胡莉

現(xiàn)實(shí)生活中，許多問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系可以抽象為一元二次方程。因此，從深化數(shù)學(xué)模型思想、加強(qiáng)應(yīng)用意識(shí)的角度看，從實(shí)際問(wèn)題中抽象出數(shù)量關(guān)系，列出一元二次方程，求出它的根進(jìn)而解決實(shí)際問(wèn)題，是一元二次方程學(xué)習(xí)的主線(xiàn)。為了更好地體現(xiàn)這一思想，除在講解一元二次方程的概念、表示和解法研究中注重從實(shí)際問(wèn)題出發(fā)外，還有三個(gè)探究，讓學(xué)生建立一元二次方程模型解決實(shí)際問(wèn)題。

一元二次方程是初中數(shù)學(xué)中最重要的數(shù)學(xué)模型之一，它有豐富的實(shí)際背景。通過(guò)建立一元二次方程模型解決實(shí)際問(wèn)題，可以使學(xué)生更深入地體會(huì)數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)世界的聯(lián)系，發(fā)展學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)。開(kāi)篇利用人體雕像這一典型的黃金分割問(wèn)題，通過(guò)建立數(shù)學(xué)模型得到一元二次方程，由此引發(fā)學(xué)習(xí)本章內(nèi)容的需要。接著，通過(guò)制作無(wú)蓋方盒問(wèn)題和邀請(qǐng)參賽球隊(duì)的個(gè)數(shù)問(wèn)題，又得到兩個(gè)一元二次方程，然后引導(dǎo)學(xué)生從“未知數(shù)的個(gè)數(shù)”和“最高次數(shù)”兩個(gè)方面進(jìn)行歸納，抽象出一元二次方程的概念及其數(shù)學(xué)符號(hào)表示（一元二次方程的一般形式）。在討論一元二次方程的解法時(shí)，又通過(guò)簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生分析其中的已知量、未知量和等量關(guān)系，建立一元二次方程，得出方程的解，并檢驗(yàn)所得的結(jié)果是否符合實(shí)際，最終將問(wèn)題推廣，得出具有一般意義的一元二次方程的解法。在掌握解法的基礎(chǔ)上，以探究的方式提出問(wèn)題，使學(xué)生完整地經(jīng)歷“問(wèn)題情境--建立模型--求解驗(yàn)證”的數(shù)學(xué)活動(dòng)過(guò)程。

21.3實(shí)際問(wèn)題與一元二次方程

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

能根據(jù)實(shí)際問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系正確列出一元二次方程.

通過(guò)列方程解應(yīng)用題體會(huì)一元二次方程在實(shí)際生活中的應(yīng)用.

經(jīng)歷將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程，提高數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí).

【教學(xué)重點(diǎn)】

根據(jù)問(wèn)題建立一元二元方程的數(shù)學(xué)模型并運(yùn)用它解決實(shí)際問(wèn)題..

【教學(xué)難點(diǎn)】

建立數(shù)學(xué)模型.

【課前 -? 預(yù) 學(xué) 單】

學(xué)生預(yù)學(xué)指導(dǎo)單（知識(shí)清單10-15分鐘）：

閱讀課本P19-21，回答下列問(wèn)題

1、有一人患了流感，經(jīng)過(guò)兩輪傳染后共有121人患了流感，每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了幾個(gè)人？

分析： 第一輪傳染____ 第二輪傳染后____設(shè)每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了x個(gè)人，則第一輪后共有____人患了流感，第二輪后共有____人患了流感.

2、兩年前生產(chǎn) 1噸甲種藥品的成本是5000元，生產(chǎn)1噸乙種藥品的成本是6000元，隨著生產(chǎn)技術(shù)的進(jìn)步，現(xiàn)在生產(chǎn) 1噸甲種藥品的成本是3000元，生產(chǎn)1噸乙種藥品的成本是3600元，哪種藥品成本的年平均下降率較大？

分析：甲種藥品成本的年平均下降額為??????

乙種藥品成本的年平均下降額為

【課中 -? 探 究 單】

探究主題設(shè)置（激學(xué)）

列一元一次方程解應(yīng)用題的步驟？

①審題，②設(shè)出未知數(shù). ③找等量關(guān)系.?? ④列方程，??? ⑤解方程，?? ⑥答.

探究1： 有一人患了流感，經(jīng)過(guò)兩輪傳染后共有121人患了流感，每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了幾個(gè)人？

解：設(shè)每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了x個(gè)人

列方程得? 1+x+x（x+1）=121

x2+2x-120=0

解方程，得??????? x1=-12，??????? x2=10

根據(jù)問(wèn)題的實(shí)際意義，x=10

答：每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了10個(gè)人.

以“探究”欄目的方式給出例題，在分析題意、解決問(wèn)題的過(guò)程中，通過(guò)“邊空提問(wèn)”提示學(xué)生思考數(shù)學(xué)結(jié)論的現(xiàn)實(shí)意義，并通過(guò)“思考”欄目進(jìn)一步提出拓展性、開(kāi)發(fā)性問(wèn)題。解決了探究1以后，提出了兩個(gè)問(wèn)題：通過(guò)對(duì)這個(gè)問(wèn)題的探究，對(duì)類(lèi)似的傳播問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系有了新的認(rèn)識(shí)。如果按照這樣的傳染速度，經(jīng)過(guò)三輪傳染后共有多少人患流感？對(duì)這些問(wèn)題的思考，可以加深學(xué)生對(duì)“傳播問(wèn)題”的認(rèn)識(shí)，感受與“增長(zhǎng)率”相關(guān)的數(shù)學(xué)模型中的數(shù)量關(guān)系，同時(shí)還能培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)模型解釋現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的能力，這就是一個(gè)培養(yǎng)分析問(wèn)題和解決問(wèn)題能力的過(guò)程。

學(xué)生自主探究（自學(xué)）

探究2：兩年前生產(chǎn) 1噸甲種藥品的成本是5000元，生產(chǎn)1噸乙種藥品的成本是6000元，隨著生產(chǎn)技術(shù)的進(jìn)步，現(xiàn)在生產(chǎn) 1噸甲種藥品的成本是3000元，生產(chǎn)1噸乙種藥品的成本是3600元，哪種藥品成本的年平均下降率較大？

分析：甲種藥品成本的年平均下降額為 （5000-3000）÷2=1000（元）×

乙種藥品成本的年平均下降額為 （6000-3600）÷2=1200（元）

乙種藥品成本的年平均下降額較大.但是，年平均下降額（元）不等同于年平均下降率

解：設(shè)甲種藥品成本的年平均下降率為x，則一年后甲種藥品成本為5000（1-x）元，兩年后甲種藥品成本為 5000（1-x）2元，依題意得

5000（1-x）2=3000

解方程，得

答：甲種藥品成本的年平均下降率約為22.5%.

算一算：乙種藥品成本的年平均下降率是多少？ 比較：兩種藥品成本的年平均下降率

探究2以生產(chǎn)成本變化為問(wèn)題情境，討論平均變化率的問(wèn)題。這類(lèi)問(wèn)題在現(xiàn)實(shí)世界中也有很多原型，例如經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)率、人口增長(zhǎng)率等。本節(jié)中討論的是兩輪（即兩個(gè)時(shí)間段）的平均變化率，可以用一元二次方程作為數(shù)學(xué)模型。設(shè)平均變化率為x，則有下列關(guān)系：變化前數(shù)量×（1+x）2=變化后的數(shù)量。在探究2的問(wèn)題中，涉及成本下降額和成本下降率這兩個(gè)接近而不同的概念，前者表示絕對(duì)變化量，單位是元;后者表示相對(duì)變化量，是表示比率的數(shù)字。通過(guò)這個(gè)問(wèn)題，可以使學(xué)生體會(huì)分析問(wèn)題時(shí)應(yīng)對(duì)變化額和變化率兩者兼顧，這樣才能全面認(rèn)識(shí)一種變化情況。

小組合作學(xué)習(xí)（合學(xué)）

探究3：如圖，要設(shè)計(jì)一本書(shū)的封面，封面長(zhǎng)27cm，寬21cm，正中央是一個(gè)與整個(gè)封面長(zhǎng)寬比例相同的矩形，如果要使四周的彩色邊襯所占面積是封面面積的四分之一，上、下邊襯等寬，左、右邊襯等寬，應(yīng)如何設(shè)計(jì)四周邊襯的寬度（精確到0.1cm）？

探究3的問(wèn)題中，已知封面及正中央矩形的長(zhǎng)寬比都是9：7，由此可以推出上、下，左、右邊襯寬度之比也是9：7.這一關(guān)系在解決問(wèn)題中是很重要的，根據(jù)它可以合理地設(shè)未知數(shù)。方程的兩根都是正數(shù)，但它們并不都是問(wèn)題的解。必須根據(jù)它們值的大小，來(lái)確定哪個(gè)更合乎實(shí)際。這種取舍更多地要考慮問(wèn)題的實(shí)際意義，這是檢驗(yàn)數(shù)學(xué)模型的解是否符合實(shí)際的過(guò)程。

教師指導(dǎo)學(xué)習(xí)（導(dǎo)學(xué)）

列一元二次方程解一元二次方程的一般步驟：

（1）審（2）設(shè)（3）列（4）解（5）驗(yàn)——檢驗(yàn)方程的解是否符合題意，將不符合題意的解舍去.（6）答

一元二次方程是刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)世界中某些數(shù)量關(guān)系的有效數(shù)學(xué)模型。在運(yùn)用一元二次方程分析、表達(dá)和解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程中，要注意體會(huì)建立數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問(wèn)題的思想和方法。

課堂鞏固練習(xí)

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