[摘 要]在數(shù)學(xué)教學(xué)中， 教師大都重視培養(yǎng)學(xué)生“一題多解”的思維和能力。但是，學(xué)生還需要具備“多題一解”的思維，對(duì)不同問(wèn)題的同類解法進(jìn)行總結(jié)歸納，形成一個(gè)完整的知識(shí)體系，避免利用題海戰(zhàn)術(shù)來(lái)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)。“多題一解”能訓(xùn)練學(xué)生思維，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)能力有重要作用。

[關(guān)鍵詞]多題一解;初中數(shù)學(xué);特殊三角形

[中圖分類號(hào)]? ? G633.6? ? ? ? [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]? ? A? ? ? ? [文章編號(hào)]? ? 1674-6058（2022）02-0020-03

一、初中數(shù)學(xué)“多題一解”的必要性

“多題一解”是指用同一種數(shù)學(xué)思想方法解決不同的數(shù)學(xué)問(wèn)題，這就要求學(xué)生在分析題目時(shí)能夠由表及里，抓住問(wèn)題的本質(zhì)，找出知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系。學(xué)生掌握“多題一解”，能將大量的數(shù)學(xué)題目化歸為一個(gè)模塊、一個(gè)專題，實(shí)現(xiàn)做少量的題也能靈活地解決各類難題。

初中階段正是學(xué)生發(fā)展數(shù)學(xué)能力的關(guān)鍵期。隨著知識(shí)點(diǎn)的增多和學(xué)習(xí)難度的提高，很多學(xué)生的學(xué)習(xí)水平開(kāi)始出現(xiàn)明顯差異。學(xué)好數(shù)學(xué)的關(guān)鍵點(diǎn)在于能解題、會(huì)解題。但是，很多學(xué)生都是提筆就寫(xiě)、遇題就做，缺乏對(duì)不同題型求解方法的思考和總結(jié)，導(dǎo)致學(xué)習(xí)效果不盡如人意。若能將“多題一解”思想運(yùn)用到初中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，讓學(xué)生在不同問(wèn)題情境下對(duì)問(wèn)題進(jìn)行剖析，并通過(guò)對(duì)比歸納，形成自己的解題體系，學(xué)生就會(huì)在面對(duì)不同類型的數(shù)學(xué)題時(shí)，能快速反應(yīng)，選擇出合適的解題方法。這樣，既能提高學(xué)生的解題效率，又能讓學(xué)生在解題過(guò)程中加深對(duì)知識(shí)內(nèi)在聯(lián)系的理解，達(dá)到舉一反三、觸類旁通的效果。

二、“多題一解”思想在特殊三角形存在性問(wèn)題中的應(yīng)用

等腰三角形和直角三角形的存在性問(wèn)題是初中數(shù)學(xué)的難點(diǎn)問(wèn)題。解決這兩類問(wèn)題的主要方法是構(gòu)造“兩圓一線”和“兩線一圓”模型，在理解題意的基礎(chǔ)上，通過(guò)繪圖輔助，分類討論出每一種情況的結(jié)果。但此類問(wèn)題的難點(diǎn)在于滿足題意的結(jié)果不止一種，學(xué)生受到定式思維的影響容易遺漏其他的結(jié)果。而且計(jì)算過(guò)程較為復(fù)雜，總體來(lái)說(shuō)難度系數(shù)偏高。在教學(xué)時(shí)可將這兩大類問(wèn)題歸為兩個(gè)專題，讓學(xué)生進(jìn)行訓(xùn)練，使他們?cè)诮忸}過(guò)程中通過(guò)類比、遷移、歸納，感悟并掌握“多題一解”思想。

（一）構(gòu)造“兩圓一線”求解等腰三角形存在性問(wèn)題

[例1]如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)[A]的坐標(biāo)為[（2，1）]，連接[OA]，若[P]是[x]軸上一動(dòng)點(diǎn)，則當(dāng)[△AOP]是等腰三角形時(shí)，求點(diǎn)[P]的坐標(biāo)。

分析：若使[△AOP]是等腰三角形，那么必有[OA=OP]或[OA=AP]或[OP=AP]。

解：如圖2，①當(dāng)[OA=OP]時(shí)，以點(diǎn)[O]為圓心，以[OA]為半徑構(gòu)造[⊙O]，此時(shí)[⊙O]與[x]軸交于[P1]、[P2]兩點(diǎn)，即[P1-5， 0 ]，[ P25， 0 ]。

②當(dāng)[OA=AP]時(shí)，以點(diǎn)[A]為圓心，以[OA]為半徑構(gòu)造[⊙A]，此時(shí)[⊙A]與[x]軸交于點(diǎn)[O]（點(diǎn)[O]不能構(gòu)成等腰三角形，暫不討論）和點(diǎn)[P3]，即[P3（4 ， 0）]。

③當(dāng)[OP=AP]時(shí)，作[OA]的垂直平分線，該直線與[x]軸交于點(diǎn)[P4]。此時(shí)，設(shè)點(diǎn)[P4]坐標(biāo)為[（x ， 0）]，利用勾股定理，可列方程[x2=12+2-x2]，得到[P454， 0]。

因此，此題共有4個(gè)點(diǎn)能使得[△AOP]是等腰三角形。

對(duì)于這一類題目，通常還會(huì)有其他的問(wèn)法。例如，在同樣的條件下，[y]軸上是否存在點(diǎn)[P]，使得[△AOP]是等腰三角形？或者在坐標(biāo)軸上是否存在點(diǎn)[P]，使得[△AOP]是等腰三角形？經(jīng)過(guò)分析，我們發(fā)現(xiàn)解題思路和計(jì)算過(guò)程都可以類比例1。此時(shí)[y]軸上也有4個(gè)點(diǎn)符合題意。同樣，當(dāng)問(wèn)題是在坐標(biāo)軸上求點(diǎn)[P]時(shí)，就要綜合點(diǎn)[P]在[x]軸和[y]軸上的兩種情況，共可求得8個(gè)點(diǎn)。

[例2]如圖3，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形[OABC]是長(zhǎng)方形，已知[A（6， 0）]，[C（0， 2）]，[M]是[OA]的中點(diǎn)，[P]是線段[BC]上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)[△OMP]是腰長(zhǎng)為3的等腰三角形時(shí)，求點(diǎn)[P]的坐標(biāo)。

分析：若使[△OPM]為等腰三角形，可討論[PM=OM]、[OP=OM]和[OP=PM]這三種情況。

解：如圖4所示，

①當(dāng)[PM=OM=3]時(shí)，此時(shí)以點(diǎn)[M]為圓心，以[OM]為半徑構(gòu)造[⊙M]，其交[CB]于點(diǎn)[P1]，[P2]。分別構(gòu)造相應(yīng)的直角三角形，利用勾股定理列出方程，即可求得坐標(biāo)為[P13-5， 2、P23+5， 2]。

②當(dāng)[OP=OM=3]時(shí)，以點(diǎn)[O]為圓心，以[OM]為半徑構(gòu)造[⊙O]，其與[CB]交于點(diǎn)[P3]，利用勾股定理列出方程，可得[P35， 2]。

③當(dāng)[OP=PM=3]時(shí)，作[OM]的垂直平分線，由圖可知，此時(shí)[△OPM]是等邊三角形，點(diǎn)[P]在兩圓的交點(diǎn)處，不在[CB]上，不符合題意，故舍去。

綜上所述，共有3個(gè)點(diǎn)成立。

[例3]在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)[A（2， 1）]，[B（0， 1）]，[C（-4，-3）]，[D（6，-3）]，將各點(diǎn)依次連接構(gòu)成一個(gè)四邊形[ABCD]后，求出點(diǎn)[P]的坐標(biāo)，使得[△APB]、[△BPC]、[△CPD]、[△APD]都是等腰三角形。

分析：將各點(diǎn)連接之后，這是一個(gè)等腰梯形（如圖5），要使得[△APB]、[△BPC]、[△CPD]、[△APD] 這4個(gè)三角形都是等腰三角形的點(diǎn)[P]并不好求。但是仔細(xì)分析后可以發(fā)現(xiàn)本題的突破點(diǎn)：（1）“[△APB]、[△CPD]是等腰三角形”是這4個(gè)等腰三角形成立的先決條件。由于該四邊形是等腰梯形，[AB]和[CD]有著特殊的位置關(guān)系，當(dāng)[△APB]和[△CPD]是等腰三角形時(shí)，點(diǎn)[P]必然在[AB]、[CD]的垂直平分線上，即點(diǎn)[P]在直線[x=1]上。（2）該四邊形是等腰梯形，則有[BC=AD]，考慮[△BPC]和[△APD]都是等腰三角形的條件時(shí)，只考慮點(diǎn)[P]使[△BPC]是等腰三角形即可。綜上兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，我們可以建立“兩圓一線”模型來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題。

解：對(duì)于[CB=CP]、[BC=BP]、[BP=CP]三種情況時(shí)，分別構(gòu)造[⊙C]、[⊙B]、[BC]的垂直平分線（如圖6），設(shè)點(diǎn)[P（1， y）]。

①當(dāng)[CB=CP]時(shí)，[⊙C]與直線交于[P1]，[P2]兩點(diǎn)，由[CB=42]，可知[CP=42]。根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式列出方程[y+32+25=422]，得到[P11，7-3]，[P21，-7-3]。

②當(dāng)[BC=BP]時(shí)，[⊙B]與直線交于[P3]，[P4]兩點(diǎn)，同理構(gòu)造方程[y-12+1=422]，可得[P31， 1+31]，[P41， 1-31]。

③當(dāng)[BP=CP]時(shí)，[BC]的垂直平分線與直線交于點(diǎn)[P5]，構(gòu)造方程[y+32+25=y-12+1]，得到[P51，-4]。

綜上所述，有5個(gè)點(diǎn)符合要求。

求解這一類等腰三角形的存在性問(wèn)題，只要對(duì)問(wèn)題進(jìn)行層層分析，將關(guān)鍵點(diǎn)分析到位，就能知道它們屬于同一類題，解題方法都是類似的。先根據(jù)題意分情況討論，再構(gòu)造“兩圓一線”模型，最后利用勾股定理和兩點(diǎn)間距離公式求解點(diǎn)[P]。只要熟練掌握這一類解題技巧，那么這類問(wèn)題也就迎刃而解了。

（二）構(gòu)造“兩線一圓”求解直角三角形存在性問(wèn)題

[例4]在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)[A1，1]，[B5， 3]，在[x]軸上找一點(diǎn)P使得[△ABP]是直角三角形，求點(diǎn)[P]的坐標(biāo)。

[分析]：本題中三角形的目標(biāo)形狀是直角三角形，那么必有[∠A=90°]、[∠B=90°]、[∠P=90°]三種情況。

解：如圖7（“兩線一圓”模型）所示，[AB=25]，設(shè)[P（x， 0）]。

①當(dāng)[∠A=90°]時(shí)，過(guò)點(diǎn)[A]作[AB]的垂線交[x]軸于點(diǎn)[P]，利用勾股定理[AB2+AP2=BP2]，列方程為[20+x-12+1=5-x2+9]，即得[P132， 0]。

②當(dāng)[∠B=90°]時(shí)，過(guò)點(diǎn)[B]作[AB]的垂線交[x]軸于點(diǎn)[P]，此時(shí)有[AB2+BP2=AP2]，列方程為[20+x-52+9=x-12+1]，即得[P2132， 0]。

③當(dāng)[∠P= 90°]時(shí)，點(diǎn)[P]在以[AB]為直徑的圓上，此時(shí)[AB]作為斜邊，同樣利用勾股定理[BP2+AP2=AB2]，列方程為[x-52+9+x-12+1=20]，即得[P32， 0， P44， 0]。

綜上所述，共有4個(gè)點(diǎn)符合要求。

[例5]在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)[M（1， 4）]，[A（3， 0）]，點(diǎn)[P]是[y]軸上一點(diǎn)。若使得[△PAM]是直角三角形，那么有幾個(gè)滿足條件的點(diǎn)[P]？求出該點(diǎn)坐標(biāo)。

解：如圖8（“兩線一圓”模型）所示，[AM=25]，設(shè)[P（0， y）]。

①當(dāng)[∠M=90°]時(shí)，過(guò)點(diǎn)[M]作[AM]的垂線交[y]軸于點(diǎn)[P]，由[PM2+MA2=AP2]，列方程為[4-y2+1+20=y2+9]，即得[P10， 72]。

②當(dāng)[∠A=90°]時(shí)，過(guò)點(diǎn)[A]作[AM]的垂線交[y]軸于點(diǎn)[P]，由[MA2+AP2=PM2]，列方程為[y2+9+20=4-y2+1]，即得[P20，-32]。

③當(dāng)[∠P=90°]時(shí)，以[AM]為直徑構(gòu)造圓，其與[y]軸有兩個(gè)交點(diǎn)，由[MP2+AP2=AM2]，列方程為[y2+9+4-y2+1=20]，即得[P30，1]，[P40， 3]。

綜上所述，共有4個(gè)點(diǎn)滿足題意。

[例6]在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)[A-2， 2]，[B（3， 2）]，[P]是坐標(biāo)軸上一點(diǎn)，若[△ABP]是直角三角形。問(wèn)：滿足條件的點(diǎn)共有幾個(gè)？

分析：本題增加了點(diǎn)[P]的位置范圍，即在坐標(biāo)軸上。但是方法不變，我們依然可借助“兩線一圓”來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題。本題只用求點(diǎn)[P]的個(gè)數(shù)，不要求坐標(biāo)，降低了解題難度。

解：如圖9所示，構(gòu)造“兩線一圓”模型。

①當(dāng)[∠A=90°]時(shí)，過(guò)點(diǎn)[A]作[AB]的垂線與[x]軸交于點(diǎn)[P1];

②當(dāng)[∠B=90°]時(shí)，過(guò)點(diǎn)[B]作[AB]的垂線與[x]軸交于點(diǎn)[P2];

③當(dāng)[∠P=90°]時(shí)，以[AB]為直徑構(gòu)造圓，其與[x]軸分別交于點(diǎn)[P3]，[P4]，與[y]軸分別交于點(diǎn)[P5]，[P6]。

綜上所述，共存在6個(gè)點(diǎn)使得[△ABP]是直角三角形。

求解直角三角形的存在性問(wèn)題，學(xué)生需要把握題目的本質(zhì)，精準(zhǔn)分析題目。先考慮到有三種直角的情況，再構(gòu)造“兩線一圓”模型，利用勾股定理列出方程即可。只要做到這一步，學(xué)生就能通過(guò)做一題會(huì)一類。通過(guò)日常的學(xué)習(xí)訓(xùn)練，學(xué)生求解直角三角形存在性問(wèn)題的能力就會(huì)明顯取得進(jìn)步。

解題能力是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力的一大組成部分。數(shù)學(xué)題目種類多、范圍廣，知識(shí)點(diǎn)之間聯(lián)系緊密。如果學(xué)生缺乏“多題一解”思想，很容易被困在題海中，找不到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的有效方法，喪失學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。本文以解決特殊三角形的存在性問(wèn)題為例，將不同內(nèi)容的練習(xí)題編織在一起，進(jìn)行層層分析后，采用同一類方法求解，充分體現(xiàn)了“多題一解”的重要思想。在日常教學(xué)中，培養(yǎng)學(xué)生的“多題一解”思想，有利于加強(qiáng)學(xué)生對(duì)知識(shí)的熟悉程度，有利于學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的掌握和運(yùn)用，達(dá)到強(qiáng)化訓(xùn)練的目的，形成解題技巧，提升學(xué)生自身的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。因此，“多題一解”在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中具有顯著作用，應(yīng)當(dāng)成為學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要思想。

[? ?參? ?考? ?文? ?獻(xiàn)? ?]

[1]? 姜靜.淺談“一題多解”與“多題一解”在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用[J].科幻畫(huà)報(bào)，2018（4）：102-104.

[2]? 吳乃才.“兩圓一線”與“兩線一圓”[J].課程教育研究（新教師教學(xué)），2012（22）：262.

[3]? 徐秀連.應(yīng)用類比思想提高數(shù)學(xué)解題效率[J].廣西教育，2020（5）：142-143.

（責(zé)任編輯 黃桂堅(jiān)）

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