徐華兵

[摘 要]摩擦生熱問題是高中物理的難點問題，不少學(xué)生在解決此類問題時沒有頭緒，邏輯混亂。為了讓學(xué)生厘清摩擦生熱的本質(zhì)，掌握摩擦生熱問題的解決方法，教師從常見的皮帶傳輸問題出發(fā)，深入剖析摩擦生熱的微觀本質(zhì)和宏觀表現(xiàn)，并從做功角度和能量守恒角度分別介紹摩擦生熱問題中的熱量計算方法。

[關(guān)鍵詞]摩擦生熱;功;能量守恒;滑動摩擦力

[中圖分類號]? ? G633.7? ? ? ? [文獻標(biāo)識碼]? ? A? ? ? ? [文章編號]? ? 1674-6058（2022）02-0035-04

日常生活中有很多實例與摩擦生熱有關(guān)，如兩個手掌相互摩擦?xí)r手掌發(fā)熱等，且相關(guān)問題常涉及摩擦生熱的計算。分析近幾年的高考物理試題發(fā)現(xiàn)，摩擦生熱問題備受命題者青睞。因此，摩擦生熱問題是中學(xué)階段的熱點問題。摩擦生熱與摩擦力做功息息相關(guān)，但它又不與摩擦力做功一一對應(yīng)，所以一些學(xué)生在辨析摩擦生熱與摩擦力做功間的關(guān)系時思路不清、邏輯混亂，而在解決摩擦生熱問題時更是無從下手。筆者在講授摩擦生熱問題時常有學(xué)生不甚理解，提出諸多疑惑，這讓筆者深感有必要深入分析摩擦生熱問題，厘清摩擦生熱與摩擦力做功間的關(guān)系及歸納總結(jié)摩擦生熱問題中的熱量計算方法。

一、問題提出

題目：如圖1所示，傳送帶與水平面的夾角[θ=30°]，傳送帶兩端[A]、[B]間的距離[L=5 m]，傳送帶在電動機的帶動下以[v=1 m/s]的速度沿順時針方向勻速轉(zhuǎn)動?，F(xiàn)將一質(zhì)量[m=10 kg]的小物塊（可視為質(zhì)點）輕放在傳送帶上的[A]點，已知小物塊與傳送帶間的動摩擦因數(shù)[μ=32]，[g]取10 m/s2，在傳送帶將小物塊從[A]點傳送到[B]點的過程中。求：（1）小物塊與傳送帶間因摩擦所產(chǎn)生的熱量[Q];（2）傳送帶對物塊做的功[W]。

分析求解：（1）對小物塊進行受力分析可知，小物塊先在傳送帶上做勻加速直線運動，速度與傳送帶的速度相等后，與傳送帶間保持相對靜止運動到[B]點。小物塊在傳送帶上做勻加速直線運動時，受滑動摩擦力作用產(chǎn)生熱量[Q=μmg?cos 30°?x相=15 J]。（2）傳送帶對小物塊做的功，即傳送帶對小物塊的摩擦力所做的功[W=Wf 1+Wf 2=12mv2+mgL?sin 30°=255 J]，即小物塊從[A]點傳送到[B]點的過程中，小物塊增加的機械能。

筆者在講授完這道題后，有一位學(xué)生提出了這樣一個問題：傳送帶施加給小物塊的摩擦力對小物塊做的功為什么等于小物塊機械能的增加量，而不等于小物塊機械能和熱能的總和，即總能量的增加量[W=12mv2+mgL·sin30°+Q=255 J+15 J=270 J ]？ 筆者覺得這個問題提得很好，就立即將它拋給了全班學(xué)生，詢問他們這是為什么，又該如何解釋。筆者詢問了很多學(xué)生，他們都不知道是為什么。從學(xué)生對這個問題的反應(yīng)看，筆者覺得他們并沒有理解摩擦生熱的本質(zhì)。下面筆者對摩擦生熱問題做進一步闡述。

二、摩擦生熱的微觀本質(zhì)

兩物體相互摩擦的實質(zhì)是相互摩擦的物體表面分子相互碰撞。假定一個物體靜止，另一個物體在其表面相對運動，則在此過程中靜止物體中的分子被撞擊，獲得了運動物體分子的部分或全部定向動能，獲得此定向動能的分子又會與周圍的其他分子相互碰撞。分子間的碰撞極為頻繁，而撞擊的方向又是隨機的，因此，原本的定向動能最終轉(zhuǎn)變?yōu)闊o規(guī)則運動動能，即熱運動動能增大，進而導(dǎo)致相互摩擦的物體表面在宏觀上表現(xiàn)為內(nèi)能增大、溫度升高。

獲得由定向動能轉(zhuǎn)變而來的額外熱運動動能的表面附近分子在物體內(nèi)無規(guī)則運動，有可能會跑到物體內(nèi)部與物體內(nèi)部分子碰撞，以使物體內(nèi)部分子的熱運動加劇，進而導(dǎo)致整個物體變“熱”。運動是相對的，因此，相互摩擦的物體實際上溫度是同時升高的。宏觀上看，相互摩擦的兩個物體的溫度都升高了，內(nèi)能增大了，即相互摩擦的兩個物體間產(chǎn)生了熱量[Q]。結(jié)合摩擦生熱的微觀機理可以看出，兩個物體相互摩擦產(chǎn)生的熱量[Q]并不是其中某一個物體單獨具有的，而是兩個物體系統(tǒng)共同具有的。

三、摩擦生熱的宏觀表現(xiàn)

上述內(nèi)容從微觀角度闡述了摩擦生熱的機理，通過摩擦生熱的微觀機理知道因相互摩擦而產(chǎn)生的熱量應(yīng)該是兩個物體共同具有的。因摩擦所產(chǎn)生的熱量[Q]在兩物體間如何分配取決于兩物體各自的質(zhì)量和溫度差。相互摩擦的兩個物體經(jīng)一段時間后溫度應(yīng)相同，即兩物體間再不會發(fā)生熱量傳遞。下面，筆者從摩擦生熱與摩擦力做功間的關(guān)系和摩擦生熱熱量計算的角度進一步闡述摩擦生熱的宏觀表現(xiàn)。

（一）摩擦生熱與摩擦力做功間的關(guān)系

摩擦力做功是指相互摩擦的兩個物體間的摩擦力對其中某一個物體做功，該摩擦力做功的大小取決于摩擦力的大小和該物體在摩擦力作用下發(fā)生的位移，即[Wf=f x]，[x]一般都是物體相對地面的位移。摩擦力對物體做功的結(jié)果是改變了物體的機械能?！吧鸁帷钡谋举|(zhì)是相互摩擦物體的機械能向內(nèi)能轉(zhuǎn)化，若相互摩擦的兩個物體間有熱量產(chǎn)生，那么相互作用的物體系統(tǒng)的機械能一定會發(fā)生變化。摩擦生熱的大小與一對相互作用的摩擦力所做功的代數(shù)和有關(guān)。為了進一步闡述摩擦力做功和摩擦生熱間的關(guān)系，現(xiàn)通過一個常見模型予以分析。

常見模型：頂端粗糙且質(zhì)量為[m]的小車靜止放在光滑的水平面上，質(zhì)量也為[m]的小木塊以速度[v0]由小車左端滑上小車，如圖2所示。當(dāng)小木塊與小車相對靜止時，小木塊相對小車的位移為d，小車相對地面的位移為[s]，小木塊和小車間的滑動摩擦力為[f]。試分析：

（1）摩擦力對小木塊做的功;（2）摩擦力對小車做的功;（3）小木塊與小車間因摩擦而產(chǎn)生的熱量[Q];（4）摩擦力做功與摩擦產(chǎn)生的熱量間的關(guān)系。

分析求解：小木塊滑上小車后因摩擦力而做減速運動，小車因摩擦力而做加速運動;當(dāng)它們相對靜止后以共同速度運動，易求得[v共=v02]。

（1）對小木塊應(yīng)用動能定理有：

[Wf=-f（d+s）=12mv2共-12mv20=-38mv20]

（2）對小車應(yīng)用動能定理有：

[Wf'=f·s=12mv2共-0=18mv20]

（3）對小木塊和小車組成的系統(tǒng)應(yīng)用能量守恒定律，知因摩擦而產(chǎn)生的熱量為：

[Q=12mv20-12?2m?v2共=14mv20]

（4）通過前面的計算結(jié)果易看出[Q=Wf+W'f=f d=14mv20]，即摩擦產(chǎn)生的熱量等于一對相互作用的摩擦力做功之和的絕對值，也等于摩擦力乘以它們間的相對位移。

從上述模型求解中可以看出，摩擦力對某一個物體做的功改變的是該物體的動能，即改變的是該物體的機械能，起到傳遞機械能的作用;而一對滑動摩擦力做功之和的絕對值與摩擦產(chǎn)生的熱量對應(yīng)，即[Q=Wf+W'f=f x相]。

（二）摩擦生熱的計算

通過對上述摩擦生熱常見模型的分析求解可知，兩個相互摩擦的物體產(chǎn)生的熱量等于相互摩擦系統(tǒng)機械能的減少量，即[Q=E1機-E2機=-ΔE機]，也等于相互摩擦的兩個物體間一對滑動摩擦力做功之和的絕對值，即[Q=Wf+W'f=f x相]。這也提供了兩種摩擦生熱問題的解決方法——能量法和摩擦力做功法。

應(yīng)用能量法解決摩擦生熱問題需要先求出相互摩擦系統(tǒng)的初始機械能和終了機械能，然后計算出系統(tǒng)機械能的減少量，此減少量即為系統(tǒng)因摩擦而產(chǎn)生的熱量。應(yīng)用摩擦力做功法解決摩擦生熱問題可先求出相互作用的一對滑動摩擦力分別對兩個物體所做的功，再求和取絕對值。因為相互作用的一對滑動摩擦力做功之和等于摩擦力與相對位移乘積的負(fù)值，即[Wf+Wf'=-f x相]，所以只需求出相對滑動的物體間相對位移即可快速算出一對滑動摩擦力做功之和。

相對位移的相關(guān)問題可選在地面參考系中求解，也可選在其他運動的參考系中求解。若選擇在地面參考系中求解，要先分別計算出地面參考系中兩物體的位移[x1]和[x2]，再計算出它們間的相對位移[x]。當(dāng)個兩物體同向運動時，相對位移[x=x1-x2];當(dāng)兩個物體反向運動時，相對位移[x=x1+x2]。若選兩個相對運動的物體中的一個物體為參考系，相對位移的求解較為簡單，即[x=v2相2a]。因為兩個相對滑動的物體間相對位移的大小與參考系的選取無關(guān)，所以在任意一個參考系中求出的相對位移[x]都相同。

[例1]如圖3所示，一水平方向的傳送帶以恒定的速度[v=2 m/s]沿順時針方向勻速轉(zhuǎn)動，傳送帶右端固定著一光滑的四分之一圓弧面軌道，并與弧面下端相切。一質(zhì)量為[m=1 kg]的物塊自圓弧面軌道的最高點由靜止滑下，圓弧面軌道的半徑[R=0.45 m]，物體與傳送帶之間的動摩擦因數(shù)為[μ=0.2]，不計物塊滑過曲面與傳送帶交接處時的能量損失，且傳送帶足夠長，[g=10 m/s2]。求：（1）物塊第一次從滑上傳送帶到離開傳送帶所經(jīng)歷的時間;（2）物塊第一次從滑上傳送帶到離開傳送帶的過程中，傳送帶對物塊做的功;（3）物塊與傳送帶間由于摩擦而產(chǎn)生的熱量。

分析求解：（1）物塊從圓弧面滑下后，向左滑上傳送帶，物塊先向左做減速運動，后向右做加速運動，加速到速度和傳送帶速度相等后勻速運動。

物塊在圓弧面運動時應(yīng)用動能定理有[mgR=12mv02-0]，解得[v0=2gR=3 m/s]。

向左勻減速運動階段的時間和位移為：[t1=v0a=v0μg=32 s]，[x1=v022μg=94 m];向右加速運動階段的時間和位移為：[t2=va=vμg=1 s]，[x2=v22μg=1 m];勻速運動階段的時間為：[t3=x1-x2v=58 s]。因此，物塊從滑上傳送帶到離開傳送帶運動的總時間為[t=t1+t2+t3=258 s]。

（2）傳送帶對物塊做的功即為傳送帶施加給物塊的摩擦力對物塊所做的功，即等于物塊動能的變化量[W=Wf=12mv2-12mv20=-52J]。

（3）物塊與傳送帶在相對靜止階段無相對位移并不產(chǎn)生熱量，只有在相對滑動階段才產(chǎn)生熱量。

相對滑動階段一開始為同向運動，后來為反向運動。計算摩擦產(chǎn)生的熱量時，關(guān)鍵是要算出物塊與傳送帶間的相對位移。若在地面參考系中計算相對位移需分為兩個子過程，反向運動階段相對位移[x′1=x1+vt1=214m]，同向運動階段相對位移[x′2=vt2-x2=1 m]，全過程物塊與傳送帶間的相對位移[x=x′1+x′2=254? m]。若在傳送帶參考系中計算相對位移則較為簡單，即[x=v2相2a]。物塊相對傳送帶的初速度[v相=v+v0=5 m/s]，代入公式得[x相=v2相2 μg=（v+v0）2-02 μg=254 m]，所以物塊和傳送帶間因摩擦而產(chǎn)生的熱量[Q=μmg?x相=252J]。

點評：本題是典型的摩擦生熱問題，熱量的計算選用的是摩擦力乘以相對位移的處理方法。因為要計算物塊和傳送帶間的相對位移，而物塊相對傳送帶先向左運動，后向右運動，經(jīng)歷兩個子過程，在地面參考系中求解需分子過程，而在傳送帶參考系中可直接求解，所以在計算熱量求解相對位移時應(yīng)靈活選用參考系。

[例2]一質(zhì)量為[M=2 kg]的物塊隨足夠長的水平傳送帶一起運動，被一水平向左飛來的子彈擊中并從物塊中穿過，如圖4所示。地面觀察者記錄了物塊被擊穿后的速度隨時間的變化關(guān)系，如圖5所示（圖中取向右運動的方向為正方向），已知傳送帶的速度保持不變，g取10 m/s2。（1）簡述物塊被擊穿后的運動過程，指出傳送帶的速度[v]的方向及大小。（2）計算物塊與傳送帶間的動摩擦系數(shù)。（3）傳送帶對物塊總共做了多少功？（4）系統(tǒng)有多少能量轉(zhuǎn)化為內(nèi)能？

分析求解：（1）從圖5的[v-t]圖像可看出，物塊先向左減速到[v=0]，后向右加速到[v=2 m/s]，所以傳送帶的速度方向為向右，其速度的大小為[v=2 m/s]。

（2）由圖線可知物塊的加速度[a=ΔvΔt=2 m/s2]，由牛頓第二定律有[a=μ MgM=μg]，解得[μ=0.2]。

（3）傳送帶對物塊做的功，即傳送帶施加給物塊的摩擦力對物塊做的功，可應(yīng)用功的計算公式[W=Fx]求解，也可從能量的角度求解，即[Wf=-f x物=12Mv22-12Mv21=-12 J]。

（4）系統(tǒng)減少的能量轉(zhuǎn)化為系統(tǒng)的內(nèi)能，即產(chǎn)生熱量[Q]，系統(tǒng)因摩擦而產(chǎn)生的熱量可從能量守恒的角度求得，也可用一對相互作用滑動摩擦力做功（即[Q=f x相]）求得。由于物塊先與傳送帶反向運動再同向運動，以地面為參考系計算相對位移時分解為兩個子過程求解比較麻煩，若在傳送帶參考系中計算相對位移則較為簡單，即[x相=v2相2 μg=622×2? m=9 m]，代入公式即得系統(tǒng)因摩擦而產(chǎn)生的熱量[Q=μ Mg?x相=36 J]。

點評：解題時，可從題目所給圖線中獲取物塊與傳送帶相對滑動前的初速度、傳送帶的速度。經(jīng)分析發(fā)現(xiàn)物塊在傳送帶上經(jīng)歷了兩個運動過程——反向運動過程和同向運動過程，用相對運動（換參考系）求解相對位移，再由[Q=f x相]求解熱量較為方便。

兩個物體系統(tǒng)在相對滑動的過程中，功能關(guān)系和能量守恒是永遠(yuǎn)遵循的規(guī)律。對其中任何一個物體而言，其能量的轉(zhuǎn)移和轉(zhuǎn)化都是通過相應(yīng)的力做功來實現(xiàn)的?；瑒幽Σ亮ξ矬w做的功改變的是物體的機械能，對應(yīng)的是機械能的傳遞。摩擦生熱則是通過一對相互作用的滑動摩擦力做功來實現(xiàn)的，通過這一對滑動摩擦力做功實現(xiàn)相互作用系統(tǒng)的機械能向內(nèi)能轉(zhuǎn)化，所以可從系統(tǒng)能量守恒的角度求得內(nèi)能，即摩擦產(chǎn)生的熱量。同時，根據(jù)一對相互作用滑動摩擦力做功的特點，可應(yīng)用一對滑動摩擦力做功之和的絕對值計算摩擦產(chǎn)生的熱量。

同時，在相互作用的物體系統(tǒng)內(nèi)必定存在能量的轉(zhuǎn)化和轉(zhuǎn)移，須知在能量轉(zhuǎn)化和轉(zhuǎn)移的過程中，能量的總量是保持不變的，某種形式的能增加，必然會有相應(yīng)形式的能減少，能的增加量和減少量必定相等。因此，從能量轉(zhuǎn)化與能量守恒定律的角度分析，許多看似糾結(jié)的問題就會迎刃而解。

[? ?參? ?考? ?文? ?獻? ?]

[1]? 季鐘，姜勝，吳菊新.關(guān)于摩擦力做功與“摩擦生熱”問題的討論[J].中學(xué)物理，2015（15）：40-41.

[2]? 張紅燕，亞森江·吾甫爾.關(guān)于摩擦力做功與摩擦生熱的分析[J].中國科教創(chuàng)新導(dǎo)刊，2012（16）：60.

（責(zé)任編輯 易志毅）

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