劉澤婷， 葛煥敏， 沈燕飛

(北京體育大學 體育工程學院，北京100084)

1 引 言

圖論在生活中應用廣泛，特別地近年來逐步成為人工智能與機器學習的基礎核心模塊.本文主要結合自身的教學實踐探究圖論與基于傳球網(wǎng)絡的運動表現(xiàn)分析相融合，探究新工科背景下體育院校的新教學模式，同時也將體教融合理念深入到教學中.

圖論以圖為研究對象，圖是由若干給定的點及連接兩點的線所構成的圖形，通常用來描述某些事物之間的某種特定關系.圖論是應用數(shù)學中重要的知識結構，著名的哥尼斯堡七橋問題、中國郵遞員問題和貨郎擔問題等都是圖論中的經(jīng)典問題[1].關于圖論的教學，不同專業(yè)領域的教師融合學生的專業(yè)背景已經(jīng)做了豐富調(diào)研、探究與改革，如防空兵遂行戰(zhàn)備和作戰(zhàn)中的兵力配置[2]，葫蘆歸罐罐歸簍，狼羊過河等童年時期的智力題或故事[3].然而融合體育領域專業(yè)知識的圖論教學案例比較少，但是這種案例對新工科背景下體育院校的工科專業(yè)學生具有非凡意義.本文主要以傳球網(wǎng)絡為例介紹圖論在體育領域中的應用，一方面打破了枯燥的單純學習圖論知識點，一方面開拓了學生的視野，進一步了解新型體育科技，更重要的是讓學生更加清晰地認識自己的專業(yè)，提升學生學習交叉學科知識和從事研究、開發(fā)新型體育科技的興趣，通過了解圖論在體育領域中的應用，激發(fā)學生從事體育科技事業(yè)的動力.

2 圖的相關概念與足球傳球網(wǎng)絡相融合

在講完圖的基本概念，集合表示及圖形表示之后，以傳球網(wǎng)絡為例，介紹圖論在運動項目研究中的應用.傳球網(wǎng)絡是體育領域中一個重要的技術工具，特別是面向競技體育.傳球網(wǎng)絡作為比賽運動表現(xiàn)分析的一個技術工具，目前廣泛應用于預測比賽結果[4-5]、表征球隊比賽風格[6]和識別球場上的關鍵球員或關鍵區(qū)域[7-8].例如在預測比賽結果方面，利用傳球網(wǎng)絡找到獲勝球隊在隊友配合、傳球方式、網(wǎng)絡結構等方面的共性特點，根據(jù)總結出的特點，可以幫助預測比賽的結果.勝率較高的球隊往往有著更高的網(wǎng)絡密度、接近中心性，以及更多的總傳球數(shù)[4-5].

事實上傳球網(wǎng)絡構建的理論基礎是圖論. 例如基于無向圖和有向圖的定義、頂點和邊的關系、子圖、平行邊、度數(shù)和圖的連通性等理論知識， 融合足球運動自身的特征建立足球傳球網(wǎng)絡.下面以三種傳球網(wǎng)絡介紹圖論在體育領域中的應用，通過球場、球員和傳球這三個因素與圖的位置、頂點和邊相呼應，引入三種傳球網(wǎng)絡，會發(fā)現(xiàn)每一種傳球網(wǎng)絡都以圖論的相關知識作為理論支撐，同時將傳球網(wǎng)絡與圖論的相關理論相結合研究運動表現(xiàn)分析，如預測運動項目的比賽結果、表征球隊比賽風格和識別球場上的關鍵球員或關鍵區(qū)域.

2.1 球員傳球網(wǎng)絡——圖論相關的基本概念

球員傳球網(wǎng)絡[9]只關心傳球者，即誰傳了球，不關心每一次傳球的位置，如圖1.首先，基于傳球網(wǎng)絡，引入圖的相關概念.圖1中球隊陣型中球員站位是網(wǎng)絡節(jié)點，即圖的頂點；兩個球員之間發(fā)生了傳球，形成網(wǎng)絡中的連線，即圖的邊.如果在傳球網(wǎng)絡中不關心球員傳球的方向，例如無論球員A向球員B傳球還是球員B向球員A傳球，都只用一條無向邊表示，此時基于傳球網(wǎng)絡生成的圖為無向圖.如果在傳球網(wǎng)絡中只關心球員之間的傳球方向，例如球員A向球員B傳球，用一條從A指向B的有向邊表示，此時基于傳球網(wǎng)絡生成的圖為有向圖.本文主要以無向圖為例，傳球網(wǎng)絡中連線有粗有細，其代表圖的平行邊.若傳球網(wǎng)絡中發(fā)生多次傳球，其代表圖的多條平行邊.進一步基于傳球網(wǎng)絡引入圖的度數(shù)，即頂點作為邊的端點的次數(shù).

圖1 2017/2018賽季，西班牙足球聯(lián)賽“西甲”皇家馬德里隊的傳球網(wǎng)絡

2.2 球場區(qū)域傳球網(wǎng)絡——子圖

球場區(qū)域傳球網(wǎng)絡[10]只關心發(fā)生傳球事件的區(qū)域，即在哪里傳了球，而不關心傳球者是誰，如圖2.圖2中球場被劃分成9個區(qū)域，以球場劃分的區(qū)域作為網(wǎng)絡節(jié)點，形成一個球場區(qū)域傳球網(wǎng)絡見圖3.

圖2 球場劃分圖 圖3 2014年FIFA世界杯半決賽，阿根廷隊的傳球網(wǎng)絡

圖3中1號框表示守門員以短傳為主，2號框表示1/3半場區(qū)域傳球較少，3號框表示邊路往中路滲透，4號框代表威脅進攻.圖3所示的圖，不同顏色框內(nèi)的傳球網(wǎng)絡形成圖論中的子圖，邊的粗細代表傳球次數(shù)多少，其蘊含著圖論中平行邊和度數(shù)的概念.子圖是圖的一部分，即子圖的頂點集合和邊集都是整個圖的子集.

2.3 球場-球員傳球網(wǎng)絡——圖的頂點坐標

球場-球員傳球網(wǎng)絡[11]結合前面兩種網(wǎng)絡的特性，既關心發(fā)生傳球事件的區(qū)域，又關心是誰傳了球.將球場劃分成9個區(qū)域(圖2)，以球場中不同區(qū)域的不同球員作為網(wǎng)絡節(jié)點，形成一個球場—球員傳球網(wǎng)絡見圖4.

圖4 2010年FIFA世界杯比賽中，西班牙球隊的傳球網(wǎng)絡

球場—球員傳球網(wǎng)絡中的網(wǎng)絡節(jié)點由二維坐標(p，z)表示，其中p為球員編號，z為球場區(qū)域編號，比如頂點(16， 5)代表16號球員在區(qū)域5產(chǎn)生一次傳球.因此基于球場-球員傳球網(wǎng)絡形成的圖，其圖頂點都由二維坐標表示，這種表示既拓寬了學生對圖頂點的理解——頂點不僅可以代表一件事物，還可以代表一個二維信息甚至多維信息，又為學生理解和分析傳球網(wǎng)絡奠定了基礎.

3 圖的矩陣表示與足球網(wǎng)絡相融合

圖可以用集合來定義，但多半用圖形來表示，還可以用矩陣來表示.用矩陣來表示圖有利于用代數(shù)方法去研究圖的性質，同時也為計算機存儲和處理圖的信息提供便利.因此，圖的矩陣表示具有重要意義.為了用矩陣表示圖，必須指定頂點或邊的順序，即對圖進行標定.本小節(jié)主要討論如何將有向圖的關聯(lián)矩陣、鄰接矩陣和可達矩陣與足球網(wǎng)絡相融合.

基于圖5所示的傳球網(wǎng)絡形成的圖，其頂點為足球球員的名字，有向邊表示球員之間的傳球關系.為方便起見，再用矩陣表示的時候只選取圖5中有黑色網(wǎng)絡連線和對應的網(wǎng)絡節(jié)點形成的圖，對頂點和邊進行標定見圖6，其中圖6是圖5的子圖.

圖5 2018年歐洲冠軍聯(lián)賽中Liverpool球隊的部分傳球網(wǎng)絡 圖6

3.1 關聯(lián)矩陣

有向圖的關聯(lián)矩陣中，頂點作為邊的起點記為1，終點記為-1，如果頂點和邊不關聯(lián)，則記為0，其描述頂點和邊的關系.因此，圖6對應的關聯(lián)矩陣M為

根據(jù)關聯(lián)矩陣的性質可以對傳球網(wǎng)絡做如下解釋：

(a) 關聯(lián)矩陣M中每一列恰好有一個+1和一個-1，可以理解為圖6所示的傳球網(wǎng)絡中每發(fā)生一次傳球必有一個發(fā)球者(+1)和一個接球者(-1)；

(b) 關聯(lián)矩陣M中-1的個數(shù)等于+1的個數(shù)，都等于邊的條數(shù)(握手定理)，可以理解為圖6所示的傳球網(wǎng)絡中總體的發(fā)球數(shù)等于接球數(shù)，都等于發(fā)生傳球的次數(shù)；

(c) 關聯(lián)矩陣M中第i行，+1的個數(shù)等于vi的出度，-1的個數(shù)等于vi的入度.例如關聯(lián)矩陣M中第四行一個+1，一個-1，意味著圖6所示的傳球網(wǎng)絡中球員v4Firmina分別有一次發(fā)球和一次接球.

3.2 鄰接矩陣

有向圖的鄰接矩陣，其矩陣元素aij為頂點vi鄰接到頂點vj的邊數(shù)，其描述頂點和頂點之間的鄰接關系.因此，圖6對應的鄰接矩陣A為

根據(jù)鄰接矩陣的性質對傳球網(wǎng)絡可以做如下解釋：

(a) 對鄰接矩陣的某一行元素相加等于對應頂點的出度.例如鄰接矩陣A中第一行元素之和為3，意味著圖6所示的傳球網(wǎng)絡中球員v1Alexander-Amold發(fā)球3次；

(b) 鄰接矩陣的某一列元素之和等于對應頂點的入度.例如鄰接矩陣A中第五列元素之和為3，意味著圖6所示的傳球網(wǎng)絡中球員v5Mane接球3次；

3.3 可達矩陣

有向圖的可達矩陣P，其矩陣元素pij為0或1，如果vi可達vj則記為1，可達意味著vi到vj有路徑，否則記為0，并且認為vi是可達vi本身的，即頂點到自身是可達的.可達矩陣描述的是圖的連通性強弱.圖6對應的可達矩陣P為

如果可達矩陣元素全為1，則該圖為強連通圖.圖6對應的可達矩陣P，其元素并不全為1，說明了圖6所示的傳球網(wǎng)絡中五個球員之間并沒有完全達到或者間接達到相互傳球.所謂間接可以根據(jù)圖6理解為球員v2Wijnaldum沒有直接或者間接傳球給球員v4Firmina.

4 教學效果

為了了解圖論與傳球網(wǎng)絡相融合的教學實踐的教學效果，設計了一份學生對該教學效果的問卷調(diào)查.由于該教學實踐是在我校首次進行，所以只針對我校參與這次教學實踐的2019級智能體育、數(shù)據(jù)科學與大數(shù)據(jù)技術兩個專業(yè)學生，通過雨課堂發(fā)放教學效果的調(diào)查問卷，共計59名學生參加了問卷調(diào)查，其中收回有效問卷57份，無效問卷1份，作廢問卷1份，具體參與人數(shù)反饋情況如圖7.

圖7 問卷收集情況

表1 調(diào)查問卷的統(tǒng)計結果

從上表中可以看出，在圖論教學之前，有57%的學生已經(jīng)對足球網(wǎng)絡有了不同程度的了解，由于我校屬于體育院校，得益于學校的文化氛圍和辦學理念，這個初始數(shù)據(jù)還是比較高的，經(jīng)過交叉學科教學實踐該項數(shù)據(jù)提升到86%，有了較大提升.在教學過程中，加入足球網(wǎng)絡內(nèi)容顯著提升了學生學習的興趣，課堂表現(xiàn)良好.在教學實踐產(chǎn)生的效果方面，可以看出有84%的學生覺得圖論在足球網(wǎng)絡分析中有重要作用，89%的學生對體育開發(fā)、科技產(chǎn)生了興趣，對整體課堂效果的滿意度達到了98%. 總之，將圖論教學與傳球網(wǎng)絡相融合的教學實踐不僅體現(xiàn)交叉學科教學理念，更重要地是提升了學習興趣，豐富了課堂氛圍，開拓了學生的視野特別體育科技的視野，加強了學生對本專業(yè)的進一步認識和體會，激發(fā)了學生對體育開發(fā)、科技的熱情和向往.

5 結 論

本文主要介紹了圖論這個知識模塊的教學實踐與探究，教學過程中將圖論與體育領域的傳球網(wǎng)絡相融合，推動了交叉學科的教學理念，貫穿了科技服務體育的思想，同時積極響應了習近平總書記“少年強，中國強，體育強，中國強”的號召.我國體育事業(yè)蓬勃發(fā)展，特別是三大球的發(fā)展，受到國民的關注度越來越高，然而我國這些團體運動項目的表現(xiàn)和人們的期待之間仍然存在較大差異，為了縮小這個差距，需要研究團體運動項目的比賽表現(xiàn)，而傳球網(wǎng)絡就是一個重要分析工具.本文的教學實踐將圖論與傳球網(wǎng)絡相融合，希望學生認識到通過現(xiàn)在所學的圖論初步知識和后續(xù)深化學習，能夠很好應用到對傳球網(wǎng)絡的科學分析，進一步為體育職能部門和教練團隊進行個性化訓練方案開發(fā)、專業(yè)精英運動員培養(yǎng)和比賽技戰(zhàn)術策略制定等做出貢獻，用實際行動服務于中國體育.因此，將傳球網(wǎng)絡融入到圖論的教學實踐中，不僅可以增強課堂的趣味性，也可以讓學生了解所學的理論課程在體育開發(fā)和科技中具有不可替代的地位，實現(xiàn)學以致用的目標.

致謝作者非常感謝相關文獻對本文的啟發(fā)以及審稿專家提出的寶貴意見.