王明豪， 許 瑩

(合肥工業(yè)大學 數(shù)學學院，合肥230601)

1 引 言

李超代數(shù)作為一類重要的超代數(shù)在各個領(lǐng)域均有發(fā)展和應(yīng)用.20世紀40年代，李超代數(shù)作為一個重要的例子出現(xiàn)在代數(shù)幾何的研究過程中.之后，Gerstenhaber在探討環(huán)與代數(shù)的形變理論的一系列工作中也發(fā)現(xiàn)了李超代數(shù)[1].與此同時，李超代數(shù)在Spencer研究流形的pseudogroup結(jié)構(gòu)中也發(fā)揮了重要的作用[2].從20世紀70年代開始，物理學家把李超群(李超代數(shù))應(yīng)用到量子場論的超對稱性的研究中，從而將具有不同自旋和統(tǒng)計性質(zhì)的粒子聯(lián)系起來，建立了一系列的超對稱理論模型并得到了相應(yīng)的實驗證實.1977年，Kac首先給出了有限維單李超代數(shù)的分類[3]，從而奠定了之后很多李超代數(shù)和李超群研究工作的基礎(chǔ).

量子超代數(shù)作為李超代數(shù)的量子形變代數(shù)也日益引起關(guān)注.1988年，Kulish引入了量子超群Uq(osp(2|1))的結(jié)構(gòu).不久，Tolstoy[4]定義了所有的Kac-Moody超代數(shù)的量子超代數(shù)，并給出了q-形變的Cartan-Weyl基以及extremal projectors的具體表達式.量子超代數(shù)最重要的性質(zhì)是具有Hopf超代數(shù)結(jié)構(gòu)及辮子結(jié)構(gòu)，這使得它迅速在范疇論[5-7]和表示論[8]中產(chǎn)生巨大影響.

Serre在研究有限維李超代數(shù)的結(jié)構(gòu)中給出了有限維半單李代數(shù)的Chevalley生成元和Serre關(guān)系的表達式，從而給出了李代數(shù)最常用的實現(xiàn)形式.這些表達式在李代數(shù)的表示論中起了非常重要的作用.之后，Gabber和Kac將這些結(jié)論推廣至Kac-Moody代數(shù)[9].這些表達式已經(jīng)成為李代數(shù)的經(jīng)典結(jié)構(gòu)表達式.但由于李超代數(shù)結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性，長時間以來，李超代數(shù)的Serre關(guān)系式一直不夠清晰.張瑞斌教授在研究李超代數(shù)的量子泛包絡(luò)代數(shù)的過程中給出了李超代數(shù)的Serre表達式[10].張瑞斌教授在論文中指出，在李超代數(shù)的結(jié)構(gòu)中，不僅存在Serre關(guān)系，還存在更深層次的關(guān)系，被稱為高階Serre關(guān)系.這些研究成果在量子超代數(shù)中起到非常重要的作用，特別是在低微拓撲[11]，統(tǒng)計物理[12]，非交換幾何[13]等領(lǐng)域.

論文將在參考文獻[10]的研究基礎(chǔ)之上，延續(xù)Kac在參考文獻[3]中采用的記號，對李超代數(shù)osp(2n+1|2m)(1)的所有根系情況展開討論，給出Uq(osp(2n+1|2m)(1))的Serre關(guān)系的具體表達形式(參見定理1).

2 量子仿射李超代數(shù)osp(2n+1|2m)(1)

下面，將給出論文需要的基礎(chǔ)理論知識.

2.1 李超代數(shù)的定義

首先，回顧李超代數(shù)的定義.

定義1(李超代數(shù)的定義) 李超代數(shù)是超代數(shù)G=G0⊕G1具有一個算子[，]，且滿足以下公理:

[a，b]=(-1)(dega)(degb)[b，a]， [a，[b，c]]=[[a，b]，c]+(-1)(dega)(degb)[b，[a，c]].

用元素εi來表示李超代數(shù)根系的偶部，用元素δv來表示李超代數(shù)根系的奇部.給定正整數(shù)k和l，令ζ(k|l)是上由元素εi(i=1，2，…，k)和δv(v=1，2，…，l)組成的k+l維向量空間.賦予ζ(k|l)一個對稱的非退化雙線性形式(見[1]).設(shè)g是一個特殊的線性或正交辛李超代數(shù).選擇盡可能最小的正整數(shù)k和l.則g的根系集Φ可以表示成ζ(k|l)的子集.

為了描述仿射李超代數(shù)osp(2n+1|2m)(1)的根系，在向量空間ζ(k|l)原有的基元素中增加一個新的元素ε0=δ，將新的向量空間記為εδ(k|l).并通過下式將ζ(k|l)的雙線性型擴充為εδ(k|l)的雙線性型{見[12]).則osp(2n+1|2m)(1)的根系可表示為

αi=εi-εi+1(1≤i

注 對于仿射李超代數(shù)osp(2n+1|2m)(1)來說，這里的元素ε0=δ屬于偶部.

定義2對所有的i，j，定義bij=(αi，αj).則李超代數(shù)g對應(yīng)于根系Π的Cartan矩陣可表示為A=(aij)，其中

注1αii=0當且僅當αi是一個奇的迷向根.

根據(jù)Kac在參考文章[3]的討論，可以用鄧肯圖[3]來表示李超代數(shù)的根系.用表示偶根，用?表示奇的迷向根，用⊕表示奇的非迷向根，用×表示或?，具體取決于根是奇的還是偶的.

注2 (i) 這里的符號與參考文獻[3]略有不同；

定義3李超代數(shù)osp(2n+1|2m)(1)所有可能的鄧肯圖如下表所示：

類型g=osp(2n+1|2m)(1)類型g=osp(2n+1|2m)(1)(1)·○?·○×…×?·○α0α1 αm+n·○?·○×…×?α0α1 αm+n(3)×·○α0·○α1 αm+n…×?·○×·○α0·○α1 αm+n…×?(2)·○?·○2←…→×α0 α1 αm+n·○2←…→×?α0 α1 αm+n(4)×α0α1 αm+n…×?·○×α0α1 αm+n…×?

2.2 量子仿射李超代數(shù)

量子仿射李超代數(shù)是論文的研究對象，下面介紹量子仿射李超代數(shù)的定義.

定義4設(shè)Uq(g，Π)是上對應(yīng)于李超代數(shù)g的基礎(chǔ)根系Π的量子化泛包洛超代數(shù)[3]，其生成元為ei，fi，ki±1，其中es，fs，(s∈τ)是奇元素，其余的元素是偶元素.Uq(g，Π)滿足以下關(guān)系式:

(ii) 若ass=0，(es)2=(fs)2=0，

若aii≠0，i≠j，(Adei)1-aij(ej)=(Adfi)1-aij(fj)=0，

(iii) 與鄧肯圖相關(guān)的高階Serre關(guān)系如下:

(其中圖Ⅰ，圖Ⅱ，圖Ⅲ中的?均表示第s個位置的根)相關(guān)的高階Serre關(guān)系如下：

AdesAdes-1Ades(es+1)=0，AdfsAdfs-1Adfs(fs+1)=0，

[Ades+1(es)，[Ades+1(es)，Ades(es-1)]v1]v2=0，
[Adfs+1(fs)，[Adfs+1(fs)，Adfs(fs-1)]v1]v2=0，

其中v1=q-(αs，αs+1)，v2=q(αs，αs+1);

[Ades+2(Ades+1es)，[Ades+1es，Adeses-1]v1]=0，
[Adfs+2(Adfs+1fs)，[Adfs+1fs，Adfsfs-1]v1]=0，v1=q-(αs，αs+1);

其中[a，b]v1=ab-v1ba.

AdesAdes+1(es-1)-Ades+1Ades(es-1)=0，
AdfsAdfs+1(fs-1)-Adfs+1Adfs(fs-1)=0，

注1q∈，且q≠0，±1.其中

3 量子仿射李超代數(shù)Uq(osp(2n+1|2m)(1))的Serre關(guān)系

下面，將給出量子仿射李超代數(shù)Uq(osp(2n+1|2m)(1))的Serre關(guān)系的具體表達式.

性質(zhì)1① 若αi是偶根，則對所有的i≠j，

② 若αs是奇根且ass=2，且αj也是奇根.則對所有的j≠s，

③ 若αs是奇根且ass=2，且αj是偶根，則對所有的j≠s，

證分情況討論：(i)當i∈τ，j∈τ時，

(a) 若i=m+n，j=m+n-1，則(αi，αi)=-1，(αi，αj)=1且aij=-2.通過計算有

同理若i=0，j=1，可得到相同的等式.

(b) 若i=m+n，j≠m+n-1，則(αi，αi)=-1，(αi，αj)=0且aij=0.通過計算有

同理若i=0，j≠1，亦可得相同等式.

(ii) 當i∈τ，j?τ時，

(a) 若i=m+n，j=m+n-1，則(αi，αi)=-1， (αi，αj)=1且aij=-2.通過計算有

同理若i=0，j=1，可得到相同的等式.

(b) 若i=m+n，j≠m+n-1，則(αi，αi)=-1，(αi，αj)=0且aij=0.通過計算有

同理若i=0，j≠1，亦可得相同等式.

(iii) 當i?τ，j∈τ時，

(a) 若i=m+n，j=m+n-1，則(αi，αi)=1，(αi，αj)=-1且aij=-2.通過計算有

同理若i=0，j=1，可得到相同的等式.

(b) 若i=m+n，j≠m+n-1，則(αi，αi)=1，(αi，αj)=0且aij=0.通過計算有

同理若i=0，j=1，可得到相同的等式.

(c) 若1≤i≤m+n，j=i-1/i+1，此時需對αi進行討論：若αi=εs-εs+1(1≤s≤i)，則(αi，αi)=2，(αi，αj)=-1且aij=-1，通過計算有

Adei(ej)=eiej-q-1ejei，

若αi=δs-δs+1(1≤s≤i)，則(αi，αi)=-2，(αi，αj)=1且aij=1，通過計算有

Adei(ej)=eiej-qejei，

(d) 若1≤i≤m+n，j≠i-1/i+1，有(αi，αj)=0且aij=0.則通過計算有

類似(iii)亦可證i?τ，j?τ時的情形.

注意到以上均是關(guān)于元素ei部分的證明，仿照ei部分的證明可證明關(guān)于fi部分的等式亦成立.

4 量子仿射李超代數(shù)Uq(osp(2n+1|2m)(1))的高階Serre關(guān)系

根據(jù)上面的討論，知道仿射李超代數(shù)Uq(osp(2n+1|2m)(1))具有不同的鄧肯圖. 一般情況下，不同的鄧肯圖對應(yīng)著不同構(gòu)的量子群結(jié)構(gòu).將按照鄧肯圖的不同，對高階Serre關(guān)系分別展開論證. 為了書寫的簡便，引入如下的記號：

下面將分別給出高階Serre關(guān)系的具體表達形式.

性質(zhì)2圖Ⅰ中的高階Serre關(guān)系為

eses-1;s;s+1+(-1)[es-1][es+1]es-1;s;s+1es=0，

fsfs-1;s;s+1+(-1)[fs-1][fs+1]fs-1;s;s+1fs=0.

證(i) 若αs=δt-εi(1≤t≤s，1≤i≤s)，則通過鄧肯圖分析有

(a) 若s+1∈τ，則(αs，αs+1)=-1.此時有s-1∈τ，且(αs-1，αs)=1.則

Ades(es+1)=eses+1+q-1es+1es，

Ades-1(Ades(es+1))=es-1eses+1+q-1es-1es+1es-qeses+1es-1-es+1eses-1，

(b) 若s+1?τ，則(αs，αs+1)=-1.此時有s-1∈τ，且(αs-1，αs)=1.則

Ades(es+1)=eses+1+q-1es+1es，

Ades-1(Ades(es+1))=es-1eses+1-q-1es-1es+1es+qeses+1es-1-es+1eses-1，

(ii) 若αs=εt-δt(1≤t≤s，1≤i≤s)，則通過鄧肯圖分析有

(a) 若s+1∈τ，則(αs，αs+1)=1.此時若s-1∈τ，且(αs-1，αs)=-1.則

Ades(es+1)=eses+1+qes+1es，

Ades-1(Ades(es+1))=es-1eses+1+qes-1es+1es-q-1eses+1es-1-es+1eses-1，

(b) 若s+1∈τ，則(αs，αs+1)=1.此時若s-1?τ，且(αs-1，αs)=-1.則

Ades(es+1)=eses+1+qes+1es，

Ades-1(Ades(es+1))=es-1eses+1+qes-1es+1es-q-1eses+1es-1-es+1eses-1，

(c) 若s+1?τ，則(αs，αs+1)=1.此時若s-1∈τ，且(αs-1，αs)=-1，則

Ades(es+1)=eses+1-qes+1es，

Ades-1(Ades(es+1))=es-1eses+1-qes-1es+1es+q-1eses+1es-1-es+1eses-1，

(d) 若s+1?τ，則(αs，αs+1)=1.此時若s-1?τ，且(αs-1，αs)=-1.則

Ades(es+1)=eses+1-qes+1es，

Ades-1(Ades(es+1))=es-1eses+1-qes-1es+1es-q-1eses+1es-1+es+1eses-1，

注意到以上均是關(guān)于元素ei部分的證明，仿照ei部分的證明我們可證明關(guān)于fi部分的等式亦成立.

仿照性質(zhì)2的證明同樣可以推出圖Ⅱ以及圖Ⅲ的高階Serre關(guān)系等價表達式.

性質(zhì)3圖Ⅱ的高階Serre關(guān)系為

eses-1;s;s+1+(-1)[es-1]es-1;s;s+1es=0，fsfs-1;s;s+1+(-1)[fs-1]fs-1;s;s+1fs=0.

性質(zhì)4圖Ⅲ的高階Serre關(guān)系為

eses-1;s;s+1-(-1)[es-1]es-1;s;s+1es=0，fsfs-1;s;s+1-(-1)[fs-1]fs-1;s;s+1fs=0.

性質(zhì)5(B)中的高階Serre關(guān)系為

(es+1es+q-1eses+1)Es-1;s;s+1-v2Es-1;s;s+1(es+1es+q-1eses+1)=0，

(fs+1fs+q-1fsfs+1)Fs-1;s;s+1-v2Fs-1;s;s+1(fs+1fs+q-1fsfs+1)=0.

其中

v2=q(αs，αs+1).

證Ades+1(es)=es+1es+q-1eses+1，

[Ades+1(es)，Ades(es-1)]v1=Ades+1(es)Ades(es-1)-v1Ades(es-1)Ades+1(es)

[Ades+1(es)，[Ades+1(es)，Ades(es-1)]v1]v2

+q3es+1eses-1eses+1es-q3eses+1eses-1eses+1

=(es+1es+q-1eses+1)Es-1;s;s+1-v2Es-1;s;s+1(es+1es+q-1eses+1)=0.

仿照ei部分的證明可證明關(guān)于fi部分的等式亦成立.

性質(zhì)6(C)中的高階Serre關(guān)系為

e′s+2;s+1;sE′s;s-1;s+1-E′s;s-1;s+1e′s+2;s+1;s=0，

f′s+2;s+1;sF′s;s-1;s+1-F′s;s-1;s+1f′s+2;s+1;s=0.

E′s;s-1;s+1=(es+1;s;s;s-1+es;s-1;s+1;s-q2(es+1;s;s-1;s-es-1;s;s;s+1)+q(es;s+1;s-1;s-es;s-1;s+1;s)

-q-1es;s+1;s;s-1+q3es-1;s;s+1;s]，

F′s;s-1;s+1=(fs+1;s;s;s-1+fs;s-1;s+1;s-q2(fs+1;s;s-1;s-fs-1;s;s;s+1)+q(fs;s+1;s-1;s-fs;s-1;s+1;s)

-q-1fs;s+1;s;s-1+q3fs-1;s;s+1;s].

eg;h;uv=egeheuev，fg;h;uv=fgfhfufv.

證若s+2∈τ則

Ades+2(Ades+1es)=es+2es+1es-q-1es+2eses+1+q-1es+1eses+2-q-2eses+1es+2，

[Ades+2(Ades+1es)，[Ades+1es，Adeses-1]v1]

-eses-1eses+1es+2es+1es+eses+1es-1eses+2eses+1-eses-1es+1eses+2eses+1-eses+1es-1eses+1eses+2

-es+1eses+2eses-1eses+1+eses+1es+2eses+1es-1es-eses+1es+2eses-1es+1es-eses+1eses-1es+2es+1es

+eses+1es+2es+1eses-1es-eses+1es+2es-1eses+1es-eses+1es-1eses+2es+1es+eses-1es+1eses+2es+1es

-es+1eses+2eses+1eses-1-eses+1es+2eses-1eses+1-eses+1eses-1es+2eses+1+eses+1eses-1es+1eses+2

+eses-1eses+1eses+1es+2)+q-3(eses+1es+2eses+1eses-1-eses+1eses-1eses+1es+2)

=e′s+2;s+1;sE′s;s-1;s+1-E′s;s-1;s+1e′s+2;s+1;s=0.

同理可以證明s+2?τ時的情形.仿照ei部分的證明可以得到fi所滿足的等式.

性質(zhì)7(D)中相關(guān)的高階Serre關(guān)系為

e″s;s+1;s-1-e″s+1;s;s-1=0，f″s;s+1;s-1-f″s+1;s;s-1=0.

注意這里記號與上面略有不同，其中

證若s+1∈τ,

Ades+1(es-1)=es+1es-1+q-1es-1es+1，

AdesAdes+1(es-1)=es+1eses-1+q-1eses-1es+1-qes+1es-1es-es-1es+1es，

Ades(es-1)=eses-1+q2es-1es，

Ades+1Ades(es-1)=es+1eses-1+q2es+1es-1es-q-2es-1eses+1-es-1eses+1，

AdesAdes+1(es-1)-Ades+1Ades(es-1)=es;s+1;s-1-es+1;s;s-1=0.

類似地，可以證明s+1?τ時的情形.仿照ei部分的證明可以得到fi所滿足的等式.

綜上，總結(jié)出如下主要定理：

定理1設(shè)Uq(osp(2n+1|2m)(1))是上的量子化泛包洛超代數(shù)[3]，其生成元為其中es，fs(s∈τ)是奇元素，其余的元素是偶元素.Uq(osp(2n+1|2m)(1))滿足以下關(guān)系式

和如下的Serre關(guān)系式：

① 若αi是偶根，則對所有的i≠j，

② 若αs是奇根且ass=2，且αj也是奇根.則對所有的j≠s，

③ 若αs是奇根且ass=2，且αj是偶根，則對所有的j≠s，

④ 若ass=0，則(es)2=(fs)2=0.

以及如下的高階Serre關(guān)系式：

(其中圖Ⅰ，圖Ⅱ，圖Ⅲ中的?均表示第s個位置的根)

圖Ⅰ：eses-1;s;s+1+(-1)[es-1][es+1]es-1;s;s+1es=0，fsfs-1;s;s+1+(-1)[fs-1][fs+1]fs-1;s;s+1fs=0.

圖Ⅱ：eses-1;s;s+1+(-1)[es-1]es-1;s;s+1es=0，fsfs-1;s;s+1+(-1)[fs-1]fs-1;s;s+1fs=0.

圖Ⅲ：eses-1;s;s+1-(-1)[es-1]es-1;s;s+1es=0，fsfs-1;s;s+1-(-1)[fs-1]fs-1;s;s+1fs=0.

(es+1es+q-1eses+1)Es-1;s;s+1-v2Es-1;s;s+1(es+1es+q-1eses+1)=0，

(fs+1fs+q-1fsfs+1)Fs-1;s;s+1-v2Fs-1;s;s+1(fs+1fs+q-1fsfs+1)=0.

其中Es-1;s;s+1，F(xiàn)s-1;s;s+1，v2見性質(zhì)5.

e′s+2;s+1;sE′s;s-1;s+1-E′s;s-1;s+1e′s+2;s+1;s=0，f′s+2;s+1;sF′s;s-1;s+1-F′s;s-1`;s+1f′s+2;s+1;s=0.

其中e′s+2;s+1;s，f′s+2;s+1;s，E′s;s-1;s+1，F(xiàn)′s;s-1;s+1見性質(zhì)6.

e″s;s+1;s-1-e″s+1;s;s-1=0，f″s;s+1;s-1-f″s+1;s;s-1=0.

5 結(jié) 論

主要研究了量子仿射李超代數(shù)的量子泛包絡(luò)代數(shù)的Serre關(guān)系(含高階Serre關(guān)系)，給出了量子仿射李超代數(shù)Uq(osp(2n+1|2m)(1))的量子泛包絡(luò)代數(shù)中的Serre關(guān)系的具體表達式(見定理1).計算過程具有一定的復(fù)雜性.給出的表達式對研究量子仿射李超代數(shù)的結(jié)構(gòu)和表示理論都有重要的意義，例如：在文獻[14]中通過Serre關(guān)系等確定了量子對應(yīng)的同構(gòu)表達式.此外，需要指出的是論文中給出的方法具有普遍的適用性，可以解決經(jīng)典的仿射李超代數(shù)的所有Serre關(guān)系表達式.除此之外還可以找到很多其它各種李代數(shù)的結(jié)構(gòu)以及同構(gòu)的例子[15-16]，對李代數(shù)的研究工作還有很多探索和進步的空間.

致謝作者非常感謝相關(guān)文獻對本文的啟發(fā)以及相關(guān)審稿專家對本文提出的指導(dǎo)意見.