◎李 俊

(江蘇省丹陽(yáng)市珥陵高級(jí)中學(xué),江蘇 鎮(zhèn)江 212300)

在高三習(xí)題課中，部分教師常常將多做題當(dāng)作法寶，一味地搞題海戰(zhàn)術(shù).筆者在平時(shí)的聽(tīng)課中做了一個(gè)粗略的統(tǒng)計(jì)，大部分教師一節(jié)數(shù)學(xué)課準(zhǔn)備的題目都在十五道以上，特別是習(xí)題課，更加是題目的“海洋”.聽(tīng)完課后，筆者在與學(xué)生的交流中發(fā)現(xiàn)，學(xué)生對(duì)于課堂上“海量”題目的講解有很多困惑：上一題還沒(méi)有理解透徹，老師又開(kāi)始講下一題了；老師講的都懂，但自己再遇到相似問(wèn)題還是不會(huì)……教師經(jīng)常反映的是：這道題目上課的時(shí)候已經(jīng)講過(guò)兩遍了，但再遇到，學(xué)生還是會(huì)錯(cuò)，問(wèn)題究竟出在哪里？是不是每節(jié)習(xí)題課都需要準(zhǔn)備很多題目，講很多例題？筆者覺(jué)得這一點(diǎn)值得商榷,并認(rèn)為如果在習(xí)題課上將變式題用得好的話(huà)，可以以一當(dāng)十，事半功倍.

顧明遠(yuǎn)在其主編的《教育大辭典》中對(duì)“教學(xué)變式”進(jìn)行了詳細(xì)的解釋?zhuān)骸敖虒W(xué)變式——在教學(xué)中使學(xué)生確切掌握概念的重要方式之一，即在教學(xué)中用不同形式的直觀材料或事例說(shuō)明事物的本質(zhì)屬性，或變換同類(lèi)事物的非本質(zhì)特征，以突出事物的本質(zhì)特征，目的在于使學(xué)生了解哪些是事物的本質(zhì)特征，哪些是事物的非本質(zhì)特征，從而對(duì)一事物形成科學(xué)概念．”

在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，特別是在高三習(xí)題課中，為了提高學(xué)生的學(xué)科核心素養(yǎng)，形成“理性思維、科學(xué)精神”“促進(jìn)個(gè)人智力發(fā)展”，教師需要改變以往“老師講解多，學(xué)生思考少”“一問(wèn)一答多，師生交流少”“機(jī)械記憶多，具體操作少”等現(xiàn)象，和學(xué)生一起對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行多角度、多方位、多層次的討論和思考.而這里的“多角度、多方位、多層次”都可以通過(guò)適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)變式達(dá)成.精彩的數(shù)學(xué)變式不僅能使學(xué)生看到事物的表象，更能讓他們自覺(jué)地探索事物的本質(zhì)，使他們明白即便是高考中的復(fù)雜問(wèn)題，也是由簡(jiǎn)單問(wèn)題轉(zhuǎn)變而來(lái)的，消除學(xué)生的思維定式和學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的畏難情緒，同時(shí)提高學(xué)生的數(shù)學(xué)研究和創(chuàng)新能力，極大提高學(xué)生參與課堂的積極性，改變高三習(xí)題課“教師一言堂”的不良現(xiàn)象，使學(xué)生真正成為課堂教學(xué)的主體.

在教學(xué)“三角專(zhuān)題復(fù)習(xí)”第一課時(shí)的時(shí)候，筆者是這樣設(shè)計(jì)的.

首先，和學(xué)生一起回憶三角函數(shù)的基本公式，然后一同總結(jié)以往解三角題的過(guò)程中所要注意的問(wèn)題：牢記公式，活用公式，注重技巧，黑板上的板書(shū)也要盡量精簡(jiǎn).

其次，開(kāi)始講解例題.為了熟練記憶公式，筆者從幾個(gè)角的變換的題目入手，通過(guò)一些恒等變形的問(wèn)題讓學(xué)生熟悉公式，最后通過(guò)幾個(gè)綜合題提高學(xué)生的綜合應(yīng)用能力.本來(lái)這幾個(gè)部分至少需要十道左右例題，在審閱題目的時(shí)候，筆者發(fā)現(xiàn)這些例題雖然各不相同，但使用的方法是有跡可循、層層遞進(jìn)的，故靈機(jī)一動(dòng)，何不把一道題目進(jìn)行幾種變形，但同樣使用例題考查的幾種方法呢？這樣既可以大幅度提高課堂的效率，又可以激發(fā)學(xué)生的求知欲，使他們對(duì)知識(shí)的印象更加深刻.

課堂片段摘錄如下.

此題為基礎(chǔ)題，主要考查了學(xué)生對(duì)兩角和的余弦公式和二倍角公式的運(yùn)用，可以讓學(xué)生熟悉基本公式的運(yùn)用.

這道題給出的已知角比較簡(jiǎn)單，但如果給出的角不是簡(jiǎn)單角，學(xué)生是否會(huì)進(jìn)行相應(yīng)的變形和運(yùn)算呢？于是筆者對(duì)例題進(jìn)行了如下變形.

與上一題相比較，本題是將原來(lái)的一個(gè)要求的結(jié)論當(dāng)作條件，另外一個(gè)結(jié)論當(dāng)作所求.

課堂實(shí)錄如下.

這樣就變成了和上題一樣的已知，充分體現(xiàn)了化歸的思想.

教師適時(shí)表?yè)P(yáng)，給予學(xué)生充分肯定,同時(shí)及時(shí)小結(jié)：要求角，重點(diǎn)要觀察所求角與已知角之間的關(guān)系.

同時(shí)教師又拋出了一個(gè)問(wèn)題：能不能進(jìn)一步優(yōu)化解題步驟呢?

學(xué)生在短暫討論后有了思路.

通過(guò)變式1，學(xué)生掌握了角的簡(jiǎn)單變換，同時(shí)學(xué)生丁提出的方法——整體代換法非常好，一方面方便計(jì)算，另一方面為后面的變式提供了解題方向.

于是筆者又提出了變式2.

與變式1比，變式2的已知未變，但所要求的結(jié)論變了，所求的角變得更加復(fù)雜.

此時(shí)學(xué)生丁又有了想法.

通過(guò)變式1和2，學(xué)生對(duì)角的變換和整體代換兩種常見(jiàn)的解決三角函數(shù)值的方法已經(jīng)基本掌握.

下面可以從知識(shí)點(diǎn)的交匯處進(jìn)行變形和變式.歷年的高考中，三角和向量聯(lián)系得比較緊密，所以筆者又編制了三道與向量相結(jié)合的題目.

這三道題都考查了角的變換，其本質(zhì)就是變式1和變式2的綜合.學(xué)生在仔細(xì)思考后都能迅速、正確地解決.這樣的變式教學(xué)有利于學(xué)生多角度地理解概念，有層次地推進(jìn)數(shù)學(xué)活動(dòng).

本例題考查了角的變換、平移變換等方法，變式之間環(huán)環(huán)相扣、密切相關(guān)，但又不是原來(lái)例題的簡(jiǎn)單重復(fù)——數(shù)字的改變或是背景的更換.張奠宙認(rèn)為,“數(shù)學(xué)的變式教學(xué)就是通過(guò)不同的角度、不同的側(cè)面、不同的背景從多個(gè)方面變更所提供的數(shù)學(xué)對(duì)象的某些內(nèi)涵以及數(shù)學(xué)問(wèn)題的呈現(xiàn)形式,使數(shù)學(xué)內(nèi)容的非本質(zhì)特征時(shí)隱時(shí)現(xiàn)，而本質(zhì)特征保持不變的教學(xué)形式”.

那么，在高三數(shù)學(xué)習(xí)題課變式教學(xué)過(guò)程中，教師要注意哪些問(wèn)題呢？

4.在變化中考查數(shù)學(xué)素養(yǎng)、數(shù)學(xué)本質(zhì)，而不僅僅是數(shù)字的改變,這是數(shù)學(xué)變式的重要因素.由于是高考習(xí)題課中的變式，所以三道變式題都沒(méi)有簡(jiǎn)單地改變某一個(gè)數(shù)字，讓學(xué)生將方法或概念重復(fù)訓(xùn)練，進(jìn)而內(nèi)化,更多的是對(duì)于角的變換這一數(shù)學(xué)本質(zhì)的若干變形.從例題中單角的變換到變式1，2中復(fù)角的變換，再到變式3中平移和周期的變換，都在培養(yǎng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的覺(jué)察能力，以及對(duì)數(shù)學(xué)變形的操作能力.

5.好的變式教學(xué)不是一題多變、一題多解、一法多用、圖形多變,而是要求學(xué)生能夠做到高層次的遷移.所謂高層次的遷移是指思想方法、思維方法、認(rèn)知結(jié)構(gòu)的遷移，教師在備課的過(guò)程中要將這一思想貫穿始終.

對(duì)于能夠達(dá)到教學(xué)目的的變式，筆者稱(chēng)之為“正向的數(shù)學(xué)變式”，但有些變式可能對(duì)教師所要重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)的思想方法會(huì)起到負(fù)面作用，筆者稱(chēng)之為“負(fù)向的數(shù)學(xué)變式”.教師在數(shù)學(xué)習(xí)題課中要盡量避免“負(fù)向的數(shù)學(xué)變式”.

筆者在聽(tīng)課的過(guò)程中曾經(jīng)遇到這樣的例子.

例2已知集合A={x|-1≤x≤5},B={x|2m-1≤x≤2m+1},且B是A的子集，求m的范圍.

學(xué)生很自然地列出如下的式子：

解得結(jié)果為0≤m≤2.

為了強(qiáng)調(diào)子集和真子集的區(qū)別，教師進(jìn)行了這樣的變式.

變式已知集合A={x|-1≤x≤5},B={x|2m-1≤x≤2m+1},且B是A的真子集，求m的范圍.

變式與例2相比就加了一個(gè) “真”字，教師的目的很明確，就是想讓學(xué)生考慮真子集與子集的區(qū)別，真子集時(shí)A不能等于B.

學(xué)生在教師的暗示下，列出了如下的式子：

其實(shí)就是在兩處地方去掉了“等于號(hào)”，因此結(jié)果就變成了0

剛剛講完，一個(gè)學(xué)生就站起來(lái)提出了疑問(wèn)：“當(dāng)m=0或m=2時(shí)，B還是A的真子集.因?yàn)楫?dāng)m=0時(shí)，集合B={x|-1≤x≤1}A，當(dāng)m=2時(shí)，集合B={x|3≤x≤5}A.這是怎么回事？”

由于教師之前并沒(méi)有充分準(zhǔn)備，因此在這個(gè)題目上糾纏了許久，本想通過(guò)這個(gè)變式區(qū)分子集和真子集的初衷也被這個(gè)“不成功”的變式破壞.

我們?nèi)绻麑?duì)問(wèn)題進(jìn)行深入研究的話(huà)就會(huì)發(fā)現(xiàn)，當(dāng)我們?nèi)〉腂集合是一個(gè)區(qū)間長(zhǎng)度確定的集合，B的區(qū)間長(zhǎng)度為(2m+1)-(2m-1)=2，而A的區(qū)間長(zhǎng)度是6，這就意味著：即使B的左(右)端點(diǎn)與A的左(右)端點(diǎn)重合，B也是A的真子集，而不可能等于A.當(dāng)然，教師也可以對(duì)取端點(diǎn)處值的集合進(jìn)行驗(yàn)證，看是否為真子集，也能避免考慮不周.所以，數(shù)學(xué)變式要保證科學(xué)性、目的性.

由于破壞了課堂的目的性，我們把例2的變式稱(chēng)為“負(fù)向的數(shù)學(xué)變式”.

所謂的“負(fù)向的數(shù)學(xué)變式”是指以下這幾類(lèi)數(shù)學(xué)變式.

1.科學(xué)性上存在爭(zhēng)議，或者雖然沒(méi)有科學(xué)性錯(cuò)誤，但存在概念含糊、表述不準(zhǔn)確等問(wèn)題.

2.與原例題沒(méi)有關(guān)系，“貌合神離”.比如，例1主要是圍繞角的變換展開(kāi)的，但如果放一個(gè)關(guān)于解三角形的作為變式，哪怕這個(gè)題目再經(jīng)典，對(duì)于例1來(lái)講都不是好的變式.

3.思維跳躍太大，與例題所培養(yǎng)的數(shù)學(xué)素養(yǎng)相關(guān)性極小.有些變式題表面上看起來(lái)似乎也是例題的延伸，但是細(xì)究起來(lái)，所考查的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)與例題相去甚遠(yuǎn).一方面，教師需要花大量的時(shí)間引導(dǎo)學(xué)生理解，學(xué)生也需要花大量的精力去思考；另一方面，這樣的例題對(duì)于這節(jié)課想要達(dá)成的目標(biāo)沒(méi)有正向作用，有的時(shí)候反而會(huì)起抑制作用，影響課堂目標(biāo)的達(dá)成.

為了課堂教學(xué)目標(biāo)的達(dá)成率更高，教師在上課的過(guò)程中要避免“負(fù)向的數(shù)學(xué)變式”，這就要在上課之前準(zhǔn)備充分，上課遇到問(wèn)題時(shí)要反應(yīng)機(jī)智，妥善處理課堂突發(fā)情況.比如，有時(shí)教師會(huì)在課堂上抄錯(cuò)題目，出現(xiàn)這種情況的時(shí)候，教師要迅速發(fā)現(xiàn)是否有必要將之變成新題.比如筆者在上課的時(shí)候出了這樣一道題：

已知角α和β，它們的和為30°，差為10°，求它們的正弦值.

筆者在做課件的時(shí)候?qū)?0°寫(xiě)成了10，因此原題就變成：

已知角α和β，它們的和為30°，差為10，求它們的正弦值.

題目一打出來(lái)就已經(jīng)發(fā)現(xiàn)錯(cuò)了，本想改過(guò)來(lái)，但略一思考，發(fā)現(xiàn)這確實(shí)是一道新題，于是筆者就叫學(xué)生先自己思考.剛開(kāi)始，學(xué)生也沒(méi)有注意到這里弧度制與角度制的區(qū)別，但經(jīng)過(guò)筆者的暗示，有的學(xué)生開(kāi)始大聲說(shuō)：“不對(duì)，一個(gè)是角度，一個(gè)是弧度.”經(jīng)過(guò)很短的時(shí)間，就有學(xué)生提出了思路.這樣一來(lái)，本來(lái)的一道錯(cuò)題就變成了一道非常好的概念題.當(dāng)然，出現(xiàn)這樣的錯(cuò)誤，你也可以向?qū)W生道歉后把題目改正，但若發(fā)現(xiàn)抄錯(cuò)后的題目又成為一道好的題目，而且需要思維轉(zhuǎn)彎幅度較大，此時(shí)就可以將錯(cuò)就錯(cuò)，臨時(shí)解決這道題目，這樣既可以減少在學(xué)生面前出錯(cuò)的情況，又可以培養(yǎng)學(xué)生的解題應(yīng)變能力，使他們能應(yīng)用基本概念、基本方法解決一般性的問(wèn)題，培養(yǎng)學(xué)生考慮問(wèn)題的周到性.

在平時(shí)的高三復(fù)習(xí)課上，教師可以從一些簡(jiǎn)單的問(wèn)題入手，然后以此為基礎(chǔ)設(shè)計(jì)一些有層次、有梯度、要求明確、題型多變的例題、習(xí)題，訓(xùn)練學(xué)生不斷探索解題方法，對(duì)比解題方法的優(yōu)劣，從而優(yōu)化解題路徑，拓展思維的廣闊性；對(duì)于一些容易混淆的數(shù)學(xué)概念、定理、法則，可以從內(nèi)涵和外延、正面和反面、特殊和一般、本章節(jié)和相關(guān)章節(jié)等各方面進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖兪?，加大課堂容量的同時(shí)，加深學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)概念的理解.相關(guān)性強(qiáng)的變式能促使學(xué)生對(duì)可能遇到的難題做出客觀的評(píng)價(jià)，不斷提升學(xué)生解決難題的能力.變式訓(xùn)練稍有成效后，教師就可以動(dòng)員學(xué)生對(duì)題目進(jìn)行變式拓展——學(xué)生自己出一些題目，或者學(xué)生自己找一些相關(guān)題型，這樣將更加有利于學(xué)生解題能力的提高和數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升.顧泠沅在變式教學(xué)研究中也建議，可以創(chuàng)造性運(yùn)用知識(shí)技能變式，讓學(xué)生自行編擬變式題.

從近年來(lái)高考全國(guó)卷命題的趨勢(shì)來(lái)看，現(xiàn)在的高考著重考查學(xué)生獨(dú)立思考和運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力.考卷對(duì)于學(xué)生思維的廣度、深度的要求有所提高，試題比較注重對(duì)學(xué)生探究能力的考查.為了應(yīng)對(duì)高考，在高考復(fù)習(xí)課中，教師可以通過(guò)對(duì)典型例題和教材中關(guān)鍵性問(wèn)題的探索，引導(dǎo)學(xué)生理解普遍性問(wèn)題，提升學(xué)生解決陌生情境問(wèn)題的能力.

總之，變式教學(xué)操作得當(dāng)將大大提高教學(xué)有效性.