廣州大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院(510006);廣州大學(xué)計(jì)算科技研究院(510006);廣州市第二中學(xué)(510530)程漢波

1 問(wèn)題提出

2 一般化

3 特殊化

特殊化通常是指一般化命題的特殊例子.波利亞也在《怎樣解題》中闡述道:特殊化是從考慮一組給定的對(duì)象集合過(guò)渡到考慮該集合的一個(gè)較小的子集,或僅僅一個(gè)對(duì)象.特殊化可以通過(guò)具體的數(shù)字去進(jìn)行代入,也可以指就“極端”的情況進(jìn)行考慮,還包括作出具體的圖形等.

應(yīng)用以上一般化的命題1,利用特殊化的策略,可得如下幾道文[3](以下例1、例2、例3)和文[4](以下例4、例5)中頗有難度的習(xí)(例)題.

以命題1 為背景的組合恒等式問(wèn)題屢見(jiàn)不鮮.讀者還可嘗試尋找或命制出更多與此背景相關(guān)的組合恒等式,以感悟一般化的結(jié)論利用特殊化的策略在命題中的廣泛使用.

4 再證一元次多項(xiàng)式的一個(gè)特性

盡管特殊化與一般化是在兩個(gè)方向上進(jìn)行的,但是,這兩者在實(shí)際數(shù)學(xué)研究中又是密切相關(guān)的、相互依賴的.特殊化只有上升到一般的高度,我們可能更為深刻地認(rèn)識(shí)和理解各個(gè)特殊的例子,才能更好地解決問(wèn)題.

文[5]給出了一元n次多項(xiàng)式的如下一個(gè)特性,并利用高階差分相關(guān)的知識(shí)進(jìn)行了繁雜的證明,若利用命題1,該優(yōu)美特性的簡(jiǎn)潔證明便是水到渠成.

5 小結(jié)與反思

本文首先將特殊的兩道中科大新生入學(xué)考試題和一道清華大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科能力測(cè)試題(TACA)進(jìn)行一般化,得到更加普遍和深刻的命題1,然后由一般化的命題1 又輕松地解決了文[3-4]中的五道習(xí)(例)題,即是將一般化的結(jié)果特殊化的體現(xiàn).而且,在一般化與特殊化的“再創(chuàng)造”與“數(shù)學(xué)化”的過(guò)程中,簡(jiǎn)潔有力改良了文獻(xiàn)[5]中有關(guān)一元n次多項(xiàng)式一條特性的證明過(guò)程.

由此可見(jiàn),一般化、特殊化滲透于解題的全過(guò)程,協(xié)同解決數(shù)學(xué)問(wèn)題.一般化與特殊化的螺旋過(guò)程中,能除去那些不必要的步驟,弄清問(wèn)題的關(guān)鍵所在,使思路明晰起來(lái),抓住問(wèn)題的本質(zhì),給出一些簡(jiǎn)單、漂亮的解法和變式訓(xùn)練.這樣,我們?cè)趯W(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的同時(shí)收獲了學(xué)習(xí)知識(shí)的方法、也收獲了愉悅充實(shí)的心情.

正如波利亞把一般化、特殊化和類比并列地稱為“獲得發(fā)現(xiàn)的偉大源泉”.英國(guó)著名數(shù)學(xué)家梅森集中研究了數(shù)學(xué)中的特殊化和一般化方法及其在解題中的作用后認(rèn)為:特殊化與一般化正是數(shù)學(xué)思維的核心,同時(shí)也是怎樣解題的關(guān)鍵.