劉合國(guó)， 徐行忠， 廖 軍

(湖北大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)學(xué)院，武漢430062)

1 引 言

多項(xiàng)式是高等代數(shù)的重要內(nèi)容之一，多項(xiàng)式的整除性是多項(xiàng)式的非?；镜男再|(zhì).本文將討論李炯生、查建國(guó)、王新茂編著的《線性代數(shù)》習(xí)題1.3.10，見(jiàn)[1，習(xí)題1.3.10]，并給出其解析.通過(guò)對(duì)這道多項(xiàng)式問(wèn)題的解析來(lái)闡述處理多項(xiàng)式這類問(wèn)題的方法和技巧.筆者認(rèn)為題目中應(yīng)該有一個(gè)打印錯(cuò)誤，即所求多項(xiàng)式的次數(shù)應(yīng)該是2n-1，以確保解的唯一性.事實(shí)上，如果f(x)是滿足題目條件的多項(xiàng)式，設(shè)f(x)=q(x)(x2-1)n+r(x)，其中r(x)為余式，則r(x)也是滿足條件的多項(xiàng)式.解法1運(yùn)用了中國(guó)剩余定理，見(jiàn)[2，第三章，定理6]，從中國(guó)剩余定理的角度能更清楚地看到該問(wèn)題的本質(zhì).在此解答過(guò)程中利用二項(xiàng)式展開(kāi)定理將1表示為兩個(gè)多項(xiàng)式的組合改寫(xiě)成它們方冪的組合，此技巧可應(yīng)用于中國(guó)剩余定理求解的關(guān)鍵一步.利用此技巧也可方便地求解[1，例1.3.3].在多項(xiàng)式互素的情形下提供了除輾轉(zhuǎn)相除法和待定系數(shù)法之外的一種方法.

2 預(yù)備和問(wèn)題

本文采用的術(shù)語(yǔ)和符號(hào)都是標(biāo)準(zhǔn)的，按照[1，3].

首先，回顧一下多項(xiàng)式的中國(guó)剩余定理.設(shè)F[x]為域F上一元多項(xiàng)式環(huán)，設(shè)f(x)，g(x)，p(x)∈F[x].如果p(x)整除f(x)-g(x)，則稱f(x)與g(x)模p(x)同余，記作f(x)≡g(x)(modp(x)).多項(xiàng)式的中國(guó)剩余定理可表述為:

設(shè)pi(x)為n個(gè)兩兩互素的多項(xiàng)式，對(duì)于任意n個(gè)多項(xiàng)式ri(x)，同余方程組

f(x)=ri(x)(modpi(x))， 1≤i≤n.

下面只說(shuō)明n=2的情形.

定理1(多項(xiàng)式的中國(guó)剩余定理)設(shè)p1(x)，p2(x)是F[x]的兩個(gè)互素的多項(xiàng)式，則對(duì)任意多項(xiàng)式r1(x)，r2(x)，存在唯一次數(shù)小于p1(x)p2(x)次數(shù)的多項(xiàng)式f(x)使

證由于(p1(x)，p2(x))=1，則存在多項(xiàng)式u(x)，v(x)，使得u(x)p1(x)+v(x)p2(x)=1.取

f1(x)=v(x)p2(x)，f2(x)=u(x)p1(x)，

則

fi(x)≡δij(modpj(x))，

其中δij為Kronecker符號(hào)，1≤i，j≤2.記

f(x)=r1(x)f1(x)+r2(x)f2(x)=q(x)p1(x)p2(x)+r(x)，

則r(x)即為所求同余方程組的解.

下證解的唯一性.設(shè)f(x)，g(x)都是滿足定理中同余方程組的解，即

f(x)≡ri(x)(modpi(x))， 1≤i≤2，

g(x)≡ri(x)(modpi(x))， 1≤i≤2.

則f(x)≡g(x)(modpi(x))， 1≤i≤2.所以

f(x)≡g(x)(modp1(x)p2(x)).

從而f(x)=g(x).

接下來(lái)證明一個(gè)引理.此引理可應(yīng)用于多項(xiàng)式環(huán)上的中國(guó)剩余定理求解中的關(guān)鍵一步.

引理1如果k(x)p(x)+l(x)q(x)=1，設(shè)

則u(x)pm(x)+v(x)qn(x)=1.特別地，(pm(x)，qn(x))=1.

證利用二項(xiàng)式展開(kāi)定理

=pm(x)u(x)+qn(x)v(x).

利用上述引理1容易計(jì)算出[1，例1.3.3]中的u(x)，v(x)使得

xmu(x)+(1-x)nv(x)=1.

由于x+(1-x)=1，則

即為所求，其中u(x)的次數(shù)小于n，v(x)的次數(shù)小于m.

此方法同樣適用于[1，習(xí)題1.3.6(1)(2)].

3 問(wèn)題解析

習(xí)題1([1，習(xí)題1.3.10]) 設(shè)f(x)是數(shù)域F上次數(shù)為2n-1的多項(xiàng)式，且

(x-1)n|f(x)+1，(x+1)n|f(x)-1.

求f(x).

解法1運(yùn)用中國(guó)剩余定理.

習(xí)題1等價(jià)于求下列同余方程組在模(x2-1)n下的解.

由于(x-1)n與(x+1)n互素，根據(jù)多項(xiàng)式的中國(guó)剩余定理，同余方程組在模(x2-1)n意義下有唯一解.

因?yàn)?(x-1)n，(x+1)n)=1，那么存在次數(shù)小于n的多項(xiàng)式u(x)，v(x)∈F[x]，使得

u(x)(x-1)n+v(x)(x+1)n=1.

則u(x)(x-1)n+v(x)(x+1)n=1.令

f(x)=u(x)(x-1)n-v(x)(x+1)n，

則有(x-1)n|f(x)+1，(x+1)n|f(x)-1且f(x)的次數(shù)為2n-1.所以

即為所求.

注意到

1=u(x)(x-1)n+v(x)(x+1)n，f(x)=u(x)(x-1)n-v(x)(x+1)n.

則有

f(x)=2u(x)(x-1)n-1=1-2v(x)(x+1)n，

即

或者

記mjk=min{n-1，2n-1-j+k}，mk=max{n，k}，ljk=2n-1-j+k.則

一般地，上述方法可以用于求次數(shù)為m+n-1的多項(xiàng)式f(x)，使得(x-1)m|f(x)+1，并且(x+1)n|f(x)-1.此時(shí)令

則

f(x)=u(x)(x-1)m-v(x)(x+1)n

即為所求.

此方法同樣適用于求解[1，習(xí)題1.3.8].

解法2利用Taylor展開(kāi)式.

注意到(x-1)n|f(x)+1當(dāng)且僅當(dāng)f(1)=-1，f′(1)=f″(1)=…=f(n-1)(1)=0.同樣地，(x+1)n|f(x)-1當(dāng)且僅當(dāng)f(-1)=1，f′(-1)=…=f(n-1)(-1)=0.

因?yàn)?x-1)n|f(x)+1，由Taylor展開(kāi)式，不妨設(shè)

又(x+1)n|f(x)-1當(dāng)且僅當(dāng)x+1|f(x)-1且(x+1)n-1|f′(x).由f(-1)=1知2=(-2)na0，從而a0=(-1)n21-n.

為方便，這里設(shè)an=0.令

其中an=0.則f′(x)=(x-1)n-1g(x).因此(x+1)n-1|f′(x)當(dāng)且僅當(dāng)(x+1)n-1|g(x)當(dāng)且僅當(dāng)(n+i)ai-2(i+1)ai+1=0.對(duì)任意的0≤i≤n-2成立.由(n+i)ai-2(i+1)ai+1=0可得遞推關(guān)系式

即為所求的多項(xiàng)式.

為了考慮x0為多項(xiàng)式g(x)的根及其重?cái)?shù)問(wèn)題，可將g(x)在x0處按Taylor展開(kāi)，即

其中m為g(x)的次數(shù).則(x-x0)k|g(x)當(dāng)且僅當(dāng)g(i)(x0)=0，i=0，1，…，k-1.

上述方法同樣適用于求次數(shù)為m+n-1的多項(xiàng)式f(x)，使得(x-1)m|f(x)+1，并且(x+1)n|f(x)-1.此時(shí)

解法3解方程組.

gk+1(x)=ngk(x)-xg′k(x)，

對(duì)1≤k≤n-1，有

分別求上述方程的和與差，有

因此

上述方法在理論上可適用于求次數(shù)為m+n-1的多項(xiàng)式f(x)，使得(x-1)m|f(x)+1，且(x+1)n|f(x)-1.但是當(dāng)m≠n時(shí)關(guān)于系數(shù)的方程并不易求出其具體的解.

解法4運(yùn)用積分方法求解.

由假設(shè)(x-1)n|f(x)+1，則有(x-1)n-1|f′(x).由(x+1)n|f(x)-1，可得(x+1)n-1|f′(x).所以(x2-1)n-1|f′(x).設(shè)f′(x)=a(1-x2)n-1.則

又

即為所求，即

[1，習(xí)題1.3.10]出現(xiàn)了三個(gè)具有相同導(dǎo)函數(shù)的多項(xiàng)式，即f(x)和f(x)±1.根據(jù)此特點(diǎn)，先求出含待定系數(shù)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)，再積分求得含待定系數(shù)的原函數(shù)f(x)，通過(guò)f(x)±1的根來(lái)確定系數(shù)，并最終得到f(x).

上述方法同樣適用于求次數(shù)為m+n-1的多項(xiàng)式f(x)，使得(x-1)m|f(x)+1，并且(x+1)n|f(x)-1.此時(shí)

比較上述四種解法，解法1更具有一般性并且能夠深入問(wèn)題的本質(zhì).首先借助多項(xiàng)式的中國(guó)剩余定理可以明確解的存在唯一性，并利用定理可以給出具體的解.一方面，解法2、解法3和解法4局限于一次不可約因式情形，特別是解法3在m=n時(shí)才最有效，而解法1對(duì)于一般的互素因式方冪仍然適用.另一方面，在利用這些方法求解之前，尤其是解法2和解法3采用的待定系數(shù)法是需要解在存在假設(shè)下的形式即解的次數(shù)條件.而習(xí)題中解的次數(shù)條件可以利用中國(guó)剩余定理來(lái)確定，在此前提下才使得使用待定系數(shù)法成為可能.同時(shí)還可以利用中國(guó)剩余定理得到解的存在唯一性.因此在這種意義下，從中國(guó)剩余定理的角度可以更清楚地看到該問(wèn)題的本質(zhì).當(dāng)然，正如前言中所提到的，解的次數(shù)條件也可以通過(guò)帶余除法得到.解的唯一性可以通過(guò)同余性質(zhì)來(lái)證明，即多項(xiàng)式中國(guó)剩余定理證明過(guò)程中解的唯一性部分.但是存在性卻需要通過(guò)求解待定的系數(shù)方程是否有解得出.特別是解法3在m≠n時(shí)對(duì)應(yīng)的方程并不容易求解.在已經(jīng)知道解的存在唯一性前提下，可以得到解法3中m≠n時(shí)待定系數(shù)方程解的存在唯一性，從而得到對(duì)應(yīng)的系數(shù)矩陣可逆.讀者也可嘗試給出系數(shù)矩陣可逆的一個(gè)直接的證明.

值得一提的是，通過(guò)不同的解法可以得到一些有趣的組合恒等式.例如由解法1和解法2的解

可以得到

由解法1和解法4的解

得到

有興趣的讀者還可以利用上述不同解法得到的解的不同表達(dá)式來(lái)推導(dǎo)出其他形式的組合恒等式.

4 結(jié) 論

本文通過(guò)對(duì)一道多項(xiàng)式問(wèn)題的解析來(lái)闡述處理多項(xiàng)式這類問(wèn)題的方法和技巧.從中國(guó)剩余定理的角度能更清楚地看到該問(wèn)題的本質(zhì)，并具有一般性和更廣范圍的適用性.另外還可以得到一些組合恒等式，教學(xué)上具有一定的參考價(jià)值.

致謝作者非常感謝相關(guān)文獻(xiàn)對(duì)本文的啟發(fā)以及審稿專家提出的寶貴意見(jiàn).