancake的,滿(mǎn)足條件(1)—(4)的分解稱(chēng)為pancake分解.

        該命題在文獻(xiàn)[9]和[10]中有類(lèi)似證明.

        定義1.4設(shè)X?n是一個(gè)閉連通次解析集,是X的pancake分解.考慮x1、x2∈X,{y1,y2,…,yk}是一系列滿(mǎn)足以下條件的點(diǎn):

        (1)y1=x1和yk=x2;

        (2)每對(duì)yi,yi+1都在一個(gè)pancakeXj中;

        (3)如果yi,yi+1∈Xj,則ys?Xj,對(duì)s≠i,s≠i+1.

        ρi(x)=dp(x,Xi)

        定義函數(shù)

        ρi:X→,

        其中dp是pancake距離.Γi?n+1表示ρi的圖,記μi(x)=(x,ρi(x)).

        定義1.6如果存在一個(gè)同胚F:X1→X2和兩個(gè)正的常數(shù)K1和K2,對(duì)每個(gè)x,y∈X1,使得

        K1d1(x,y)≤d2(F(x),F(xiàn)(y))≤K2d1(x,y),

        則兩個(gè)度量空間(X1,d1)和(X2,d2)稱(chēng)為bi-Lipschitz等價(jià)的,其中同胚F為bi-Lipschitz映射.

        2 主要定理及證明

        為了完成定理的證明,首先給出幾個(gè)引理.

        引理2.1若存在K>0使得對(duì)于任意x1,x2∈X,則有

        dp(x1,x2)≥Kdl(x1,x2).

        證明設(shè)K=minKj,其中Kj是對(duì)應(yīng)于pancakeXj的常數(shù).所以,對(duì)每個(gè)y={y1,y2,…,yk},有

        dind(yi,yi+1)≥Kdl(yi,yi-1),

        因此

        引理2.2若對(duì)于每個(gè)x1,x2∈X,存在y∈Yx1,x2,則有dp(x1,x2)=l(y).

        路面基層檢測(cè)合格及模板安裝完成后,進(jìn)行鋼筋網(wǎng)安裝。先將橫筋按設(shè)計(jì)尺寸布置于底層,再將縱筋布置橫筋上方,在此過(guò)程中要注意鋼筋在板厚方向的高度,預(yù)留足夠的保護(hù)層厚度。鋼筋布置完成后進(jìn)行鋼筋連接,縱向鋼筋接頭采用電弧單面焊接,搭接長(zhǎng)度為16cm,焊接接頭處應(yīng)錯(cuò)開(kāi)布置,接頭連線與路面行車(chē)方向成45°夾角,縱向鋼筋與橫向鋼筋交叉處采用鋼絲繩綁扎。采用φ16鋼筋彎拉制做成“Ω”形置于橫向鋼筋下作為鋼筋支架,并采用電焊連接,橫向布置間隔約為150cm,縱向布置間隔約為120cm。

        注序列y∈Yx1,x2使dp(x1,x2)=l(y)稱(chēng)為對(duì)應(yīng)于x1,x2的最小化序列.

        推論2.1pancake度量是定義在X×X上的次解析函數(shù).

        結(jié)合文獻(xiàn)[6]類(lèi)比給出如下推論.

        推論2.2設(shè)X是緊次解析集,設(shè)LX是關(guān)于長(zhǎng)度度量與X等價(jià)的所有次解析集的集合.定義LX上的半序關(guān)系X2X1,若存在關(guān)于長(zhǎng)度度量的bi-Lipschitz和誘導(dǎo)度量的lipschitz映射F:X1→X2,則LX包含唯一的關(guān)于誘導(dǎo)度量的bi-Lipschitz等價(jià)的最大元素,稱(chēng)這個(gè)元素是正規(guī)嵌入的.

        定理2.1函數(shù)dp:X×X→是次解析的并且在X中定義了一個(gè)度量.

        dp(x1,x3)≤l(z)≤l(y3)=l(y1)+l(y2)=dp(x1,x2)+dp(x2,x3).

        定理2.1即證.

        定理2.2pancake度量與長(zhǎng)度度量是bi-Lipschitz等價(jià)的.

        dl(x1,x2)≥dp(x1,x2).

        定理2.2即證.

        引理2.3映射μi:X→Γi具有以下性質(zhì):

        (1)μi是關(guān)于X和Γi上長(zhǎng)度度量的一個(gè)bi-Lipschitz映射;

        (3)μi(Xi)是相對(duì)正規(guī)嵌入在μi(X)中.

        (2)存在一個(gè)依賴(lài)于n的常數(shù)B,使得對(duì)任意x1,x2∈Xj有

        max{dind(x1,x2),|ρi(x1)-ρi(x2)|}≤Bdind(μi(x1),μi(x2)).

        因?yàn)閄j是一個(gè)pancake,L>0,得到

        dl(x1,x2)≤Ldind(μi(x1),μi(x2)),

        由(1),映射μi是bi-Lipschitz的.對(duì)任意x1,x2∈Xj,K>0,有

        dl(μi(x1),μi(x2))≤Kdind(μi(x1),μi(x2)).

        (3)實(shí)際上,通過(guò)(1),找到K1>0即可,使得

        dl(x,y)≤K1dind(μi(x),μi(y)).

        所以

        dp(x,y)≤3dind(x,y).

        由定理2.2有

        dl(x,y)≤3Cdind(μi(x),μi(y)),

        其中C是一個(gè)常數(shù),滿(mǎn)足dl≤Cdp.再令ρi(y)>dind(x,y),有

        對(duì)于依賴(lài)n的常數(shù)B>0,有

        ρi(y)≤max{dind(x,y),ρi(y)}≤Bdind(μi(x),μi(y)).

        所以

        dp(x,y)<3Bdind(μi(x),μi(y)).

        通過(guò)長(zhǎng)度度量與pancake度量的等價(jià)性,對(duì)K1=3Cmax{1,B},同理可得到

        dl(x,y)≤Kdind(μi(x),μi(y)).

        注集合μi(x)稱(chēng)為X上的i-tent,映射μi稱(chēng)為i-tent過(guò)程.

        引理2.4設(shè)Y?X相對(duì)正規(guī)嵌入在X中,則μi(Y)相對(duì)正規(guī)嵌入在μi(X)中.

        證明與引理2.3中(2)的證明相同.

        接下來(lái),給出本文的主要定理.

        定理2.3設(shè)X是n的緊連通次解析子集,對(duì)于每個(gè)ε>0,則存在一個(gè)次解析集Xε?m使得

        (1)關(guān)于長(zhǎng)度度量,Xε是與X等價(jià)的次解析bi-Lipschitz;

        (2)Xε正規(guī)嵌入在m中;

        (3)X和Xε之間的Hausdorff距離小于ε.

        3 結(jié)語(yǔ)

        奇點(diǎn)的度量理論將集合視為度量空間,該理論中存在幾個(gè)分類(lèi)問(wèn)題,本文主要考慮的是bi-Lipschitz分類(lèi)問(wèn)題.通過(guò)pancake分解,定義pancake度量,即一個(gè)與長(zhǎng)度度量等價(jià)的次解析度量;再由tent過(guò)程,得到次解析集與一些正規(guī)嵌入集的關(guān)系,并給出了證明.

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