湯亮 朱慧博 王志超 卞利

摘要：為了讓應(yīng)用型本科院校的學(xué)生更好地學(xué)習(xí)離散數(shù)學(xué)這門重要的專業(yè)基礎(chǔ)課，針對(duì)此門課程內(nèi)容抽象、知識(shí)點(diǎn)繁多以及很難應(yīng)用到實(shí)際等問題，文章以深度學(xué)習(xí)的諸多要素作為教學(xué)的目標(biāo)與指導(dǎo)方針，對(duì)離散數(shù)學(xué)的教與學(xué)方面進(jìn)行探索與研究，提出以深度學(xué)習(xí)為指導(dǎo)思想的教學(xué)手段與教學(xué)方法。實(shí)踐表明這些方法與手段在實(shí)際的教學(xué)過程中提高了學(xué)生對(duì)該課知識(shí)點(diǎn)的掌握程度和解決問題的能力。

關(guān)鍵詞：離散數(shù)學(xué);深度學(xué)習(xí);專業(yè)課程;教學(xué)方法

中圖分類號(hào)：G642? ? ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1009-3044（2022）01-0163-02

離散數(shù)學(xué)是計(jì)算機(jī)相關(guān)專業(yè)的一門核心課程，也是眾多計(jì)算機(jī)相關(guān)專業(yè)的重點(diǎn)專業(yè)考試課程之一，在整個(gè)計(jì)算機(jī)本科教學(xué)課程體系中起著承上啟下的作用。學(xué)習(xí)離散數(shù)學(xué)的目的在于培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維和歸納構(gòu)造等能力，提高學(xué)生利用數(shù)學(xué)方法解決問題的技能，以及為后續(xù)課程奠定堅(jiān)實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。但該課程概念龐雜、理論抽象，鑒于此，一種比較合理有效的教學(xué)方法是非常必要的。深度學(xué)習(xí)作為一種高階思維，能夠主動(dòng)地進(jìn)行知識(shí)構(gòu)建、有效地知識(shí)遷移及其實(shí)際問題的解決方法[1]。教師的教學(xué)設(shè)計(jì)活動(dòng)對(duì)學(xué)生的深度學(xué)習(xí)有著潛移默化的影響[2]。本文提出了將深度學(xué)習(xí)思想與離散數(shù)學(xué)的教學(xué)相結(jié)合，從多個(gè)角度將深度學(xué)習(xí)融入離散數(shù)學(xué)的教學(xué)當(dāng)中。

1 離散數(shù)學(xué)教學(xué)現(xiàn)狀分析

離散數(shù)學(xué)作為一門計(jì)算機(jī)專業(yè)基礎(chǔ)課程已經(jīng)列到計(jì)算機(jī)相關(guān)專業(yè)很多年，有了較為完整的教學(xué)大綱與目標(biāo)設(shè)計(jì)。但是目前仍然在教學(xué)過程中存在一些問題：1）學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中看不到本課程與其他課程之間的關(guān)聯(lián)，很多的同學(xué)認(rèn)為這是門課是個(gè)“孤島”;2）很多同學(xué)認(rèn)為不僅在課程體系內(nèi)好像是獨(dú)立的，而且就其內(nèi)部的章節(jié)來講也是“離散”的;3）該課程教學(xué)中理論講解居多，與實(shí)際問題相脫節(jié)。上述的教學(xué)現(xiàn)狀存在的問題，導(dǎo)致了離散數(shù)學(xué)在計(jì)算機(jī)課程體系中的地位有所觸動(dòng)。就以上問題，本文采用深度學(xué)習(xí)的要素與離散數(shù)學(xué)教學(xué)相結(jié)合，進(jìn)一步促進(jìn)離散數(shù)學(xué)的教與學(xué)的良性循環(huán)關(guān)系。

2 深度學(xué)習(xí)在離散數(shù)學(xué)教學(xué)方面的具體應(yīng)用

2.1 明確教學(xué)目標(biāo)

天資聰慧的學(xué)生也可能學(xué)業(yè)上不如能力稍差的學(xué)生，這是件很常見的事情。這是以前的只關(guān)心學(xué)習(xí)方法的研究者容易忽視的地方。在20世紀(jì)90年代教育心理學(xué)家才開始認(rèn)識(shí)到目標(biāo)在學(xué)習(xí)中的重要性[3]。由應(yīng)用型本科院校的定位可知，培養(yǎng)的人才應(yīng)該有達(dá)到一定程度的知識(shí)與能力，以達(dá)到能夠勝任生產(chǎn)、管理、建立等一線工作崗位的要求。所以應(yīng)用型本科院校應(yīng)將自己的辦學(xué)類型定位為教學(xué)型、應(yīng)用型、地方性[4-6]。在學(xué)校的類型定位下，對(duì)我們的課程的目標(biāo)具體定位是能夠熟練地用數(shù)學(xué)語言描述元素之間的關(guān)系和結(jié)構(gòu)，并能熟練掌握邏輯推理方法，了解群、格和圖論的重要定理的證明。由此可以看出此門課程中用于描述的數(shù)學(xué)知識(shí)是關(guān)鍵，重要理論的證明的思想方法是重點(diǎn)，程序具體實(shí)現(xiàn)方法為了解。由此突出了該課程的主要目標(biāo)。

2.2 強(qiáng)調(diào)知識(shí)之間的聯(lián)系

1）加強(qiáng)與專業(yè)課內(nèi)容之間的聯(lián)系

深度學(xué)習(xí)更強(qiáng)調(diào)新知識(shí)與原有知識(shí)之間的關(guān)聯(lián)，而淺層學(xué)習(xí)只關(guān)注各個(gè)零碎的知識(shí)點(diǎn)[7]。因?yàn)殡x散數(shù)學(xué)它是專業(yè)課的理論基礎(chǔ)，那么只是單純地講解理論的原理就會(huì)讓學(xué)生們有種找不到與計(jì)算機(jī)專業(yè)知識(shí)的聯(lián)系。比如在講解這部分內(nèi)容時(shí)候，要從計(jì)算機(jī)編程的角度來體現(xiàn)集合的各種運(yùn)算。首先提出了集合在計(jì)算機(jī)中的“位串”表示，因?yàn)槲淮褪且粋€(gè)0或1的二進(jìn)制串，所以集合的各種運(yùn)算均轉(zhuǎn)化為對(duì)位串的各種邏輯非、邏輯或、邏輯異、邏輯與等等。又比如，在講解樹的深度與廣度搜索的時(shí)候，不能單純地從數(shù)學(xué)角度來說明這個(gè)思想，可以從深度搜索的偽代碼中直接體現(xiàn)該搜索的過程。采用這種方法，不僅在學(xué)習(xí)離散數(shù)學(xué)的時(shí)候?qū)W到了各種搜索的思想方法，而且還為像數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)、算法設(shè)計(jì)這類課程中的代碼實(shí)現(xiàn)提供了更直接的關(guān)聯(lián)。

2）突出重點(diǎn)，讓知識(shí)點(diǎn)間的關(guān)系更清晰

深度學(xué)習(xí)關(guān)注的是課程當(dāng)中的核心的思想與概念，而淺層學(xué)習(xí)只關(guān)注解決問題所需要的公式和外在線索[5]。由于離散數(shù)學(xué)課程當(dāng)中涉及的概念非常多，如果在課程上過多地講述概念，那么學(xué)生自然會(huì)感覺到這門的理論性過強(qiáng)、單調(diào)乏味。比如在講到圖論方面的內(nèi)容時(shí)可以在講解這些定理的時(shí)候再提及，這樣學(xué)生就會(huì)把他們的注意力集中到該關(guān)注的內(nèi)容。比如在耿素云和屈婉玲所著的第五版的《離散數(shù)學(xué)》中的“無向圖及有向圖”這一小節(jié)中[8]，主要是讓學(xué)生理解握手定理及其推論，而這里只提到了頂點(diǎn)的度與邊的概念，那么在定理之前的諸如關(guān)聯(lián)、相鄰、始點(diǎn)、終點(diǎn)、懸掛頂點(diǎn)、懸掛邊等概念就可以直接提及并說出大致的含義即可。由此，學(xué)生的關(guān)注點(diǎn)就會(huì)相對(duì)地集中，以便同學(xué)能夠更容易地建立所學(xué)知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系。

2.3 從抽象到具體，具體再到抽象，提升理解能力

不僅僅是比格斯，恩物威斯特爾以及瑞典的馬頓和薩爾喬都認(rèn)為深度學(xué)習(xí)不是為了簡(jiǎn)單地識(shí)記，而是為了獲得更深層的理解，以達(dá)到真正意義上的知識(shí)點(diǎn)的掌握[9]。離散數(shù)學(xué)與其他的數(shù)學(xué)學(xué)科有所不同，需要對(duì)教材中的定義與定理理解的情況下去證明某些結(jié)論。這就要求同學(xué)們對(duì)定理及定義的理解的程度需要更加地深入。對(duì)于數(shù)學(xué)中的概念首先要熟悉它的定義方式，而這種定義通常是比較抽象的數(shù)學(xué)公式。此時(shí)可以通過實(shí)例與聯(lián)系生活加以對(duì)概念的理解。比如等價(jià)關(guān)系的概念：假設(shè)R為A中的等價(jià)關(guān)系，而x為A中的元素，則x的等價(jià)類可以用數(shù)學(xué)公式描述為：[x]R={y|<x，y>∈R}。這種形式對(duì)于初學(xué)者看起來還是比較抽象的，但是通過朋友圈的例子就會(huì)很容易理解。可以把[x]看成x的“朋友圈”，即所有與x為朋友關(guān)系的人構(gòu)成的集合。由這個(gè)具體的概念理解后，再回到原來的數(shù)學(xué)定義那么就更加容易理解這個(gè)較為抽象的公式。

2.4 強(qiáng)化建模思想，提升解決實(shí)際問題能力

最早定義深度學(xué)習(xí)的兩個(gè)中國(guó)人是何玲與黎加厚，他們強(qiáng)調(diào)深度學(xué)習(xí)是將已有的知識(shí)遷移到全新的情境當(dāng)中來解決實(shí)際的問題[4]。離散數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)也不例外，開設(shè)離散數(shù)學(xué)的一個(gè)主要的主要目的是能夠應(yīng)用所學(xué)的內(nèi)容使用計(jì)算機(jī)解決實(shí)際的問題。但是實(shí)際問題與計(jì)算機(jī)之間還有個(gè)數(shù)學(xué)建模的過程，所以對(duì)學(xué)生的建模能力的培養(yǎng)是非常關(guān)鍵的[10]。所以在講解案例的時(shí)候，盡量讓同學(xué)思考解決問題的方法而不是就事論事。在講解旋轉(zhuǎn)磁鼓扇區(qū)識(shí)別問題時(shí)[11]，首先應(yīng)該考慮該問題中的變化因素與不變因素。把不變的因素看成問題的狀態(tài)，把變化的因素看成狀態(tài)的轉(zhuǎn)移條件。因?yàn)槊總€(gè)狀態(tài)有三個(gè)二進(jìn)位表示，而一個(gè)狀態(tài)的前兩位決定它的下一個(gè)狀態(tài)可以進(jìn)入哪些狀態(tài)，所以前兩位可以看成相對(duì)固定的量，那么總共有4個(gè)結(jié)點(diǎn)，分別為00、01、10和11。如果當(dāng)前狀態(tài)為00，那么下一個(gè)狀態(tài)就為000的前兩位00或001的后兩位01，這樣畫出來的狀態(tài)轉(zhuǎn)換圖如圖1所示。

其實(shí)，除了書上的這種方法之外，更容易想到的是8個(gè)狀態(tài)——從000到111，再按照這些狀態(tài)轉(zhuǎn)移條件可以得到圖2所示的圖形。由此可知，不僅要理解書上的內(nèi)容，更要搞清問題所蘊(yùn)含的思想方法，方能自如地使用所學(xué)的方法解決實(shí)際的問題。

3 結(jié)束語

通過上述的教學(xué)方法與教學(xué)手段的改進(jìn)，學(xué)生對(duì)所學(xué)內(nèi)容較之前明顯有了更加深入地理解，課堂的氣氛也更加地活躍，學(xué)生的及格率有了普遍的提高;從而對(duì)后序課程-數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)、編譯原理、數(shù)據(jù)庫(kù)原理等課程有很大的幫助，基本達(dá)到了課程教學(xué)改革的目標(biāo)。今后，我們還要一如既往地繼續(xù)貫徹已有成果，并且需要不斷地探索新的思路與方法，以便讓同學(xué)們更深入地理解計(jì)算機(jī)專業(yè)相關(guān)課程。

參考文獻(xiàn)：

[1] 陳媛媛.應(yīng)用型本科高校離散數(shù)學(xué)教學(xué)探索與研究[J].科教導(dǎo)刊，2018（8）：112-113.

[2] 劉玉珍，朱萍，李雄，等.吸引學(xué)習(xí)興趣的離散數(shù)學(xué)教學(xué)方法設(shè)計(jì)[J].教學(xué)現(xiàn)代化，2018（31）：177-178.

[3] 尹寶才，王文通，王立春.深度學(xué)習(xí)研究綜述[J].北京工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)，2015（1）：48-59.

[4] 孔令英，王博，盛廣棟.基于“深度學(xué)習(xí)”視角的高校課堂教學(xué)效率提升研究[J].教育現(xiàn)代化，2016（4）：117-118.

[5] Heikkil? A，Lonka K.Studying in higher education： students' approaches to learning， self-regulation， and cognitive strategies[J].Studies in Higher Education，2006，31（1）：99-117.

[6] 劉露.應(yīng)用型本科院校辦學(xué)定位研究[J].中國(guó)農(nóng)村教育，2018（10）：8.

[7] 張浩，吳秀娟.深度學(xué)習(xí)的內(nèi)涵及認(rèn)知理論基礎(chǔ)探析[J].中國(guó)電化教育，2012（10）：7-11.

[8] 耿素云，屈婉玲，張立昂.離散數(shù)學(xué)[M].5版.北京：清華大學(xué)出版社，2013.

[9] 呂林海.大學(xué)生深層學(xué)習(xí)的基本特征、影響因素及促進(jìn)策略[J].中國(guó)大學(xué)教學(xué)，2016（11）：7.

[10] 汪慧玲.數(shù)學(xué)建模大賽對(duì)高職院校學(xué)生創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)能力培養(yǎng)的研究[J].現(xiàn)代職業(yè)教育，2017（18）：19-21.

[11] 謝勝利.離散數(shù)學(xué)基礎(chǔ)[M].北京：清華大學(xué)出版社，2016.

【通聯(lián)編輯：王力】

收稿日期：2021-07-20

基金項(xiàng)目：2018年宿遷學(xué)院教改項(xiàng)目（項(xiàng)目編號(hào)：sqc2018jg19）;江蘇省教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃2018年度課題“‘MES+SPOC’在面向?qū)I(yè)需求的電子技術(shù)類課程中的研究與實(shí)踐”（C-c/2018/01/04）

作者簡(jiǎn)介：湯亮（1978—），男，江蘇宿遷人，講師，碩士，研究方向?yàn)樽顑?yōu)化理論、機(jī)器學(xué)習(xí)、嵌入式系統(tǒng)設(shè)計(jì);朱慧博（1978—），女，江蘇宿遷人，副教授，碩士，研究方向?yàn)閿?shù)字電路設(shè)計(jì)、機(jī)器學(xué)習(xí)、嵌入式系統(tǒng)設(shè)計(jì);王志超（1975—），男，江蘇宿遷人，副教授，碩士，研究方向?yàn)槲锫?lián)網(wǎng)、網(wǎng)絡(luò)協(xié)議、嵌入式系統(tǒng)設(shè)計(jì);卞利（1983—），男，江蘇宿遷人，講師，碩士，研究方向?yàn)槲锫?lián)網(wǎng)、智能算法、嵌入式系統(tǒng)設(shè)計(jì)。

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