魏立力， 李晶晶

(寧夏大學(xué) 數(shù)學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院，銀川750021)

1 引 言

幾何概率是概率論中一個(gè)得以充分發(fā)展的分支，其中包括了許多有趣的問題[1]，也是貫穿高中數(shù)學(xué)和大學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一[2]. 其中最著名的問題就是“貝特朗奇論”，該問題引起了學(xué)界長(zhǎng)時(shí)間的廣泛討論[3-4]，近年來利用幾何概率研究有界凸體，并且在天體物理學(xué)、核物理、基本粒子物理學(xué)以分子生物學(xué)都有應(yīng)用[5-6]. 三維球體是特殊的有界凸體，其中兩隨機(jī)點(diǎn)距離的概率分布問題非常直觀且有趣，但求解需要“運(yùn)動(dòng)測(cè)度”(kinematic measure) 的概念[5]，不適于本科教學(xué). 本文基于幾何概率，用初等概率論的方法推導(dǎo)出了球內(nèi)兩隨機(jī)點(diǎn)距離的概率分布函數(shù)、概率密度函數(shù)和數(shù)學(xué)期望的解析表達(dá)式. 基于R語言，對(duì)單位球內(nèi)兩隨機(jī)點(diǎn)之間距離進(jìn)行了模擬，模擬結(jié)果與理論分析結(jié)果互為印證， 所得結(jié)果適合于本科概率論研究性學(xué)習(xí)和教學(xué)的素材.

設(shè)空間坐標(biāo)系中任意兩隨機(jī)點(diǎn)為P1(X1，Y1，Z1)和P2(X2，Y2，Z2)， 三維隨機(jī)變量(X1，Y1，Z1)和(X2，Y2，Z2)均服從球內(nèi)的均勻分布， 且相互獨(dú)立. 令D=|P1P2|表示兩點(diǎn)P1和P2之間的距離，問題就是要求D=|P1P2|的分布函數(shù)

(1)

下面從理論推導(dǎo)和隨機(jī)模擬兩個(gè)不同的視角研究這一問題.

2 分布函數(shù)的推導(dǎo)

不妨先考慮單位球，顯然D=|P1P2|的支撐集為 [0，2]，所以當(dāng)x<0時(shí)，F(xiàn)D(x)=0；當(dāng)x≥2時(shí)，F(xiàn)D(x)=1.下面主要討論當(dāng)0≤x<2時(shí)，F(xiàn)D(x)的表達(dá)式. 首先引入如下結(jié)論：

引理1兩個(gè)半徑分別為r1和r2的球，其球心距離為r，則當(dāng)|r1-r2|

(2)

圖1 兩個(gè)球體相交部分的體積(平面圖代替)

有關(guān)參數(shù)如圖1所示(用平面圖代替了立體圖)，注意到兩個(gè)球體相交部分是兩個(gè)同底球缺， 由球缺的體積公式以及兩個(gè)球缺之間的關(guān)系，可以導(dǎo)出本引理結(jié)論，推導(dǎo)過程并不平凡，但屬于初等方法，此處省略.

該引理可用初等概率論的知識(shí)直接計(jì)算得到，此處省略證明過程.

由于P1(X1，Y1，Z1)和P2(X2，Y2，Z2)都服從單位球內(nèi)的均勻分布，且相互獨(dú)立，因此

f(rsinθcosφ，rsinθsinφ，rcosθ)

這里用了對(duì)稱性，此概率只與r有關(guān)，與θ，φ無關(guān)，因此，有

(3)

其計(jì)算就是一個(gè)幾何概率問題. 設(shè)

Ω={(u，v，w)∶u2+v2+w2≤1}，Ω(x，r)={(u，v，w)∶(u-r)2+v2+w2≤x2}∩Ω.

圖2 陰影部分為區(qū)域Ω(x,r) 的示意圖(平面圖代替)

(4)

P(D≤x|R=r)=1.

(5)

情形三當(dāng)x，r取其他值時(shí)，這時(shí)兩球相交，由引理1可知，相交部分的體積為

相應(yīng)的幾何概率為

(6)

將公式 (4)，(5)，(6) 代入公式 (3) 可得，當(dāng)0≤x<1時(shí)，

當(dāng)1≤x<2時(shí)，

這樣就得到如下結(jié)論：

定理1設(shè)P1(X1，Y1，Z1)和P2(X2，Y2，Z2)獨(dú)立同分布于單位球內(nèi)的均勻分布，D=|P1P2|是P1，P2的距離，則D的分布函數(shù)為

對(duì)應(yīng)的概率密度函數(shù)為

如果將單位球換成半徑為R的球，則有如下結(jié)論.

推論1設(shè)P1(X1，Y1，Z1)和P2(X2，Y2，Z2)獨(dú)立同分布于半徑為R的球內(nèi)的均勻分布，D=|P1P2|是P1，P2的距離，則D的分布函數(shù)為

對(duì)應(yīng)的概率密度函數(shù)為

3 單位球內(nèi)兩隨機(jī)點(diǎn)距離的隨機(jī)模擬

下面基于R語言對(duì)單位球內(nèi)兩個(gè)隨機(jī)點(diǎn)之間距離進(jìn)行模擬. 采用篩選法產(chǎn)生單位球內(nèi)的均勻分布隨機(jī)點(diǎn)，具體而言算法如下.

Step1: 產(chǎn)生區(qū)間[-1，1]上的三個(gè)隨機(jī)數(shù)X，Y，Z；

Step2: 如果X2+Y2+Z2≤1，則P=(X，Y，Z)， 并停止；否則返回 Step1.

按照上述算法一次產(chǎn)生服從單位球內(nèi)均勻分布的兩個(gè)隨機(jī)點(diǎn)，計(jì)算兩點(diǎn)的距離D，對(duì)于給定的一個(gè)數(shù)0

圖3 隨機(jī)變量D的分布函數(shù)(光滑曲線)和隨機(jī)模擬值

表1是FD(x)的函數(shù)值和模擬值在x的一些值處的結(jié)果，可以看出兩者一致.

表1 分布函數(shù)FD(x)精確值和隨機(jī)模擬值的比較

4 結(jié) 論

幾何概率是概率論中一個(gè)經(jīng)典而充滿活力的內(nèi)容，蒲豐投針及貝特朗悖論都是人們熟知的幾何概率問題. 從本質(zhì)上講幾何概率是計(jì)算兩個(gè)幾何體的某種測(cè)度之比，為此數(shù)學(xué)家們發(fā)展了積分幾何的理論[7]，并且在天體物理學(xué)、核物理、基本粒子物理學(xué)以分子生物學(xué)都有應(yīng)用. 幾何概率的特點(diǎn)之一是問題描述比較簡(jiǎn)單，但求解不易，計(jì)算機(jī)模擬技術(shù)為幾何概率的計(jì)算提供了強(qiáng)有力的技術(shù)路徑. 本文實(shí)際上是先作了隨機(jī)模擬，發(fā)現(xiàn)模擬的分布函數(shù)呈現(xiàn)非常光滑的趨勢(shì)，從而猜測(cè)分布函數(shù)有比較簡(jiǎn)單的解析解，最終理論分析結(jié)果和模擬結(jié)果達(dá)到了互為印證.

本文方法與已有文獻(xiàn)相比， 問題的提出與建模、分布函數(shù)(概率密度函數(shù))的求解、模擬驗(yàn)證等環(huán)節(jié)只需要初等概率論的知識(shí)， 避開了運(yùn)動(dòng)測(cè)度 (kinematic measure) 的概念， 很適合于本科概率論研究性學(xué)習(xí)和教學(xué)的素材，通過隨機(jī)模擬和理論分析的相互印證，可以更好的理解隨機(jī)性思想.

致謝作者非常感謝相關(guān)文獻(xiàn)對(duì)本文的啟發(fā)以及審稿專家提出的寶貴意見.

附錄：隨機(jī)模擬的R程序

prob_simu<-function(d=1，n=2000){

i<-0

l<-list(x=numeric(0)，y=numeric(0)，z=numeric(0))

while(i

x<-runif(3，-1，1)

if(x[1]^2+x[2]^2+x[3]^2<1){

i<-i+1

l$x[i]<-x[1];l$y[i]<-x[2];l$z[i]<-x[3]

}

}

x<-l$x;y<-l$y;z<-l$z

i<-1;k<-N<-0

d2<-numeric(0)

for (i in seq(1，n-1，by=2)){

N<-N+1

d2[N]<-(x[i]-x[i+1])^2+(y[i]-y[i+1])^2+(z[i]-z[i+1])^2

if(d2[N]<=d^2) k<-k+1

i<-i+2

}

list("simu_value"=k/N，"mean_distance"=mean(sqrt(d2))，"N"=N)

}

x<-seq(0，2，0.02)

y<-mean_distance<-N<-numeric(0)

for (j in 1:length(x)){

r<-prob_simu(x[j])

y[j]<-r$simu_value

mean_distance[j]<-r$mean_distance

N[j]<-r$N

}

f<-x^3-(9/16)*x^4+(1/32)*x^6

plot(x，y)

lines(x，f，lwd=2， col="red")

simu_expect<-mean(mean_distance);simu_expect