李麗和

[摘 ?要] 以浙教版“因式分解”（第1課時(shí)）為例，藝術(shù)處理教材與作業(yè)本中的素材.通過案例提出關(guān)于課堂教學(xué)的兩個(gè)觀點(diǎn)：一要深刻理解教材，揭示知識(shí)的形成過程;二要合理改編素材，激活學(xué)生的數(shù)學(xué)思維.

[關(guān)鍵詞] 素材;思維過程;因式分解

在平時(shí)的課堂教學(xué)中，有些教師在備課時(shí)把大量功夫花在尋找各種類型的素材上，找到素材后又直接拿來應(yīng)用，忽視了學(xué)生思維的形成過程，導(dǎo)致一節(jié)課后出現(xiàn)的問題超多，這樣的課堂必然會(huì)使學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的理解停留在知識(shí)的表層. 本文章借助于校教研組的一次磨課活動(dòng)，以浙教版“因式分解”（第1課時(shí)）的三個(gè)教學(xué)片段為例，談?wù)劰P者對(duì)處理素材的一些實(shí)踐與思考.

案例片段

片段1 ?概念的建構(gòu).

在浙教版“因式分解”（第1課時(shí)）的教學(xué)中，筆者發(fā)現(xiàn)有些教師上課時(shí)直接給出了教材中的表格（如表1所示），并按照教材中的提示語(yǔ)——“請(qǐng)觀察下列兩種代數(shù)式變形的例子，它們之間有什么聯(lián)系？”——引導(dǎo)學(xué)生歸納因式分解的概念. 這樣的課堂，表面上看因式分解的概念是學(xué)生歸納出來的;實(shí)質(zhì)上看，學(xué)生的思維是被教師“牽著鼻子走的”，缺乏概念建構(gòu)的必要性的教學(xué). 作為教師，應(yīng)該思考：為什么教材要設(shè)計(jì)這樣的表格？表格中的式子為什么是“三橫”？為什么要比較表格中兩豎式子的關(guān)系？

鑒于以上思考，筆者設(shè)計(jì)了以下的教學(xué)過程：

問題1：整式乘法有哪些類型？請(qǐng)各舉一個(gè)例子.

設(shè)計(jì)意圖 ?通過課堂研討得出表2. 對(duì)比表1與表2，不難發(fā)現(xiàn)，雖然都列出了關(guān)于整式乘法的三個(gè)式子，但是類型不同：表1只包含了“單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式”“多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式”，表2還包含了“單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式”. 雖然當(dāng)?shù)仁降挠疫吺恰皢雾?xiàng)式乘單項(xiàng)式”的形式時(shí)并非因式分解，但從學(xué)習(xí)的必要性來說，回避是不可取的，所以筆者選擇先將其提出，歸納出因式分解的概念后，再請(qǐng)學(xué)生判斷如6a2b=2a·3ab的形式不屬于因式分解.

問題2：整式除法有哪些類型？

設(shè)計(jì)意圖 ?通過問題2引導(dǎo)學(xué)生回顧已經(jīng)學(xué)過的整式除法的兩種類型：“單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式”“多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式”.

問題3：若繼續(xù)學(xué)習(xí)，整式除法還會(huì)有哪些類型？

設(shè)計(jì)意圖 ?在問題2的基礎(chǔ)上，學(xué)生不難得出整式除法的第三種類型為“多項(xiàng)式除以多項(xiàng)式”.

問題4：現(xiàn)在老師舉一個(gè)多項(xiàng)式除以多項(xiàng)式的式子，如（a2-4）÷（a-2），你能化簡(jiǎn)嗎？

設(shè)計(jì)意圖 ?在問題4的解決過程中，學(xué)生能感受到化簡(jiǎn)（a2-4）÷（a-2）需要把a(bǔ)2-4變形成（a+2）（a-2），此時(shí)筆者追問：“a2-4=（a+2）（a-2）還是整式的乘法嗎？”“顯然不是，它與整式的乘法是互逆變形的關(guān)系. ”學(xué)生探究后答道. 通過此環(huán)節(jié)，學(xué)生能深刻感受到學(xué)習(xí)因式分解的必要性.

問題5：剛剛同學(xué)們舉例的整式乘法的式子左右兩邊可以交換嗎？

設(shè)計(jì)意圖 ?《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》指出：“數(shù)學(xué)教學(xué)不是把現(xiàn)成的結(jié)論教給學(xué)生. 數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)活動(dòng)的教學(xué)，要引導(dǎo)學(xué)生自己尋求知識(shí)產(chǎn)生的起因，探索它與其他事物的聯(lián)系，在探索過程中形成概念、尋求規(guī)律、獲得結(jié)論. ”通過以上環(huán)節(jié)自然就生成了表1，有效體現(xiàn)了以上的理念.

片段2 ?概念的辨析與鞏固.

為使學(xué)生對(duì)概念有透徹清晰的理解，在概念形成后，還需要深入剖析概念的實(shí)質(zhì)，幫助學(xué)生弄清概念的內(nèi)涵與外延. 將教材中的以下兩道題改編后可以作為概念的辨析與鞏固.

題1：下列等式中，哪些從左到右的變形是因式分解？

題2：把左右兩邊相等的代數(shù)式用線連起來.

在課堂教學(xué)中，以上兩道題不能直接拿來使用. 題1改編的理由是包含的類型不齊全，還需要加上諸如6a2b=2a·3ab的式子，這個(gè)式子在片段1中已經(jīng)得出，它的右邊是“單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式”的類型，不屬于因式分解，此處需要給予解釋. 另外，還需要加上諸如-4=+2·-2的式子，以此說明判定因式分解的前提是式子兩邊均要是整式. 題2 改編的理由是它考查的是整式的乘法，即使不學(xué)因式分解的概念也能完成，且左邊與右邊的代數(shù)式都能一對(duì)一連線，這樣的題目缺乏探究的味道.

鑒于以上思考，筆者將這兩道題改編如下：

題1（改編）：下列等式中，哪些從左到右的變形是因式分解？

題2（改編）：從A組和B組中各選一個(gè)代數(shù)式組成等式，使得等式從左到右的變形是因式分解，并把它寫出來.

改編后的題2與原題2比較有三大不同：一是原題2中的多項(xiàng)式都在左、整式積都在右，改編后的題2中左邊與右邊均含有多項(xiàng)式與整式積的形式，這樣改編的優(yōu)勢(shì)在于能體現(xiàn)思維不斷優(yōu)化的過程，要想把所有的因式分解找出來，先找乘積式比較方便，從而深化對(duì)因式分解概念的理解. 二是原題2是連線題，改編后的題2則要求學(xué)生寫出從左到右的變形是因式分解的等式，這樣的改編再次鞏固了因式分解的形式. ?三是原題2左右兩邊的代數(shù)式能一一對(duì)應(yīng)，四組等式都是因式分解，改編后的題2則左右兩邊有一組等式不成立，只有三組等式是因式分解，這樣設(shè)計(jì)的目的是引導(dǎo)學(xué)生注意判斷等式是否是因式分解還應(yīng)考慮等號(hào)兩邊是否真的相等，從而培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的能力.

片段3 ?概念的應(yīng)用.

因式分解在初中數(shù)學(xué)中應(yīng)用很廣泛，它是代數(shù)式的一種恒等變形，是后續(xù)學(xué)習(xí)分式、二次根式、一元二次方程、二次函數(shù)等知識(shí)的基礎(chǔ). 本節(jié)課是章首課，因式分解的許多應(yīng)用需要等整章知識(shí)學(xué)完后才會(huì)涉及，所以筆者準(zhǔn)備從以下兩道題的改編來體現(xiàn)因式分解的應(yīng)用，其中題1來自于教材，題2來自于配套的作業(yè)本.

題1：用簡(jiǎn)便方法計(jì)算下列各題，并說明你的算法.

這個(gè)問題來源于教材后的作業(yè)題，體現(xiàn)了因式分解在簡(jiǎn)便計(jì)算中的作用，筆者把這個(gè)問題改編為：

題1（改編）：根據(jù)所給的a，b的值，求代數(shù)式a2-b2的值.

改編后的題1不僅體現(xiàn)了因式分解在簡(jiǎn)便計(jì)算中的作用，還能體現(xiàn)在代數(shù)式求值中的作用. 另外，對(duì)于初一的學(xué)生而言，之前學(xué)習(xí)代數(shù)式求值的方法主要有兩種，一是直接代入求值，二是先化簡(jiǎn)再求值，通過本題的學(xué)習(xí)，增加了代數(shù)式求值的第三種方法——先變形再求值. 這樣使得學(xué)生對(duì)代數(shù)式求值問題的解決方法有了系統(tǒng)體驗(yàn).

題2：用一張如圖甲的正方形紙片、三張如圖乙的長(zhǎng)方形紙片、兩張如圖丙的正方形紙片拼成一個(gè)長(zhǎng)方形（如圖丁所示）.

（1）用一個(gè)多項(xiàng)式表示圖丁的面積;

（2）用兩個(gè)整式的積表示圖丁的面積;

（3）根據(jù)（1）（2）所得的結(jié)果，寫一個(gè)表示因式分解的等式.

這個(gè)問題來源于配套教材的作業(yè)本，其實(shí)這樣的問題在許多教輔資料中均可見. 筆者認(rèn)為這樣的問題設(shè)計(jì)缺乏探究味，不能體現(xiàn)學(xué)生對(duì)知識(shí)的主動(dòng)建構(gòu)過程，即使對(duì)因式分解概念模糊的學(xué)生也能完成，所以筆者把這個(gè)問題改編為：

題2（改編）：有六張如圖甲的正方形、五張如圖乙的長(zhǎng)方形和一張如圖丙的正方形拼成了一個(gè)長(zhǎng)方形，請(qǐng)畫出這個(gè)長(zhǎng)方形.

改編后的題2與原題2最大的不同是：原題2是把學(xué)生的思維牽著走的，利用等積法建構(gòu)等式是第（1）問和第（2）問設(shè)計(jì)好了的，只有第（3）問才體現(xiàn)了因式分解概念的淺層次應(yīng)用;改編后的題2首先需要學(xué)生計(jì)算出拼成的長(zhǎng)方形的面積是6x2+5xy+y2，再挖掘題目隱含的等量關(guān)系（拼接前后圖形面積不變），接下來思考代數(shù)式6x2+5xy+y2要分解成哪兩個(gè)因式的積，最后根據(jù)分解的代數(shù)式的特征畫出圖形. 這樣的問題設(shè)計(jì)才能真正體現(xiàn)學(xué)生對(duì)知識(shí)的主動(dòng)建構(gòu)過程，實(shí)現(xiàn)從形到數(shù)再?gòu)臄?shù)到形的過程，體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想.

教學(xué)反思

數(shù)學(xué)課堂應(yīng)該是“簡(jiǎn)約而不簡(jiǎn)單，豐滿而不蕪雜”，簡(jiǎn)約的是課堂的結(jié)構(gòu)形式，豐滿的是課堂的思維內(nèi)涵.

1. 深刻理解教材，揭示知識(shí)的形成過程

教材凝聚了眾多專家的智慧，是教師教學(xué)的工具，是聯(lián)系師生教與學(xué)的載體. 深刻理解教材是有效教學(xué)的前提. 而深刻理解教材的第一要義是理解數(shù)學(xué)，即了解數(shù)學(xué)概念的背景，把握概念的邏輯意義，理解內(nèi)容所反映的思想方法，挖掘知識(shí)所蘊(yùn)含的科學(xué)方法、理性思維過程、價(jià)值觀資源等;此外，還應(yīng)仔細(xì)分析教材的編寫意圖，包括教材的結(jié)構(gòu)體系、內(nèi)容順序、例題設(shè)計(jì)、習(xí)題安排等，以便立足學(xué)情，有的放矢地進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì).

在浙教版教材“因式分解”（第1課時(shí)）中，編者利用表1歸納出因式分解概念;在課堂教學(xué)中，有些教師便直接拿出表1來歸納概念，這種做法不可取. 教材是供閱讀使用的，有時(shí)只能以“結(jié)果”的形式呈現(xiàn)出來，作為教師要理解這種“結(jié)果”背后的緣由，站在整個(gè)教材的編寫體系中去設(shè)計(jì)問題. 以本課時(shí)為例，按照浙教版教材的編排順序，學(xué)生先是學(xué)習(xí)整式的加、減、乘、除（僅限于單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式、多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式），之后學(xué)習(xí)特殊形式的整式的乘法，接下來學(xué)習(xí)因式分解，這樣的編排可為特殊形式的整式的除法做準(zhǔn)備，為后面學(xué)習(xí)分式化簡(jiǎn)打下基礎(chǔ). 鑒于以上考慮，筆者在整式乘法的基礎(chǔ)上提出了整式的除法，讓學(xué)生明白建立起因式分解與整式除法的聯(lián)系是合理的. 這樣做不僅符合學(xué)生的認(rèn)知，更是把因式分解融入到了代數(shù)運(yùn)算的體系中.

2. 合理改編素材，激活學(xué)生的數(shù)學(xué)思維

數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)活動(dòng)的教學(xué)，這里的活動(dòng)主要指數(shù)學(xué)思維活動(dòng)，數(shù)學(xué)思維的深淺度是衡量數(shù)學(xué)教學(xué)有效性的試金石. 關(guān)鍵是要把握住思維的方向性和思維的層次性. 片段3的題2（改編后的），學(xué)生要根據(jù)題意自主建構(gòu)代數(shù)式，經(jīng)歷從形到數(shù)、從數(shù)到形的過程，就是一個(gè)思維方向性問題，也是一個(gè)思維層次性較強(qiáng)的問題.

布魯諾指出：“課堂教學(xué)是一種持續(xù)不斷提出問題和解決問題的過程，思維永遠(yuǎn)從問題開始. ”可以說，問題才是數(shù)學(xué)的心臟. 課堂教學(xué)中選擇典型的例習(xí)題，并合理設(shè)置問題，著力引導(dǎo)學(xué)生多角度、全方位分析問題，充分挖掘問題的本質(zhì)，能有效鍛煉學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，促進(jìn)深度學(xué)習(xí)，落實(shí)核心素養(yǎng). 片段2和片段3中的四個(gè)問題有三個(gè)來源于教材，一個(gè)來源于配套作業(yè)本，改編后的問題顯然更能促進(jìn)教學(xué)目標(biāo)的達(dá)成，激活學(xué)生的數(shù)學(xué)思維.

在課堂教學(xué)中，數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)只是手段，通過學(xué)習(xí)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維、數(shù)學(xué)方法和思維能力，才是數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的意義所在.

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