廣東省廣州市花都區(qū)新華培新學校(510800)洪鵬花

廣東省廣州市花都區(qū)赤坭鎮(zhèn)赤坭圩小學(510830)李思根

文[1]研究了正多邊形的同心圓(即圓心在正多邊形中心的圓)的兩個性質:(1)正多邊形同心圓上的任意一點到各頂點距離的平方和是定值;(2)正多邊形同心圓上任意一點到各邊距離的平方和是定值.

文[2]推廣了文[1]的結論,得到了正多邊形的同心橢圓(即橢圓中心在正多邊形中心的橢圓)的兩個性質:(1)設G為正n邊形的中心,則以G為中心的橢圓上任意一點到正n邊形的各頂點的距離的平方和與該點到橢圓兩焦點距離的乘積的n倍之和為定值;(2)設G為正邊形的中心,則以G為中心的橢圓上任意一點到正n邊形的各邊所在直線的距離的平方和與該點到橢圓兩焦點距離的乘積的倍之和為定值.

圓錐曲線包括:圓、橢圓、雙曲線、拋物線.圓與橢圓具有以上兩個性質,本文把以上兩個性質推廣到雙曲線和拋物線.

正多邊形的同心雙曲線,即雙曲線中心在正多邊形中心的雙曲線;正多邊形的同心拋物線,即拋物線頂點在正多邊形中心的拋物線,以上同心圓、同心橢圓、同心雙曲線、同心拋物線統(tǒng)稱為正多邊形同心圓錐曲線.

定理1設G為正n邊形的中心,則以G為中心的雙曲線上任意一點P到正n邊形的各頂點的距離的平方和與點P到雙曲線兩焦點距離的乘積的n倍之差為定值n(a2-b2+r2),其中a,b分別為雙曲線的實半軸和虛半軸的長度,r為正n邊形外接圓的半徑.

證明如圖1所示,點G為正多邊形A1A2···An和雙曲線C:的中心,點P是雙曲線C上的任意一點,如圖1 以G為原點建立平面直角坐標系.

圖1

定理2設G為正n邊形的中心,則以G為中心的拋物線上任意一點到正n邊形的各頂點的距離的平方和與該點到拋物線頂點距離的平方的n倍之差為定值nr2,其中r為正n邊形外接圓的半徑.

證明如圖2所示,點G為正多邊形A1A···An和拋物線C:y2= 2px(p ＞0)的中心,點P是拋物線C上的任意一點,如圖2 以G為中心建立平面直角坐標系,設正多邊形外接圓半徑為r.

圖2