許科挺 毛孟杰

【摘 要】 在一個(gè)信息社會(huì)中，社會(huì)對(duì)人的素質(zhì)提出較高的要求，而較高素質(zhì)的培養(yǎng)，需要教師創(chuàng)導(dǎo)有利于學(xué)生主動(dòng)的、積極的“深度學(xué)習(xí)”.文章通過(guò)對(duì)鄭瑄老師執(zhí)教的“神奇的黃金分割”新授課教學(xué)過(guò)程的分析，提出關(guān)于初中數(shù)學(xué)的深度學(xué)習(xí)的內(nèi)涵、開(kāi)展深度學(xué)習(xí)的途徑、深度學(xué)習(xí)與數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的關(guān)系的三點(diǎn)思考.

【關(guān)鍵詞】 問(wèn)題驅(qū)動(dòng);深度學(xué)習(xí);課例研究

0 引言

信息爆炸、專(zhuān)業(yè)分工細(xì)化的時(shí)代，社會(huì)對(duì)人的素質(zhì)提出越來(lái)越高的要求，那種由被動(dòng)的、孤立的、機(jī)械的“淺層學(xué)習(xí)”習(xí)得的零碎的知識(shí)，已經(jīng)不能滿(mǎn)足社會(huì)的需求.當(dāng)下普遍存在的缺乏“深度學(xué)習(xí)”嚴(yán)重制約學(xué)生后續(xù)非義務(wù)教育的學(xué)習(xí)，“深度學(xué)習(xí)”已然成為初中數(shù)學(xué)教育界關(guān)注的焦點(diǎn).

我們認(rèn)為，數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)是在教師的引領(lǐng)下，學(xué)生圍繞具有趣味性、挑戰(zhàn)性的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)主題，全身心積極參與，獲得發(fā)展的有意義的學(xué)習(xí)過(guò)程.它除了要求學(xué)生學(xué)會(huì)理解數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)，關(guān)注數(shù)學(xué)知識(shí)之間的聯(lián)系，更多地注重應(yīng)用、分析、創(chuàng)造等高階思維活動(dòng).它的最終目標(biāo)指向是發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)[1].

開(kāi)展數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)有很多途徑，其中，“問(wèn)題驅(qū)動(dòng)”是數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)的一個(gè)重要途徑.“問(wèn)題驅(qū)動(dòng)”是以“問(wèn)題”為載體，通過(guò)“發(fā)現(xiàn)問(wèn)題”“提出問(wèn)題”“分析問(wèn)題”和“解決問(wèn)題”的一系列教學(xué)過(guò)程讓學(xué)生深刻理解知識(shí)的本質(zhì)，走進(jìn)學(xué)生的情感與思維深處，發(fā)展他們的核心素養(yǎng).本文是筆者對(duì)浙江省特級(jí)教師、正高級(jí)教師鄭瑄老師在寧波惠貞書(shū)院執(zhí)教的一節(jié)“神奇的黃金分割”新授課教學(xué)過(guò)程片段，進(jìn)行個(gè)案分析，撰寫(xiě)成文，供讀者研究.

1 教學(xué)片段1.1 創(chuàng)設(shè)情景，發(fā)現(xiàn)問(wèn)題

教師：同學(xué)們，在初一我們學(xué)習(xí)了線(xiàn)段的中點(diǎn).

如圖1，若P是線(xiàn)段AB的中點(diǎn)，則有APBP=1，

并且AP=BP=12AB，它體現(xiàn)出線(xiàn)段的均衡、對(duì)稱(chēng)與和諧之美.那么，當(dāng)時(shí)怎么找線(xiàn)段的中點(diǎn)呢？

學(xué)生1：有對(duì)折法、測(cè)量法和尺規(guī)作圖法三種方法.

教師：很好，因?yàn)榫€(xiàn)段是對(duì)稱(chēng)圖形，所以可用對(duì)折法找中點(diǎn);由于線(xiàn)段可度量，所以可用測(cè)量法畫(huà)中點(diǎn);也可用尺規(guī)通過(guò)作線(xiàn)段AB的中垂線(xiàn)作出它的中點(diǎn).下面，我們自然會(huì)想：中點(diǎn)P把線(xiàn)段AB分割成兩條線(xiàn)段AP和BP，BPAP與APAB會(huì)不會(huì)相等？

學(xué)生2：BPAP=1，APAB=12，它們是不相等的.

教師：對(duì)，BPAP≠APAB，這說(shuō)明中點(diǎn)在線(xiàn)段中并不是很完美的.那么，在線(xiàn)段上有沒(méi)有這樣一個(gè)特殊點(diǎn)P，使得BPAP=APAB呢？

評(píng)注 我們知道，教師要引出“黃金分割”“黃金分割點(diǎn)”和“黃金比”等新知識(shí)，應(yīng)該找出新知識(shí)的生長(zhǎng)點(diǎn)，不能簡(jiǎn)單地把新知識(shí)拋給學(xué)生，讓學(xué)生硬性地、機(jī)械地接受.

在本案例中，鄭老師以初一已學(xué)過(guò)的“線(xiàn)段中點(diǎn)”作為新知識(shí)的萌芽點(diǎn)，通過(guò)“線(xiàn)段中點(diǎn)”雖有在線(xiàn)段中的均衡、對(duì)稱(chēng)與和諧之美，但比例不夠完美，讓學(xué)生自然而然去思考一個(gè)問(wèn)題：在線(xiàn)段上有沒(méi)有這樣一個(gè)特殊點(diǎn)P，使得BPAP=APAB呢？.筆者認(rèn)為，鄭老師這種通過(guò)設(shè)置相關(guān)學(xué)習(xí)情景的深度學(xué)習(xí)，已經(jīng)不是表面的讓學(xué)生簡(jiǎn)單的“算一算”“量一量”“猜一猜”等淺層的指令性的學(xué)習(xí).這種帶有挑戰(zhàn)性的問(wèn)題情境的深度學(xué)習(xí)能讓學(xué)生主動(dòng)地、興趣盎然地發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，它不但可以提高學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科的興趣和好奇心，而且會(huì)讓學(xué)生養(yǎng)成運(yùn)用數(shù)學(xué)的思維方式進(jìn)行思考的習(xí)慣，而這種數(shù)學(xué)的思維方式無(wú)疑是學(xué)生形成數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)（抽象、推理、運(yùn)算等）的基礎(chǔ)[2].

1.2 類(lèi)比探究，提出問(wèn)題

教師：如圖2，點(diǎn)P把線(xiàn)段AB分成兩條線(xiàn)段AP（較大）和PB（較?。笲PAP=APAB，那么稱(chēng)AB被點(diǎn)P黃金分割，點(diǎn)P叫做線(xiàn)段AB的黃金分割點(diǎn)，線(xiàn)段AP與AB的比叫做黃金比.同學(xué)們，與學(xué)習(xí)“線(xiàn)段中點(diǎn)”相比，你們對(duì)今天的“黃金分割”會(huì)提出哪些感興趣的問(wèn)題呢？

學(xué)生3：黃金比會(huì)等于多少？

學(xué)生4：怎樣找線(xiàn)段的黃金分割點(diǎn)呢？

學(xué)生5：黃金分割有什么應(yīng)用？

教師：很好，同學(xué)們提出一個(gè)又一個(gè)有價(jià)值的問(wèn)題，說(shuō)明我們已經(jīng)有問(wèn)題意識(shí)、探究的能力，這往往比純粹解決問(wèn)題重要的多.

評(píng)注

讓學(xué)生獨(dú)立地、多角度提出問(wèn)題的深度學(xué)習(xí)，可以讓學(xué)生敏捷地、深刻地把握新知識(shí)的本質(zhì).事實(shí)上，讓學(xué)生獨(dú)立的、多角度的思考和提出深層次的問(wèn)題比只習(xí)得新知識(shí)、新技能重要得多，因?yàn)槟鞘窃凇笆谌艘詽O”，是在培養(yǎng)創(chuàng)新意識(shí).

本案例中，鄭老師給出“黃金分割”的有關(guān)概念后，給學(xué)生留出思考的時(shí)間，讓學(xué)生針對(duì)“黃金分割”提出自己感興趣的問(wèn)題，這樣設(shè)計(jì)，有利于提高學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題、分析和解決問(wèn)題的能力.然后讓學(xué)生圍繞著三個(gè)問(wèn)題：“黃金比等于多少？”“如何找線(xiàn)段的黃金分割點(diǎn)”和“黃金分割有哪些應(yīng)用”，這與引入環(huán)節(jié)中的回顧線(xiàn)段中點(diǎn)的兩個(gè)問(wèn)題“中點(diǎn)有哪些性質(zhì)”和“中點(diǎn)如何找”前后呼應(yīng).她如此精細(xì)的設(shè)計(jì)的根據(jù)是：“一個(gè)好的教學(xué)應(yīng)該遵循學(xué)生的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)，教師要努力尋找學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，尋找新知識(shí)的生長(zhǎng)點(diǎn).”只有做到了這一些，才能驅(qū)動(dòng)學(xué)生思維的齒輪，撥動(dòng)學(xué)生心中的激昂琴弦.

1.3 合作交流，分析問(wèn)題

問(wèn)題1 如圖2，若BPAP=APAB，求APAB（或BPAP）的值.

學(xué)生各自思考、計(jì)算，然后把自己的做法與同桌進(jìn)行討論、交流.過(guò)一段時(shí)間，相繼有4位學(xué)生板演.

學(xué)生6（方法1）：設(shè)AB=1，AP=x，則BP=1-x.于是，1-xx=x1，得到x2+x-1=0.解得，x1，2=-1±52.因?yàn)閤﹥0，所以x=5-12，即APAB=5-12.

學(xué)生7（方法2）：設(shè)APAB=x，則AP=x·AB，BP=（1-x）AB.于是，（1-x）·ABx·AB=x·ABAB，即1-xx=x1…

學(xué)生8（方法3）：設(shè)AP=1，BP=y.于是，y1=1y+1，得到y(tǒng)2+y-1=0.解得y=5-12（負(fù)值舍去），所以APAB=BPAP=5-12.

學(xué)生9（方法4）：設(shè)AP=a，BP=b，則AB=a+b.于是，ba=aa+b，得到ba2+ba-1=0.解得ba=5-12（負(fù)值舍去），所以APAB=BPAP=5-12.

教師：很好，我們比較一下這四種方法的思路異同.

學(xué)生10：它們的基本思路都是用方程思想處理幾何問(wèn)題;不同之處：（1）方法1把整條線(xiàn)段AB設(shè)為單位“1”，而方法3把線(xiàn)段AP設(shè)為單位“1”.（2）方法2是直接設(shè)未知數(shù)，另外三種方法則是間接設(shè)未知數(shù)，通過(guò)求線(xiàn)段比得出黃金比.

問(wèn)題2 如何找線(xiàn)段的黃金分割點(diǎn).

教師：對(duì)折一條線(xiàn)段能實(shí)現(xiàn)嗎？為什么？

學(xué)生11：不能，因?yàn)辄S金比是5-12，而對(duì)折n次只能得到含有它的12n整數(shù)倍線(xiàn)段.

教師：能用測(cè)量法近似找到線(xiàn)段的黃金分割點(diǎn)嗎？如果能找到的話(huà)，這樣的點(diǎn)有幾個(gè)？

學(xué)生12：能，因?yàn)辄S金比是5-12≈0.618，因此，如圖3，我只要用刻度尺在線(xiàn)段AB上量出AP=0.618·AB或BP′=0.618·AB即可，這樣的點(diǎn)有2個(gè).

教師：能用尺規(guī)作出線(xiàn)段的黃金分割點(diǎn)嗎？

學(xué)生陷入沉思之中，很多學(xué)生處于惘然，略待片刻，教師緩緩提示：關(guān)鍵是作出5.學(xué)生陸續(xù)完成作圖，教師選擇2位同學(xué)呈現(xiàn)他們的作圖過(guò)程.

學(xué)生13：如圖4，作CB⊥AB于點(diǎn)B，使CB=2AB，

連結(jié)AC，截AD=AB，則CD=（5-1）AB，作CD的中垂線(xiàn)，

垂足為E，截AP=CE，則點(diǎn)P即為線(xiàn)段AB的黃金分割點(diǎn).

學(xué)生14：如圖5，作CB⊥AB于點(diǎn)B，使CB=12AB，

連結(jié)AC，得AC=52AB.截CD=CB，則AD=5-12AB，

再截AP=AD，于是，點(diǎn)P即為線(xiàn)段AB的黃金分割點(diǎn).

教師：很好！這兩位同學(xué)構(gòu)造直角三角形解決“黃金比”中的5.在圖5中，如果把用圓規(guī)截取CD=CB和AP=AD看作圖形的折疊，可得到2012年施恩州的一道中考題.

（2012年施恩）如圖6，用紙折出黃金分割點(diǎn)：裁一張正方形的紙片ABCD，先折出BC的中點(diǎn)E，再折出線(xiàn)段AE，然后通過(guò)折疊使EB落到線(xiàn)段EA上，折出點(diǎn)B的新位置B′，因而EB′=EB.類(lèi)似地，在AB上折出點(diǎn)B″，使AB″=AB′.這是B″就是AB的黃金分割點(diǎn).請(qǐng)你證明這個(gè)結(jié)論.

學(xué)生15：設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，因?yàn)镋為BC的中點(diǎn)，

所以BE=1，所以AE=AB2+BE2=5.

又因?yàn)锽′E=BE=1，所以AB″=AB′=AE-B′E=5-1，

所以AB″AB=5-12，即點(diǎn)B″是線(xiàn)段AB的黃金分割點(diǎn).

……

評(píng)注 鄭老師圍繞著“黃金分割”的主題，引導(dǎo)學(xué)生自主探索“黃金比是多少”和“怎么找線(xiàn)段的黃金分割點(diǎn)”兩個(gè)子問(wèn)題，然后通過(guò)師生互動(dòng)交流，展現(xiàn)各自的思維成果.在探究“黃金比是多少”的問(wèn)題中，鄭老師先讓學(xué)生獨(dú)立思考，在合作交流中，讓學(xué)生展現(xiàn)自己的思維方式和解決問(wèn)題的獨(dú)特方法，在多樣的解法中，引導(dǎo)學(xué)生概括解法的異同.在探究“如何找線(xiàn)段的黃金分割點(diǎn)”時(shí)，鄭老師通過(guò)類(lèi)比“中點(diǎn)”的找法，讓學(xué)生自然地從“對(duì)折”“測(cè)量”和“尺規(guī)作圖”三個(gè)角度進(jìn)行思考，然后把“尺規(guī)作圖”與施恩州的一道“四次折疊找黃金分割點(diǎn)”的中考題聯(lián)系起來(lái).

顯然，這種圍繞問(wèn)題的深度學(xué)習(xí)的教學(xué)方法能夠使學(xué)生真正觸及到底層知識(shí)，掌握新知識(shí)的本質(zhì)，而且也有利于學(xué)生分析、綜合等高階思維的培養(yǎng).

1.4 生活應(yīng)用，解決問(wèn)題

問(wèn)題3 黃金分割的應(yīng)用.

教師：黃金分割具有藝術(shù)性與和諧性，蘊(yùn)含著豐富的美學(xué)元素.請(qǐng)同學(xué)們欣賞神奇的黃金比值0.618，展現(xiàn)PPT：

名畫(huà)《蒙娜麗莎》、維納斯女神、帕特農(nóng)神廟、埃及的金字塔、大自然中蝴蝶、攝影作品中，“主體”在橫向和縱向兩個(gè)維度上基本處于黃金分割點(diǎn);小提琴在弦的黃金分割點(diǎn)上彈奏，會(huì)發(fā)出動(dòng)聽(tīng)、悅耳、和諧的聲音.

在公元前6世紀(jì)，古希臘數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯線(xiàn)段分割狀態(tài)下存在一種和諧美，后來(lái)古希臘美學(xué)家柏拉圖正式稱(chēng)之為黃金分割，并一直被稱(chēng)為最佳比例……

此刻，學(xué)生迷戀于對(duì)黃金分割的欣賞之中，充滿(mǎn)對(duì)數(shù)學(xué)美的無(wú)限遐想……

評(píng)注 我們知道，從問(wèn)題探究中獲得的新知識(shí)，最終都需要把新知識(shí)回歸到在學(xué)科或在生活上的應(yīng)用，只有這樣才能體現(xiàn)新知識(shí)的價(jià)值，才能增強(qiáng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí).

在本案例中，探究“黃金分割”的應(yīng)用，鄭老師站在數(shù)學(xué)文化的維度上，讓學(xué)生充分感受到“黃金分割”與“藝術(shù)之美”“自然之美”的內(nèi)在聯(lián)系，讓數(shù)學(xué)洗滌學(xué)生的靈魂，使學(xué)生感受到數(shù)學(xué)的魅力[3].在整個(gè)探究過(guò)程，始終關(guān)注學(xué)生的思維和情感，樸實(shí)無(wú)華，自然天成.鄭老師將“黃金分割”“黃金比”和“黃金分割點(diǎn)”等新知識(shí)與自然、藝術(shù)結(jié)合起來(lái)，讓學(xué)生潛移默化地養(yǎng)成用“數(shù)學(xué)的眼光認(rèn)識(shí)生活的環(huán)境與生活”的習(xí)慣，這才是問(wèn)題解決的終極目標(biāo)，同時(shí)也提高了深度學(xué)習(xí)中的應(yīng)用與評(píng)價(jià)的高階思維.

2 三點(diǎn)思考

2.1 初中數(shù)學(xué)的深度學(xué)習(xí)是什么

什么是初中數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)？很多老師可能認(rèn)為只要能使學(xué)生理解數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)，并且會(huì)在實(shí)際問(wèn)題情景下應(yīng)用這些知識(shí)，再有點(diǎn)數(shù)學(xué)思想方法，這種學(xué)習(xí)就是初中數(shù)學(xué)的深度學(xué)習(xí).筆者則認(rèn)為，初中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)、基本的數(shù)學(xué)思想方法的學(xué)習(xí)固然重要，但更重要的是學(xué)生批判性、創(chuàng)造性學(xué)習(xí)能力的培養(yǎng).因?yàn)橹挥袑W(xué)生當(dāng)具備一定的批判性、創(chuàng)造性的學(xué)習(xí)能力時(shí)，他們就會(huì)對(duì)數(shù)學(xué)本身產(chǎn)生濃厚的興趣，充滿(mǎn)欲罷不能的好奇心，才會(huì)對(duì)后續(xù)的非義務(wù)教育的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)提供源源不竭的動(dòng)力.而這種學(xué)習(xí)能力的認(rèn)知基礎(chǔ)，應(yīng)該是分析、應(yīng)用、評(píng)價(jià)和創(chuàng)造等高階思維活動(dòng)，而在數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中的應(yīng)用、評(píng)價(jià)和創(chuàng)造等高階思維的培養(yǎng)是數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)的基本內(nèi)涵.

2.2 初中數(shù)學(xué)的深度學(xué)習(xí)如何開(kāi)展

初中數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)的開(kāi)展有很多途徑，問(wèn)題驅(qū)動(dòng)是其中的一個(gè)較為有效的方法.因?yàn)閱?wèn)題是數(shù)學(xué)的心臟，是思維的源頭和動(dòng)力.以“問(wèn)題為中心”的教學(xué)，是通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題等一系列的學(xué)習(xí)過(guò)程，幫助學(xué)生理解知識(shí)的來(lái)龍去脈，幫助學(xué)生構(gòu)建較為完整的知識(shí)體系，形成批判性、創(chuàng)造性的學(xué)習(xí)能力，逐漸培養(yǎng)成良好的思維方式.在這個(gè)過(guò)程中，教師的主導(dǎo)作用就體現(xiàn)在如何設(shè)置一個(gè)有挑戰(zhàn)性、層次性的問(wèn)題系列，通過(guò)問(wèn)題系列充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的好奇心和求知欲，讓學(xué)生在問(wèn)題解決的過(guò)程中，知識(shí)理解不斷地深入，思維不斷地得到優(yōu)化，創(chuàng)造力不斷得到提升，情感得到培育.

2.3 初中數(shù)學(xué)的深度學(xué)習(xí)與數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的關(guān)系

中小學(xué)數(shù)學(xué)教育的終極目標(biāo)在于，會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界、會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界、會(huì)用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界.數(shù)學(xué)眼光更多地指向數(shù)學(xué)抽象、直觀想象，數(shù)學(xué)思維更多表現(xiàn)在邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算，數(shù)學(xué)語(yǔ)言更多地體現(xiàn)為數(shù)學(xué)模型、數(shù)據(jù)分析.因此，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)應(yīng)該包括數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)模型和數(shù)據(jù)分析等成分，這是當(dāng)今信息社會(huì)的“學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)”在數(shù)學(xué)方面的必備素質(zhì).而這些數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)并不是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的必然產(chǎn)物，因?yàn)榇蠖鄶?shù)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)采用的是死記硬背、題海戰(zhàn)役的方式，他們習(xí)得的知識(shí)大多是片面的、不正確的，伴隨認(rèn)知過(guò)程所產(chǎn)生的情感大多是負(fù)面的、消極的，以至于一些優(yōu)秀生也常有“數(shù)學(xué)枯燥無(wú)味”的感覺(jué).但是，如果我們的教學(xué)是促進(jìn)學(xué)生進(jìn)行主動(dòng)、有意義的“深度學(xué)習(xí)”，是基于理解的基礎(chǔ)上把促進(jìn)學(xué)生的高階思維和實(shí)際問(wèn)題的解決作為我們追求目標(biāo)，那么，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)目標(biāo)就會(huì)逐步達(dá)成.

3 結(jié)束語(yǔ)

綜上所述，深度學(xué)習(xí)是與淺層學(xué)習(xí)相對(duì)的學(xué)習(xí)方式，它更關(guān)注學(xué)生知識(shí)的整合和批判性、創(chuàng)造性思維的培育.深度學(xué)習(xí)是一種過(guò)程性的學(xué)習(xí)，它著眼于學(xué)生的高階思維的發(fā)展和終身學(xué)習(xí)能力的培養(yǎng).初中數(shù)學(xué)的深度學(xué)習(xí)，有助于學(xué)生在獲得數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的同時(shí)，也有助于他們的創(chuàng)新意識(shí)的養(yǎng)成和實(shí)踐能力的提高.

參考文獻(xiàn)

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作者簡(jiǎn)介 許科挺（1982—），男，浙江寧波人，中學(xué)高級(jí)教師;主要研究中學(xué)數(shù)學(xué)教育.

毛孟杰（1968—），男，浙江寧波人，中學(xué)高級(jí)教師;主要研究中學(xué)數(shù)學(xué)教育.

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