湯亮 朱慧博 王志超 卞利

摘要：為了讓應(yīng)用型本科院校的學(xué)生更好地學(xué)習(xí)離散數(shù)學(xué)這門重要的專業(yè)基礎(chǔ)課，針對此門課程內(nèi)容抽象、知識點繁多以及很難應(yīng)用到實際等問題，文章以深度學(xué)習(xí)的諸多要素作為教學(xué)的目標(biāo)與指導(dǎo)方針，對離散數(shù)學(xué)的教與學(xué)方面進行探索與研究，提出以深度學(xué)習(xí)為指導(dǎo)思想的教學(xué)手段與教學(xué)方法。實踐表明這些方法與手段在實際的教學(xué)過程中提高了學(xué)生對該課知識點的掌握程度和解決問題的能力。

關(guān)鍵詞：離散數(shù)學(xué);深度學(xué)習(xí);專業(yè)課程;教學(xué)方法

中圖分類號：G642? ? ? ? 文獻標(biāo)識碼：A

文章編號：1009-3044（2022）01-0163-02

離散數(shù)學(xué)是計算機相關(guān)專業(yè)的一門核心課程，也是眾多計算機相關(guān)專業(yè)的重點專業(yè)考試課程之一，在整個計算機本科教學(xué)課程體系中起著承上啟下的作用。學(xué)習(xí)離散數(shù)學(xué)的目的在于培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維和歸納構(gòu)造等能力，提高學(xué)生利用數(shù)學(xué)方法解決問題的技能，以及為后續(xù)課程奠定堅實的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。但該課程概念龐雜、理論抽象，鑒于此，一種比較合理有效的教學(xué)方法是非常必要的。深度學(xué)習(xí)作為一種高階思維，能夠主動地進行知識構(gòu)建、有效地知識遷移及其實際問題的解決方法[1]。教師的教學(xué)設(shè)計活動對學(xué)生的深度學(xué)習(xí)有著潛移默化的影響[2]。本文提出了將深度學(xué)習(xí)思想與離散數(shù)學(xué)的教學(xué)相結(jié)合，從多個角度將深度學(xué)習(xí)融入離散數(shù)學(xué)的教學(xué)當(dāng)中。

1 離散數(shù)學(xué)教學(xué)現(xiàn)狀分析

離散數(shù)學(xué)作為一門計算機專業(yè)基礎(chǔ)課程已經(jīng)列到計算機相關(guān)專業(yè)很多年，有了較為完整的教學(xué)大綱與目標(biāo)設(shè)計。但是目前仍然在教學(xué)過程中存在一些問題：1）學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中看不到本課程與其他課程之間的關(guān)聯(lián)，很多的同學(xué)認為這是門課是個“孤島”;2）很多同學(xué)認為不僅在課程體系內(nèi)好像是獨立的，而且就其內(nèi)部的章節(jié)來講也是“離散”的;3）該課程教學(xué)中理論講解居多，與實際問題相脫節(jié)。上述的教學(xué)現(xiàn)狀存在的問題，導(dǎo)致了離散數(shù)學(xué)在計算機課程體系中的地位有所觸動。就以上問題，本文采用深度學(xué)習(xí)的要素與離散數(shù)學(xué)教學(xué)相結(jié)合，進一步促進離散數(shù)學(xué)的教與學(xué)的良性循環(huán)關(guān)系。

2 深度學(xué)習(xí)在離散數(shù)學(xué)教學(xué)方面的具體應(yīng)用

2.1 明確教學(xué)目標(biāo)

天資聰慧的學(xué)生也可能學(xué)業(yè)上不如能力稍差的學(xué)生，這是件很常見的事情。這是以前的只關(guān)心學(xué)習(xí)方法的研究者容易忽視的地方。在20世紀(jì)90年代教育心理學(xué)家才開始認識到目標(biāo)在學(xué)習(xí)中的重要性[3]。由應(yīng)用型本科院校的定位可知，培養(yǎng)的人才應(yīng)該有達到一定程度的知識與能力，以達到能夠勝任生產(chǎn)、管理、建立等一線工作崗位的要求。所以應(yīng)用型本科院校應(yīng)將自己的辦學(xué)類型定位為教學(xué)型、應(yīng)用型、地方性[4-6]。在學(xué)校的類型定位下，對我們的課程的目標(biāo)具體定位是能夠熟練地用數(shù)學(xué)語言描述元素之間的關(guān)系和結(jié)構(gòu)，并能熟練掌握邏輯推理方法，了解群、格和圖論的重要定理的證明。由此可以看出此門課程中用于描述的數(shù)學(xué)知識是關(guān)鍵，重要理論的證明的思想方法是重點，程序具體實現(xiàn)方法為了解。由此突出了該課程的主要目標(biāo)。

2.2 強調(diào)知識之間的聯(lián)系

1）加強與專業(yè)課內(nèi)容之間的聯(lián)系

深度學(xué)習(xí)更強調(diào)新知識與原有知識之間的關(guān)聯(lián)，而淺層學(xué)習(xí)只關(guān)注各個零碎的知識點[7]。因為離散數(shù)學(xué)它是專業(yè)課的理論基礎(chǔ)，那么只是單純地講解理論的原理就會讓學(xué)生們有種找不到與計算機專業(yè)知識的聯(lián)系。比如在講解這部分內(nèi)容時候，要從計算機編程的角度來體現(xiàn)集合的各種運算。首先提出了集合在計算機中的“位串”表示，因為位串就是一個0或1的二進制串，所以集合的各種運算均轉(zhuǎn)化為對位串的各種邏輯非、邏輯或、邏輯異、邏輯與等等。又比如，在講解樹的深度與廣度搜索的時候，不能單純地從數(shù)學(xué)角度來說明這個思想，可以從深度搜索的偽代碼中直接體現(xiàn)該搜索的過程。采用這種方法，不僅在學(xué)習(xí)離散數(shù)學(xué)的時候?qū)W到了各種搜索的思想方法，而且還為像數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)、算法設(shè)計這類課程中的代碼實現(xiàn)提供了更直接的關(guān)聯(lián)。

2）突出重點，讓知識點間的關(guān)系更清晰

深度學(xué)習(xí)關(guān)注的是課程當(dāng)中的核心的思想與概念，而淺層學(xué)習(xí)只關(guān)注解決問題所需要的公式和外在線索[5]。由于離散數(shù)學(xué)課程當(dāng)中涉及的概念非常多，如果在課程上過多地講述概念，那么學(xué)生自然會感覺到這門的理論性過強、單調(diào)乏味。比如在講到圖論方面的內(nèi)容時可以在講解這些定理的時候再提及，這樣學(xué)生就會把他們的注意力集中到該關(guān)注的內(nèi)容。比如在耿素云和屈婉玲所著的第五版的《離散數(shù)學(xué)》中的“無向圖及有向圖”這一小節(jié)中[8]，主要是讓學(xué)生理解握手定理及其推論，而這里只提到了頂點的度與邊的概念，那么在定理之前的諸如關(guān)聯(lián)、相鄰、始點、終點、懸掛頂點、懸掛邊等概念就可以直接提及并說出大致的含義即可。由此，學(xué)生的關(guān)注點就會相對地集中，以便同學(xué)能夠更容易地建立所學(xué)知識點之間的聯(lián)系。

2.3 從抽象到具體，具體再到抽象，提升理解能力

不僅僅是比格斯，恩物威斯特爾以及瑞典的馬頓和薩爾喬都認為深度學(xué)習(xí)不是為了簡單地識記，而是為了獲得更深層的理解，以達到真正意義上的知識點的掌握[9]。離散數(shù)學(xué)與其他的數(shù)學(xué)學(xué)科有所不同，需要對教材中的定義與定理理解的情況下去證明某些結(jié)論。這就要求同學(xué)們對定理及定義的理解的程度需要更加地深入。對于數(shù)學(xué)中的概念首先要熟悉它的定義方式，而這種定義通常是比較抽象的數(shù)學(xué)公式。此時可以通過實例與聯(lián)系生活加以對概念的理解。比如等價關(guān)系的概念：假設(shè)R為A中的等價關(guān)系，而x為A中的元素，則x的等價類可以用數(shù)學(xué)公式描述為：[x]R={y|<x，y>∈R}。這種形式對于初學(xué)者看起來還是比較抽象的，但是通過朋友圈的例子就會很容易理解?？梢园裑x]看成x的“朋友圈”，即所有與x為朋友關(guān)系的人構(gòu)成的集合。由這個具體的概念理解后，再回到原來的數(shù)學(xué)定義那么就更加容易理解這個較為抽象的公式。

2.4 強化建模思想，提升解決實際問題能力

最早定義深度學(xué)習(xí)的兩個中國人是何玲與黎加厚，他們強調(diào)深度學(xué)習(xí)是將已有的知識遷移到全新的情境當(dāng)中來解決實際的問題[4]。離散數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)也不例外，開設(shè)離散數(shù)學(xué)的一個主要的主要目的是能夠應(yīng)用所學(xué)的內(nèi)容使用計算機解決實際的問題。但是實際問題與計算機之間還有個數(shù)學(xué)建模的過程，所以對學(xué)生的建模能力的培養(yǎng)是非常關(guān)鍵的[10]。所以在講解案例的時候，盡量讓同學(xué)思考解決問題的方法而不是就事論事。在講解旋轉(zhuǎn)磁鼓扇區(qū)識別問題時[11]，首先應(yīng)該考慮該問題中的變化因素與不變因素。把不變的因素看成問題的狀態(tài)，把變化的因素看成狀態(tài)的轉(zhuǎn)移條件。因為每個狀態(tài)有三個二進位表示，而一個狀態(tài)的前兩位決定它的下一個狀態(tài)可以進入哪些狀態(tài)，所以前兩位可以看成相對固定的量，那么總共有4個結(jié)點，分別為00、01、10和11。如果當(dāng)前狀態(tài)為00，那么下一個狀態(tài)就為000的前兩位00或001的后兩位01，這樣畫出來的狀態(tài)轉(zhuǎn)換圖如圖1所示。

其實，除了書上的這種方法之外，更容易想到的是8個狀態(tài)——從000到111，再按照這些狀態(tài)轉(zhuǎn)移條件可以得到圖2所示的圖形。由此可知，不僅要理解書上的內(nèi)容，更要搞清問題所蘊含的思想方法，方能自如地使用所學(xué)的方法解決實際的問題。

3 結(jié)束語

通過上述的教學(xué)方法與教學(xué)手段的改進，學(xué)生對所學(xué)內(nèi)容較之前明顯有了更加深入地理解，課堂的氣氛也更加地活躍，學(xué)生的及格率有了普遍的提高;從而對后序課程-數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)、編譯原理、數(shù)據(jù)庫原理等課程有很大的幫助，基本達到了課程教學(xué)改革的目標(biāo)。今后，我們還要一如既往地繼續(xù)貫徹已有成果，并且需要不斷地探索新的思路與方法，以便讓同學(xué)們更深入地理解計算機專業(yè)相關(guān)課程。

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[11] 謝勝利.離散數(shù)學(xué)基礎(chǔ)[M].北京：清華大學(xué)出版社，2016.

【通聯(lián)編輯：王力】

收稿日期：2021-07-20

基金項目：2018年宿遷學(xué)院教改項目（項目編號：sqc2018jg19）;江蘇省教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃2018年度課題“‘MES+SPOC’在面向?qū)I(yè)需求的電子技術(shù)類課程中的研究與實踐”（C-c/2018/01/04）

作者簡介：湯亮（1978—），男，江蘇宿遷人，講師，碩士，研究方向為最優(yōu)化理論、機器學(xué)習(xí)、嵌入式系統(tǒng)設(shè)計;朱慧博（1978—），女，江蘇宿遷人，副教授，碩士，研究方向為數(shù)字電路設(shè)計、機器學(xué)習(xí)、嵌入式系統(tǒng)設(shè)計;王志超（1975—），男，江蘇宿遷人，副教授，碩士，研究方向為物聯(lián)網(wǎng)、網(wǎng)絡(luò)協(xié)議、嵌入式系統(tǒng)設(shè)計;卞利（1983—），男，江蘇宿遷人，講師，碩士，研究方向為物聯(lián)網(wǎng)、智能算法、嵌入式系統(tǒng)設(shè)計。

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