福建莆田市荔城區(qū)第一實驗小學(xué)（351100） 吳荔丹

數(shù)學(xué)是嚴(yán)謹(jǐn)、抽象的，而小學(xué)生則以直觀、形象思維為主，兩者之間的矛盾是影響學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)的主要因素。有些數(shù)學(xué)知識難以理解且復(fù)雜抽象，要化解這些抽象難懂的內(nèi)容，需借助數(shù)學(xué)圖示多元表征（情境圖、實物圖、示意圖、線段圖、表格等），將抽象的數(shù)學(xué)問題生動化、具體化、符號化。那么，如何借助圖示教學(xué)新視角，為提升學(xué)生思維的深度和廣度助力？筆者將結(jié)合教學(xué)實踐，從以下三個方面闡述思考。

一、借圖識數(shù)，理解概念內(nèi)涵

“數(shù)缺形時少直觀”，巧用圖示可化抽象為直觀，再通過分析、綜合等思維活動找出共同屬性，可凸顯概念內(nèi)涵，展示學(xué)生的真問題、真思維，積累真經(jīng)驗、提升真能力。

例如，在教學(xué)人教版三年級上冊“倍的認(rèn)識”一課時，經(jīng)前測分析學(xué)生在學(xué)習(xí)本課之前已具備比較兩個量大小的豐富經(jīng)驗。而本課要學(xué)習(xí)的“倍”是兩個量大小的另一種比法，是學(xué)生第一次認(rèn)識倍的概念，但通過二年級的學(xué)習(xí)，學(xué)生已經(jīng)掌握了乘法中“幾個幾”的意義?；谝陨蠈W(xué)情，明確本課的教學(xué)重點：結(jié)合具體情境讓學(xué)生理解“倍”的意義，在畫圖、觀察、比較、變式、思辨中經(jīng)歷四個層次的數(shù)學(xué)建構(gòu)過程，培養(yǎng)歸納概括和有序、有理表達的能力。

1.第一層次：直觀感知，喚醒經(jīng)驗

師（出示圖1）：將這兩個數(shù)量進行比較，你會怎么比？（大部分學(xué)生想到的是“差比”，即比多、比少）除了比多、比少，還可以怎么說？

圖1

生1：○的個數(shù)是△的3倍。

（這是學(xué)生的前經(jīng)驗，說明對“倍”有一定的認(rèn)知）

師：同意這位同學(xué)觀點的請舉手。

（大部分學(xué)生舉手）

師：你是怎么知道○的個數(shù)是△的3倍的。

生2：因為6÷2=3，所以它們之間是3倍關(guān)系。

生3：我是把2 個△看作1 份，○有這樣的3 份，所以它們之間是3倍關(guān)系。

2.第二層次：數(shù)形結(jié)合，理解概念

師：誰能想辦法讓我們一眼就看出它們的倍數(shù)關(guān)系？

（生4上前板演，如圖2所示）

圖2

師：為什么要2個2個地圈畫？

生4：因為△有2 個，把2 個△看作1 份，○能圈畫出這樣的3份，所以○的個數(shù)就是△的3倍。

師：在圈畫之前，你覺得確定什么很重要？

生（齊）：幾個為1份。

（學(xué)生學(xué)會圈畫圖示后，能用“誰是誰的幾倍”表述倍數(shù)關(guān)系）

3.第三層次：多維變式，深化理解

（1）變比較量

師：如果△個數(shù)不變，再加2 個○，現(xiàn)在○的個數(shù)是△的幾倍？

生（齊）：4倍。

師：誰來說說比較的過程。

生5：2 個△為1 份，○有這樣的4 份，所以○的個數(shù)是△的4倍。

（小結(jié)：2 個△看作1 份，○有幾個這樣的1 份，就是△的幾倍）

（2）變標(biāo)準(zhǔn)量

師：回到圖1，如果○的個數(shù)不變，再加1個△，它們還是3倍的關(guān)系嗎？

生（齊）：不是。

師：是幾倍呢？

生6：如圖3 所示，△變成3 個為1 份，○可以圈畫出這樣的2份，所以○的個數(shù)是△的2倍。

圖3

師：為什么要變成3個3個地圈？

生7：之前的○都是與2個△進行比較，現(xiàn)在是與3個△比較。

生8：比的標(biāo)準(zhǔn)量變了，圈畫的個數(shù)也就變了。

（小結(jié)：如果標(biāo)準(zhǔn)量的份數(shù)發(fā)生了變化，比較量的份數(shù)也隨之變化，那它們之間的倍數(shù)關(guān)系也就發(fā)生了變化）

（3）倍數(shù)不變

師：如果○的個數(shù)總是△的2 倍，它們的個數(shù)還可能是多少呢？

生9：我先畫4 個△，再畫8 個○，8 可以分成2個4，所以○是△的2倍。

生10：我先畫6 個△，再畫12 個○，12 里面有2個6，所以○是△的2倍。

生11：16÷8=2，可以畫8個△和16個○。

師：為什么畫的○和△的個數(shù)不相同，○的個數(shù)卻都是△的2倍？

（發(fā)現(xiàn)：不管1 份的量的個數(shù)有幾個，只要有這樣的幾份，就是它的幾倍）

4.第四層次：逐步抽象，建構(gòu)模型

（1）圖形抽象

師：如果我們把這樣的1 份△用直條表示，○可以用幾個這樣的直條來表示？

生12：○有這樣的2 份，用2 個直條來表示（如圖4所示）。

圖4

師：如果沒有圖形和數(shù)字，還能看出它們是2倍的關(guān)系嗎？

生13：可以從直條的長度進行判斷。

師：如果給直條“瘦身”，想象一下，會變成什么？

生（齊）：線段圖。（教師出示圖5）

圖5

（2）數(shù)學(xué)抽象

師：如果1 段代表5 朵紅花，那2 段表示幾朵紅花？

生14：1段有5朵，2段有2個5，即10朵紅花。

師：有這樣的8段，表示有幾朵紅花？

生（齊）：40朵紅花。

師：若3段表示18瓶果汁，1段表示幾瓶？

生（齊）：18÷3=6，表示6瓶。

上述教學(xué)中，教師基于學(xué)生已有經(jīng)驗和認(rèn)知基礎(chǔ)，準(zhǔn)確把握知識本源，精心設(shè)計教學(xué)活動，引導(dǎo)學(xué)生展開深度對話，直指“倍”的概念本質(zhì)。當(dāng)學(xué)生在數(shù)學(xué)概念認(rèn)識上遇到困難時，教師要善于借助圖示展開教學(xué)，將抽象的“數(shù)”轉(zhuǎn)化為直觀的“形”，精心設(shè)計問題串，讓學(xué)生依托對“形”的直觀表征和可視感知，積累豐富的學(xué)習(xí)體驗，實現(xiàn)有效的數(shù)學(xué)建構(gòu)。

二、據(jù)圖明理，厘清算理本質(zhì)

計算在小學(xué)階段占比很大。對于以直觀認(rèn)識、直觀理解為主的小學(xué)生來說，厘清算理是困難的。結(jié)合圖示教學(xué)，讓學(xué)生借助直觀圖形來說算理，可使抽象的算理變得具體化。

例如，在教學(xué)人教版二年級上冊兩位數(shù)加兩位數(shù)（進位加）的知識點時，課始出示主題圖，呈現(xiàn)學(xué)生熟悉的“參觀博物館”情境，引導(dǎo)學(xué)生提出“二（1）班和二（3）班一共有多少名學(xué)生？”的數(shù)學(xué)問題，列出算式后，再聚焦35+37 怎么算。解決這個問題的關(guān)鍵在于理解“相同數(shù)位對齊”和“滿十進1”。

教學(xué)時，結(jié)合小棒（如圖6 所示），學(xué)生通過操作將1 根與1 根的小棒對齊、相加，10 根小棒捆成1捆，1捆與1捆的小棒對齊再相加的活動，融合豎式對應(yīng)理解“相同數(shù)位對齊”；通過操作“12 根小棒相加滿10 根，把10 根小棒換成1 捆小棒”的過程，理解“個位上滿十，向十位進1”。通過呈現(xiàn)小棒圖示，架構(gòu)起“個位與個位對齊，十位與十位對齊”的豎式模型，有效幫助學(xué)生厘清“滿十進1”的算理。

圖6

上述教學(xué)方法把新知與已有的口算聯(lián)系在一起進行溝通，學(xué)生在理解“個位和個位對齊”的同時，又清楚地掌握豎式計算要從個位加起的計算順序，建構(gòu)了“滿十進1”算理的數(shù)學(xué)模型，有效地搭建起算法和算理之間的關(guān)系橋梁，實現(xiàn)了“圖”與“式”的統(tǒng)一，“理”與“法”的相融。

三、畫圖促思，提升解題能力

在解決問題教學(xué)中，學(xué)生經(jīng)常對一些錯綜復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系不理解。如果在解題過程中，能借用圖示這個“腳手架”來幫助學(xué)生觀察、分析和推理，可便于學(xué)生從復(fù)雜的信息中抽取出隱性的數(shù)學(xué)信息，將其轉(zhuǎn)化為顯性的數(shù)學(xué)條件來厘清思路、分析數(shù)量關(guān)系，進而找到解決問題的策略。

例如，在教學(xué)人教版一年級上冊認(rèn)識左右的知識點時，課后出示一道題：一（1）班學(xué)生排隊，小明的右邊有5人，左邊有6人，這一隊一共有幾人？根據(jù)低年級學(xué)生的年齡特點，通常只能看到題目中的顯性條件，很難發(fā)現(xiàn)隱性條件。

教師先讓學(xué)生直接列式，結(jié)果很多學(xué)生這樣列式：5+6=11（人）。接著，教師追問：“這一隊有幾人呢？為什么？數(shù)學(xué)是講道理的。請試一試用畫圖的方式，把算式的道理表示出來。”學(xué)生獨立畫圖后，教師展示學(xué)生的說理作品，并引導(dǎo)交流。學(xué)生畫完圖后恍然大悟，并能結(jié)合自己畫的示意圖分析錯誤原因：原來是漏了加上小明本身。

張丹教授認(rèn)為，畫圖是一種解決問題的策略，我們要尊重學(xué)生的個性特點，因材施教，鼓勵學(xué)生畫出富有個性的實物圖、示意圖、線段圖、表格等多種多樣的形式，因需所畫，才能真正有效幫助學(xué)生解決問題。上述教學(xué)中，教師通過讓學(xué)生畫圖，既突破了認(rèn)識左右的教學(xué)難點，又讓學(xué)生借圖思辨，在說理中把易錯的知識學(xué)得明白，把隱形的道理說得通透，對數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解也水到渠成，提高了數(shù)學(xué)思維的深刻性。

又如，解決問題：新區(qū)小學(xué)五（2）班的圖書柜有4 層，其中第3 層和第4 層一共有180 本書，如果從第4 層拿15 本放在第3 層，那么第4 層的本數(shù)就是第3 層的第3 層和第4 層原來分別有多少本書？學(xué)生根據(jù)情境試著自己畫出線段圖（如圖7 所示），根據(jù)線段圖，有學(xué)生很快找到了解題方法：第3 層和第4層一共有180本書、現(xiàn)在第4層的本數(shù)是第3層的可以先求第3 層現(xiàn)在有180÷（1+（本），再求第3 層原來有120-15=105（本），最后求第4 層原來有還有學(xué)生根據(jù)線段圖列出方程：把第3層現(xiàn)在的本數(shù)設(shè)為180，x=120，第3 層原來有120-15=105（本），第4 層原來有也可以把第4 層現(xiàn)在的本數(shù)設(shè)為第4層原來有60+15=75（本），第3層原來有

圖7

由此可見，借助線段圖“化數(shù)為形”，學(xué)生可把文字語言轉(zhuǎn)化為圖示語言，通過對比辨析，教師順?biāo)级鴮?dǎo)，學(xué)生一題多解，積累了豐富的解題策略，培養(yǎng)了學(xué)生的分析能力和綜合能力，實現(xiàn)教師的“教”與學(xué)生的“學(xué)”的相互切換。

總之，數(shù)學(xué)圖示雖簡單，但鮮明、清晰，實用性強。巧用、善用、妙用數(shù)學(xué)圖示進行數(shù)學(xué)教學(xué)，能有效地梳理并構(gòu)建知識體系，發(fā)展學(xué)生的直覺思維，發(fā)揮圖示的教學(xué)潛能，促進學(xué)生的思維可視化、學(xué)習(xí)深度化，真正為學(xué)生的認(rèn)知生長形成一片“開闊地”，為能力提升備一部“手扶梯”，為思維拓展構(gòu)一張“聯(lián)結(jié)圖”，有效發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。