張冬燕， 郭從洲， 劉 倩

(信息工程大學(xué) 基礎(chǔ)部，鄭州450002)

1 引 言

函數(shù)的微分是微積分理論中幾個(gè)重要的核心概念之一，它是構(gòu)建微分學(xué)知識(shí)體系的細(xì)胞，是領(lǐng)悟微積分思想精髓，實(shí)現(xiàn)微積分概念間融合貫通的關(guān)鍵.然而，在實(shí)踐教學(xué)中微分概念一直以來都是學(xué)生理解、掌握的難點(diǎn).文獻(xiàn)[1]對(duì)浙江某省屬重點(diǎn)大學(xué)278位同學(xué)在學(xué)完一元微積分后進(jìn)行問卷調(diào)查，發(fā)現(xiàn)55%的同學(xué)認(rèn)為“微分的概念”與中學(xué)的內(nèi)容銜接困難，只有15%位同學(xué)能夠給予微分準(zhǔn)確的定義和描述.從我校課后作業(yè)“簡(jiǎn)述導(dǎo)數(shù)與微分概念實(shí)質(zhì)”和“總結(jié)：極限、連續(xù)、導(dǎo)數(shù)與微分概念間的聯(lián)系與區(qū)別，說明理由”的反饋看，僅有9.6%的同學(xué)能夠建立微分與極限的關(guān)系，11.5%的同學(xué)理解到微分是函數(shù)增量的近似值.而大部分學(xué)生對(duì)微分概念的掌握停留在微分的計(jì)算層面，不能夠真正理解并掌握微分是函數(shù)增量的近似值這一本質(zhì)含義.文獻(xiàn)[2]調(diào)查了這一現(xiàn)象，分析了學(xué)生理解微分概念的認(rèn)知方式并提出“建議以多種表征進(jìn)行概念教學(xué)”.然而，是什么原因造成了微分概念的理解困難？又該如何基于學(xué)生的認(rèn)知方式多表征地進(jìn)行微分的概念教學(xué)呢？下面，筆者嘗試從認(rèn)知心理學(xué)的角度分析、揭示學(xué)生對(duì)微分概念理解困難的原因所在，并基于學(xué)習(xí)理論采取針對(duì)性的策略重構(gòu)教學(xué)設(shè)計(jì)，促進(jìn)學(xué)生對(duì)微分概念的深入理解.

2 微分概念理解困難的原因分析

現(xiàn)代認(rèn)知心理學(xué)告訴我們，在概念學(xué)習(xí)中學(xué)生主要通過兩種形式獲得概念，分別是概念形成和概念同化[3].概念形成是指學(xué)生通過辨別概念的正反例證，在提出、假設(shè)、檢驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)概念的本質(zhì)屬性[3].概念同化由美國(guó)教育心理學(xué)家奧蘇伯爾提出，意思是說，學(xué)習(xí)者頭腦中儲(chǔ)存了某種認(rèn)知結(jié)構(gòu)(或知識(shí)結(jié)構(gòu))，學(xué)習(xí)者通過發(fā)現(xiàn)新知識(shí)與原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)(或知識(shí)結(jié)構(gòu))中的舊知識(shí)之間的聯(lián)系，吸收新知識(shí)，把新知識(shí)納入已有認(rèn)知結(jié)構(gòu)(或知識(shí)結(jié)構(gòu))中，從而使原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)(或知識(shí)結(jié)構(gòu))發(fā)生擴(kuò)大、限制或深化等變化[3].奧蘇伯爾對(duì)這一學(xué)習(xí)方式做了一個(gè)形象的比喻.他把新學(xué)習(xí)的知識(shí)比作剛駛進(jìn)港口的船，把頭腦中原有的舊知識(shí)比作錨樁，當(dāng)船靠進(jìn)岸以后，要把船的錨固定在這個(gè)事先設(shè)置好的牢固的樁上，即錨樁上，船才能?？堪哆?，新知識(shí)才能被吸收納入到原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)(或知識(shí)結(jié)構(gòu))中.這個(gè)固定新知識(shí)的“錨樁”，是與新知識(shí)具有相似性的先有經(jīng)驗(yàn)(包括生活經(jīng)驗(yàn)、數(shù)學(xué)知識(shí)、活動(dòng)經(jīng)驗(yàn))，我國(guó)心理學(xué)家稱之為“同化固定點(diǎn)”[4].同化固定點(diǎn)對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)新知識(shí)的影響是巨大的，一個(gè)人的頭腦中儲(chǔ)存的同化知識(shí)點(diǎn)越豐富，越穩(wěn)定，越清晰，對(duì)新知識(shí)的吸收、同化能力就越強(qiáng).反之，如果一個(gè)人頭腦中與新知識(shí)相關(guān)的先有經(jīng)驗(yàn)(包括生活經(jīng)驗(yàn)、數(shù)學(xué)知識(shí)、活動(dòng)經(jīng)驗(yàn))也即同化固定點(diǎn)缺乏，模糊不清，那么他同化吸收新知識(shí)、新概念的能力就弱.

概念形成和概念同化是學(xué)生概念學(xué)習(xí)中獲得概念的主要方式，它們相輔相成，根據(jù)認(rèn)知結(jié)構(gòu)(或知識(shí)結(jié)構(gòu))的復(fù)雜程度靈活轉(zhuǎn)換.當(dāng)學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)(或知識(shí)結(jié)構(gòu))復(fù)雜，先有經(jīng)驗(yàn)較豐富時(shí)，概念同化的學(xué)習(xí)方式占據(jù)主要，當(dāng)認(rèn)知結(jié)構(gòu)(或知識(shí)結(jié)構(gòu))單一，先有經(jīng)驗(yàn)空白、缺乏時(shí)，學(xué)習(xí)方式傾向于概念形成.而無論是概念形成還是概念同化，學(xué)生頭腦中存儲(chǔ)的與新知識(shí)相關(guān)的先有經(jīng)驗(yàn)(包括生活經(jīng)驗(yàn)、數(shù)學(xué)知識(shí)、活動(dòng)經(jīng)驗(yàn))是實(shí)現(xiàn)知識(shí)吸收、同化的先決條件.

分析學(xué)生對(duì)微分概念的學(xué)習(xí)過程，由于高中課程重點(diǎn)介紹極限和導(dǎo)數(shù)，未涉及微分相關(guān)知識(shí)，而導(dǎo)數(shù)的定義與微分的定義在形式上相差千里，如果教師在教學(xué)時(shí)僅以導(dǎo)數(shù)概念為學(xué)習(xí)微分的固化知識(shí)點(diǎn)，就會(huì)造成學(xué)生學(xué)習(xí)微分時(shí)與微分概念相似相近的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)缺乏，同化新概念的準(zhǔn)備不足而出現(xiàn)學(xué)習(xí)微分概念時(shí)感到陌生，接收困難.事實(shí)上，國(guó)內(nèi)絕大部分教材以Δy=AΔx+o(x)的形式定義微分，從概念的表征看，定義中緊密關(guān)聯(lián)的是函數(shù)的增量、高階無窮小概念，和以主部代替全部的“抓大舍小”的近似代替思想.因此要理解微分的定義，必須先掌握函數(shù)的增量和高階無窮小概念，而要領(lǐng)悟微分概念的本質(zhì)含義，還需要有“抓大舍小”的近似代替思想.也就是說，函數(shù)的增量、高階無窮小概念和近似的思想是學(xué)生吸收微分概念的“同化固定點(diǎn)”.函數(shù)的增量容易理解，教材強(qiáng)調(diào)的不多，是很容易掌握卻也極容易被忽視的概念.而高階無窮小對(duì)學(xué)生而言，也是一個(gè)嶄新的初學(xué)概念，它在學(xué)習(xí)微分概念之前一章中學(xué)習(xí)，有的學(xué)生對(duì)它還沒有形成概念意向，有的對(duì)它的理解止于“無窮小”，大部分學(xué)生還不能理解高階無窮小“較快地趨于零”這一性質(zhì)，也沒有高階無窮小因此可以被“舍棄”做近似計(jì)算的思想.這些認(rèn)知盲點(diǎn)如同一道道屏障影響著學(xué)生對(duì)微分是函數(shù)增量的近似值的深刻認(rèn)知.因此，可以說，在微分概念的學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生對(duì)高階無窮小概念的理解不透徹，對(duì)高階無窮小所隱含的近似代替思想的缺乏是導(dǎo)致微分概念理解困難的鏈?zhǔn)椒磻?yīng).

3 構(gòu)建概念形成與概念同化相結(jié)合的“混合式”概念教學(xué)模式

根據(jù)認(rèn)知心理學(xué)理論，學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)處于不斷的發(fā)展變化過程中.當(dāng)學(xué)習(xí)者的認(rèn)知結(jié)構(gòu)比較簡(jiǎn)單，知識(shí)經(jīng)驗(yàn)比較貧乏，作為“固定點(diǎn)”的先有知識(shí)不具備或很少，不足以支撐新概念的同化時(shí)，學(xué)習(xí)者將采取概念形成的方式來學(xué)習(xí)新概念.當(dāng)學(xué)習(xí)者的知識(shí)結(jié)構(gòu)牢固、系統(tǒng)、豐富，知識(shí)經(jīng)驗(yàn)充足時(shí)概念同化的學(xué)習(xí)方式將成為主要的概念獲得方式.為此，針對(duì)學(xué)生微分概念理解困難的原因，構(gòu)建如下概念形成和概念同化相結(jié)合的“混合式”概念教學(xué)模式.

圖1 “混合式”概念教學(xué)模式

階段1：針對(duì)新概念的“固定點(diǎn)”知識(shí)缺乏，設(shè)計(jì)先行組織者，為學(xué)生提供學(xué)習(xí)新概念所必需的“固定點(diǎn)”知識(shí)；

階段2：尊重學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，采用概念形成模式組織教學(xué)，引入具體例子，設(shè)計(jì)概念性例題引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)概念的本質(zhì)屬性，形成概念；

階段3：利用概念同化學(xué)習(xí)原理，通過比較新舊概念之間的異同，揭示概念內(nèi)涵，明辨概念外延，充分利用已有知識(shí)同化新概念的理解與吸收.

4 微分概念的教學(xué)設(shè)計(jì)

在此模式下進(jìn)行微分概念的教學(xué)設(shè)計(jì)，具體教學(xué)流程如下：.

圖2 微分概念的教學(xué)設(shè)計(jì)

4.1 以高階無窮小概念和等價(jià)無窮小概念的復(fù)習(xí)為先行組織者

在學(xué)習(xí)微分之前，復(fù)習(xí)回顧高階無窮小和等價(jià)無窮小的概念.如果兩個(gè)無窮小α(x)與β(x)的商的極限是1，就稱α(x)與β(x)為等價(jià)無窮小.等價(jià)無窮小α(x)與β(x)是否相等呢？不是，是指它們近似相等.為什么說它們近似相等呢？對(duì)此問題的剖析中，強(qiáng)調(diào)高階無窮小“較快的趨于零”以至可以被“舍掉”的性質(zhì)，突出近似代替思想.

4.2 引入實(shí)例，復(fù)習(xí)函數(shù)增量概念，為增量近似計(jì)算問題的提出埋下伏筆

例1設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為x0，面積為y，當(dāng)邊長(zhǎng)由x0增加到x0+Δx時(shí)，面積增加了多少？

例2給一個(gè)邊長(zhǎng)為r0的立方體的表面涂上厚度為Δr的油漆，需用多少體積的油漆？

例3有一座鐘，原擺長(zhǎng)0.1m，到了冬季擺長(zhǎng)因熱脹冷縮短了0.0023m，問這只鐘表每分鐘快了多少？

4.3 提出問題，分析實(shí)例，歸納猜想，抽象出微分定義

從以上例題可以看出，隨著函數(shù)復(fù)雜程度的增加，函數(shù)增量的計(jì)算越來越復(fù)雜，可否退而求其次，對(duì)函數(shù)的增量作簡(jiǎn)化的近似計(jì)算？

圖3 圖4

4.4 深入探究可微的條件和微分的計(jì)算，利用導(dǎo)數(shù)知識(shí)同化微分概念

定理函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0可微等價(jià)于f(x)在點(diǎn)x0可導(dǎo)，且A=f′(x0)或dy=f′(x0)Δx.

函數(shù)在l0=0.1處微分

4.5 比較異同，同中見異，利用同化策略完成微分概念深化、延伸

圖5

4.5.1 從幾何圖形上作對(duì)比.

導(dǎo)數(shù)刻畫的是函數(shù)的變化率，而微分反映的是函數(shù)改變量的估值.從幾何上看，Δy-dy=o(Δx)，PN=o(Δx)，當(dāng)|Δx|很小時(shí)，|Δy-dy|=|PN|更小，因此當(dāng)|Δx|=|x-x0|很小時(shí)，曲線y=f(x)與它在點(diǎn)M的切線近乎重合，“曲線”可視為“直線”.

4.5.2 從應(yīng)用上作對(duì)比.

導(dǎo)數(shù)用于解決變化率問題，而微分作為函數(shù)增量的局部近似值，常用于近似計(jì)算.將近似式Δy≈dy展開，即有

f(x)≈f(x0)+f′(x0)(x-x0).

(*)

(*)式右邊是線性函數(shù)，所以在代數(shù)上，(*)式表示在微小局部用線性函數(shù)近似代替非線性函數(shù)，即非線性函數(shù)的局部線性化.“局部線性化”是微積分的基本思想，利用微積分處理實(shí)際問題時(shí)，通常將“不均勻”的視為“均勻的”，將“非線性的”視為“線性的”[5]，如此等等，使原本復(fù)雜的問題大大簡(jiǎn)化.如例3，雖然無法得到鐘表的每分鐘快了的精準(zhǔn)時(shí)間，但是卻可以簡(jiǎn)單地估算鐘表每分鐘快的大致時(shí)間.事實(shí)上，用dT≈ΔT得

因此鐘表每分鐘大約快了0.437s.當(dāng)然，用dT近似代替ΔT的近似程度如何？近似誤差是多少呢？這些問題我們將在后面繼續(xù)研究.

4.6 指導(dǎo)總結(jié)反思，構(gòu)建概念網(wǎng)絡(luò)圖，培養(yǎng)元認(rèn)知能力

以問題的形式指導(dǎo)學(xué)生回顧總結(jié)微分概念的學(xué)習(xí)，引導(dǎo)學(xué)生反思、審視自己的認(rèn)知過程，促進(jìn)學(xué)生元認(rèn)知能力的發(fā)展.

(i) 這節(jié)課學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容是什么？什么叫可微？什么是微分？對(duì)微分的概念是否理解并記住了？可以說出你對(duì)微分概念的理解嗎？

(ii) 與微分概念相關(guān)的知識(shí)點(diǎn)是什么？你能列出或畫出它與其他知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系嗎？你能分辨出微分與其他知識(shí)點(diǎn)的區(qū)別嗎？和學(xué)生共同構(gòu)建與微分概念相關(guān)的知識(shí)點(diǎn)之間的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖；

(iii) 在這節(jié)課的學(xué)習(xí)中有不清楚、沒有理解的地方嗎？有經(jīng)思考仍沒有明白的問題嗎[6]？

4.7 教學(xué)效果

按照以上教學(xué)設(shè)計(jì)開展微分概念的教學(xué)，與往屆學(xué)生相比，從歷年的課后作業(yè)來看，在作業(yè)“簡(jiǎn)述導(dǎo)數(shù)與微分概念實(shí)質(zhì)”和“總結(jié)：極限、連續(xù)、導(dǎo)數(shù)與微分概念間的聯(lián)系與區(qū)別，說明理由”的簡(jiǎn)答中，能夠從幾何和近似計(jì)算角度理解性的描述微分定義的人次大幅提升，具體結(jié)果見表1.

表1 對(duì)微分概念的理解作答情況

從表格的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)可見，本屆教學(xué)班學(xué)生所獲得的微分概念意象與微分定義原型的吻合度增加，學(xué)生對(duì)微分概念的認(rèn)知有所加深，“混合”了概念形成和概念同化兩種概念吸收方式的微分概念的教學(xué)有效促進(jìn)了學(xué)生對(duì)微分概念的理解.

5 結(jié) 論

數(shù)學(xué)概念是學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)中賴以思維的基礎(chǔ).2004年喻平教授提出了數(shù)學(xué)概念教學(xué)的三種模式：概念形成模式，概念同化模式和問題引申模式[7].然而“概念形成和概念同化不是相互獨(dú)立的，概念形成包含著同化因素，概念同化也含有概念形成因素.因此在概念教學(xué)中，應(yīng)當(dāng)把兩種方式結(jié)合起來…”[8]正是基于這樣的思考，本文首次構(gòu)建了融合概念形成和概念同構(gòu)兩種概念獲得方式的數(shù)學(xué)概念教學(xué)模式，并在此模式下開展了微分概念的教學(xué)實(shí)踐.

致謝作者非常感謝相關(guān)文獻(xiàn)對(duì)本文的啟發(fā)以及審稿專家提出的寶貴意見.