池吉奕， 孫 鵬,2,3

(1.中國(guó)刑事警察學(xué)院 公安信息技術(shù)與情報(bào)學(xué)院， 遼寧 沈陽 110854；2.遼寧網(wǎng)絡(luò)安全執(zhí)法協(xié)同創(chuàng)新中心， 遼寧 沈陽 110854；3.司法部司法鑒定重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 上海 200063)

模糊集理論自Zadeh[1]提出以來，作為有效處理不確定性和模糊性的數(shù)學(xué)工具，經(jīng)過專家學(xué)者的一系列深入研究，在決策領(lǐng)域[2]取得了很多重大成果，從而擴(kuò)展了模糊集在決策分析領(lǐng)域的應(yīng)用。針對(duì)模糊集僅用隸屬度描述對(duì)事物的支持程度，難以全面描述對(duì)象信息的問題，Atanassov提出直覺模糊集[3-4](intuitionistic fuzzy set，IFS)，將模糊集從單維度推廣至多維度，用隸屬度和非隸屬度定量刻畫事物的支持、反對(duì)和中立三種狀態(tài)，并且要求隸屬度和非隸屬度之和小于等于1。由于直覺模糊集[5-6]在處理不確定性信息時(shí)具有更大的靈活性，因此在諸多領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用，比如模式識(shí)別[7-8]、多屬性決策問題[9-12]。

多屬性決策問題是在考慮多個(gè)屬性時(shí)選擇最佳方案或?qū)崿F(xiàn)對(duì)備選方案排序的過程，在現(xiàn)代決策科學(xué)中扮演著愈發(fā)重要的角色。多屬性決策問題具有兩大核心部分。一部分是捕獲決策信息，也就是確定屬性值和屬性權(quán)重，關(guān)于屬性值的確定，現(xiàn)已存在多種方法，比如區(qū)間集、語言模糊集和直覺模糊集等。而關(guān)于屬性權(quán)重的確定，同樣有諸多方法，比如D-S證據(jù)理論[13]、層次分析法[14-15]等。另一重要部分是對(duì)決策信息以一定的方式進(jìn)行有效聚合，在對(duì)決策信息進(jìn)行有效聚合時(shí)多引入概率的運(yùn)算，而在概率運(yùn)算中最常用的模型之一是似然函數(shù)。似然函數(shù)方法[16-17]最初用于聚合刑事案件中的多個(gè)概率證據(jù)，在此基礎(chǔ)上，有關(guān)學(xué)者借助不同算子提出了多種軟似然函數(shù)方法，比如有序加權(quán)平均算子[18](ordered weighted average，OWA)以及冪有序加權(quán)平均算子[19](power ordered weighted average，POWA)等。

傳統(tǒng)似然函數(shù)最初用于聚合多個(gè)概率證據(jù)，表示為概率的乘積，但由于任何一個(gè)極端數(shù)據(jù)都會(huì)大大降低最終的結(jié)果，因此Yager等[20]首次提出用于聚合刑事案件中概率證據(jù)的軟似然函數(shù)方法，即基于OWA算子的軟似然函數(shù)方法，通過引入考慮決策者樂觀或悲觀情緒的OWA算子及證據(jù)的可靠性影響，來減弱極端數(shù)據(jù)對(duì)結(jié)果的影響。但通過研究發(fā)現(xiàn)，該方法仍存在一定的缺陷，不能全面反映概率與OWA算子間的相關(guān)性，并且軟似然函數(shù)沒有充分反映決策者的偏好信息，在處理極端數(shù)據(jù)上還存有一定的局限性。因此，有學(xué)者[21-22]提出改進(jìn)后的基于POWA算子的軟似然函數(shù)，對(duì)POWA算子的權(quán)重進(jìn)行了重新定義，新定義的POWA權(quán)重能更好地將概率與OWA權(quán)重相結(jié)合，不僅考慮各概率間的支持度，而且通過考慮決策者的主觀偏好再次引入OWA算子的權(quán)重特征，使得改進(jìn)后的軟似然函數(shù)具有更強(qiáng)的魯棒性，在更大程度上避免了極端數(shù)據(jù)的影響。同時(shí)，由于上述軟似然函數(shù)方法在聚合不確定信息時(shí)存在一定不足，無法對(duì)多屬性決策問題中具有專家決策偏好的不確定性信息進(jìn)行有效聚合。因此，本文通過構(gòu)建直覺模糊環(huán)境下的多屬性決策問題，利用改進(jìn)后的基于POWA算子的軟似然函數(shù)對(duì)不確定性決策信息進(jìn)行融合，最大程度上保證了決策信息的完整性[11]。

針對(duì)上述問題，本文提出一種基于軟似然函數(shù)的直覺模糊多屬性決策方法。首先，為全面融合不同來源的證據(jù)，本文構(gòu)建直覺模糊環(huán)境下的多屬性決策問題，利用直覺模糊集對(duì)不確定性信息進(jìn)行統(tǒng)一描述來獲取屬性值。其次，為降低數(shù)據(jù)的不確定性和模糊性以提高信息的準(zhǔn)確性和可靠性，提出將基于POWA算子的軟似然函數(shù)方法用于解決直覺模糊環(huán)境下的多屬性決策問題，采用基于POWA算子的軟似然函數(shù)方法確定屬性權(quán)重并對(duì)決策信息進(jìn)行有效聚合，在實(shí)現(xiàn)數(shù)據(jù)平滑效果的同時(shí)，也規(guī)避了軟似然函數(shù)值受極端數(shù)據(jù)的影響。最后，采用文獻(xiàn)[23]的算例數(shù)據(jù)與本文方法進(jìn)行對(duì)比分析。

1 直覺模糊集

定義1 設(shè)X為一非空有限論域，X={xi|i∈[1,n]}(其中i為非零正整數(shù))上的集合A可以定義為A={(x,μA(x),νA(x))|x∈X}，將其稱為直覺模糊集，可簡(jiǎn)記為A=(μA,νA)，其中μA(x):X→[0,1]代表隸屬度，νA(x):X→[0,1]代表非隸屬度，且滿足0≤μA(x)+νA(x)≤1。元素x對(duì)A的猶豫度[24]為πA(x)=1-μA(x)-νA(x)，顯然，對(duì)于每個(gè)x∈X，都有0≤πA(x)≤1。

定義2 設(shè)有序?qū)Ζ?(μα,να)為直覺模糊集，滿足μα∈[0,1]，να∈[0,1]，0≤μα+να≤1。α的計(jì)分函數(shù)s(α)和精確函數(shù)h(α)分別記為s(α)=μα-να，h(α)=μα+να，顯然s(α)∈[-1,1]，h(α)∈[0,1]。

對(duì)于兩個(gè)直覺模糊集α和β，滿足如下關(guān)系和運(yùn)算法則[25-26]：

1) 如果s(α)>s(β)，則α>β；

2) 如果s(α)

3) 如果s(α)=s(β)，則比較兩者精確值，又分為以下3種情況：

①如果h(α)>h(β)，則α>β；

②如果h(α)

③如果h(α)=h(β)，則α=β。

2 POWA算子相關(guān)定義

OWA算子根據(jù)概率的順序給出概率的權(quán)重，并引入態(tài)度特征來反映決策者的主觀偏好，為更準(zhǔn)確地獲得屬性權(quán)重，有學(xué)者提出將OWA算子與PA算子相結(jié)合，得到POWA算子[17]。首先利用OWA算子將每個(gè)屬性值的權(quán)重按照順序進(jìn)行分配，然后通過計(jì)算各屬性值之間的支持度來獲得PA算子的權(quán)重，最后根據(jù)屬性值的順序和支持度對(duì)其進(jìn)行有效聚合，生成POWA算子的概率乘積。

支持函數(shù)記為Sup(ai,aj)=Ke-α(ai-aj)2，其中K∈[0,1]，且α≥0。顯而易見，支持函數(shù)滿足以下性質(zhì)：

1)Sup(ai,aj)∈[0,1]；

2)Sup(ai,aj)=Sup(aj,ai)；

3)Sup(ai,aj)≥Sup(x,y)，若|ai-aj|<|x-y|。

2.1 POWA算子

定義3[17]POWA算子可以通過函數(shù)g來表示：

(1)

并且函數(shù)g滿足g:[0,1]→[0,1]，如果x>y，則g(x)≥g(y)，g(0)=1，g(1)=1，并有：

(2)

假設(shè)一種特殊情況，當(dāng)g(x)=x，此時(shí)退化為PA算子。μi表示為如下形式：

(3)

此外，考慮到具有不同可靠度的運(yùn)算符與被聚合的對(duì)象之間的相關(guān)聯(lián)性影響，滿足wi∈[0,1]，Vi表示為：

(4)

2.2 POWA算子的權(quán)重

(5)

其中：

(6)

考慮到OWA算子的權(quán)重，TV表示為：

(7)

3 基于軟似然函數(shù)的直覺模糊多屬性決策方法

3.1 直覺模糊環(huán)境下的多屬性決策問題描述

以直覺模糊環(huán)境下的多屬性決策問題為研究背景，首先對(duì)問題作如下描述。

設(shè)有m個(gè)備選方案A={Ai|i∈[1,m]}，n個(gè)屬性C={Cj|j∈[1,n]}(其中i，j均為非零正整數(shù))，每個(gè)方案有n個(gè)屬性特征，利用直覺模糊集描述決策者對(duì)方案Ai關(guān)于屬性Cj的評(píng)價(jià)值，則第i個(gè)方案的第j個(gè)屬性信息可表示為βij(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n)，其中每個(gè)βij=(sμij,sνij)都有其各自的可靠度υij(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n)，表示特征屬性的重要性程度，sμij表示隸屬度，反映決策者的滿意程度，sνij表示非隸屬度，反映決策者的否定程度。

利用OWA算子得出不同態(tài)度特征下對(duì)應(yīng)的權(quán)重值，用于刻畫決策者的主觀偏好，在支持函數(shù)的基礎(chǔ)上，結(jié)合公式(5)和(6)，通過POWA算子得出新的權(quán)重值，經(jīng)過對(duì)決策信息的統(tǒng)一處理，得到最重的排序結(jié)果。

3.2 基于POWA算子的軟似然函數(shù)方法

基于Yager提出的POWA算子，Mi等[22]提出一種新的基于POWA算子的軟似然函數(shù)方法，屬性權(quán)重由OWA算子和PA算子結(jié)合產(chǎn)生，在考慮決策者態(tài)度特征的同時(shí)，引入了概率屬性之間的支持度。

定義5 引入索引函數(shù)σ，σi(k)代表第k大的參數(shù)索引值，故定義3中的POWA算子也可以表示為如下形式：

(8)

傳統(tǒng)似然函數(shù)僅是所有數(shù)據(jù)的簡(jiǎn)單乘積，如果存在某個(gè)非常接近于0的極端數(shù)據(jù)，將會(huì)大幅度降低最終的軟似然函數(shù)值。因此，在此通過引入屬性權(quán)重來減弱極端數(shù)據(jù)對(duì)結(jié)果產(chǎn)生的影響，同時(shí)考慮決策者的偏好程度和屬性值間的關(guān)系，將其優(yōu)化為屬性權(quán)重與屬性值乘積的連加形式。

考慮到POWA算子的權(quán)重，

故將直覺模糊形式下的軟似然函數(shù)定義為：

(9)

(10)

(11)

基于POWA算子的軟似然函數(shù)也可表示為：

此外，考慮到權(quán)重w的特殊情況，軟似然函數(shù)也可以表示成以下形式。

1)w*：對(duì)于j∈[2,q]，得出w1=1，wj=0，此時(shí)Li,w*=Prodi(1)=piσi(1)。

3.3 決策算法流程

輸入 現(xiàn)實(shí)中某個(gè)多屬性決策問題的直覺模糊信息。

輸出 各備選方案的排序結(jié)果及最優(yōu)備選方案。

步驟1 獲取專家對(duì)m個(gè)備選方案A={Ai|i∈[1,m]}的n個(gè)屬性C={Cj|j∈[1,n]}的評(píng)價(jià)信息(其中i，j均為非零正整數(shù))。

步驟 4 任取態(tài)度特征α∈[0,1]時(shí)，根據(jù)式(10)～(11)，分別求得方案Ai隸屬度和非隸屬度的軟似然值。

步驟 5 根據(jù)得分值s(α)對(duì)m個(gè)備選方案進(jìn)行排序，選出綜合條件最優(yōu)的方案。

4 算例分析

4.1 多屬性決策算例

為驗(yàn)證本文方法的有效性和可行性，采用文獻(xiàn)[23]中刑事案件實(shí)例進(jìn)行分析與對(duì)比。警方初步篩選出六名涉案人員{A1,A2,A3,A4,A5,A6}，考慮五個(gè)證據(jù)屬性的影響{C1,C2,C3,C4,C5}，對(duì)應(yīng)的直覺模糊信息在表1中給出，并以態(tài)度特征α=0.2下A1的隸屬度計(jì)算為例，開展基于POWA算子的軟似然函數(shù)方法在直覺模糊環(huán)境下的多屬性決策中的應(yīng)用研究。

表1 六名涉案人員的數(shù)據(jù)信息Tab.1 Data information on the six suspects

步驟 2 確定支持函數(shù)時(shí)，一般采用一種典型情況計(jì)算，假設(shè)K=1，α=1，則Sup(ai,aj)=e-(ai-aj)2，得出A1的支持函數(shù)值，見表2。

表2 A1的支持函數(shù)值Tab.2 Probability support function of A1

步驟3 運(yùn)用式(5)～(6)，求得POWA算子的權(quán)重值，見表3。

表3 α=0.2時(shí)POWA的權(quán)重值Tab.3 Weights of POWA with α=0.2

步驟4 根據(jù)似然函數(shù)的計(jì)算方法，引入索引函數(shù)σi(k)，獲得隸屬度排序，σi(1)=1，σi(2)=5，σi(3)=2，σi(4)=3，σi(5)=4，并得出乘積值Prodi(1)=0.8370，Prodi(2)=0.4570，Prodi(3)=0.3281，Prodi(4)=0.0210，Prodi(5)=0.000441。

步驟 5 利用式(12)，計(jì)算態(tài)度特征α=0.2下A1隸屬度的軟似然值，見表4。

表4 α=0.2時(shí)A1的隸屬度的軟似然值Tab.4 Soft likelihood value of the membership degree of A1 with α=0.2

步驟6 按照上述步驟，得到不同態(tài)度特征α∈[0,1]下，尤其是α=0.2，α=0.5，α=0.8時(shí)，六名涉案人員的軟似然值及相應(yīng)的得分值，具體結(jié)果見表5，按照得分值大小對(duì)六名涉案人員進(jìn)行排序，排序結(jié)果為A2?A4?A6?A3?A5?A1，因此，最可能的嫌疑人為第二名涉案人員。

表5 POWA下六名涉案人員的軟似然值Tab.5 Soft likelihood values of the six suspects with POWA operator

4.2 對(duì)比驗(yàn)證

為進(jìn)一步驗(yàn)證本文方法的有效性，將本文方法與文獻(xiàn)[23]的方法進(jìn)行對(duì)比。表6為兩種不同方法的結(jié)果對(duì)比，可以看出在這兩種方法下得到完全一致的涉案人員排序結(jié)果，排序結(jié)果都為A2?A4?A6?A3?A5?A1，充分證明了本文方法在多屬性決策中的可行性，對(duì)于最可能的嫌疑人的選擇是一致的，都為第二名涉案人員，確保了決策結(jié)果是正確的。

表6 利用兩種不同算子得到的排序結(jié)果對(duì)比Tab.6 Comparison of ranking results by two operators

由于本文所提方法在OWA算子的基礎(chǔ)上利用了PA算子，用幾何平均值來軟化概率乘積，因此，本文方法能更好地軟化加權(quán)值，減緩軟似然值的變化，從而較好地避免了極端數(shù)據(jù)對(duì)結(jié)果產(chǎn)生的影響。在表5的結(jié)果數(shù)據(jù)中并未出現(xiàn)無限趨近于0的值，證明結(jié)果值沒有受到表1中類似0.0004、0.020這種極端數(shù)據(jù)的影響。

圖1和圖2直觀地反映了兩種方法下結(jié)果值的變化趨勢(shì)。

圖1 不同態(tài)度特征下基于OWA算子的軟似然函數(shù)值Fig.1 Soft likelihood function values by OWA operator with different optimistic attitudinal characters

圖2 不同態(tài)度特征下基于POWA算子的軟似然函數(shù)值Fig.2 Soft likelihood function values by POWA operator with different optimistic attitudinal characters

從圖中可以看出，兩種方法的軟似然值都隨態(tài)度特征的增加而增加，呈現(xiàn)了相同的趨勢(shì)。從定量角度看，一般決策者的態(tài)度特征是呈線性變化的，即決策者越悲觀，其軟似然值越小，決策者越樂觀，軟似然值就越大。相較于圖1，能直觀地看出圖2呈現(xiàn)出更好的線性變化，即不同態(tài)度特征下的軟似然函數(shù)值反映了決策者不同的態(tài)度偏好?？偟膩碚f，本文所提方法的優(yōu)勢(shì)在于更好地反映了決策者的偏好程度及證據(jù)的可靠性影響，減弱極端數(shù)據(jù)對(duì)結(jié)果值造成的影響，并且能更全面地考慮現(xiàn)實(shí)生活中來自多屬性因素的影響，從而進(jìn)行綜合決策分析。

5 結(jié) 語

本文將基于POWA算子的軟似然函數(shù)引入直覺模糊環(huán)境下的多屬性決策問題中，提出基于軟似然函數(shù)的直覺模糊多屬性決策方法，并通過實(shí)例分析驗(yàn)證基于POWA算子的軟似然函數(shù)方法在直覺模糊集上是基于OWA算子的軟似然函數(shù)方法的進(jìn)一步優(yōu)化，所提方法具有更顯著的優(yōu)勢(shì)，不僅能有效解決傳統(tǒng)似然函數(shù)中結(jié)果值受極端數(shù)據(jù)影響這一問題，而且能通過引入態(tài)度特征識(shí)別實(shí)際生活中決策者的主觀偏好，更好地反映決策者的偏好態(tài)度，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)屬性值的綜合決策分析。

今后將進(jìn)一步研究其他模糊集支持下軟似然函數(shù)在多屬性決策中的應(yīng)用，如：區(qū)間直覺模糊集[27]下基于軟似然函數(shù)的多屬性決策方法研究、畢達(dá)哥拉斯模糊集[28-29]下基于軟似然函數(shù)的多屬性決策方法研究等，以及進(jìn)一步開展對(duì)軟似然函數(shù)的深入研究，提出基于其他算子下更為優(yōu)化的軟似然函數(shù)方法。