蔣小芬

［摘 要］數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)當(dāng)注重?cái)?shù)學(xué)模型的建構(gòu)。通過“精選問題，挖掘建模素材”“緊扣思維，推進(jìn)建模進(jìn)程”“與‘實(shí)俱進(jìn)，延伸模型實(shí)踐”三個途徑，幫助學(xué)生掌握建構(gòu)數(shù)學(xué)模型的方法，從而強(qiáng)化學(xué)生模型意識的培養(yǎng)，使學(xué)生養(yǎng)成以數(shù)學(xué)視角看待現(xiàn)實(shí)問題的習(xí)慣。

［關(guān)鍵詞］模型建構(gòu)；模型意識；建構(gòu)策略

［中圖分類號］ G623.5［文獻(xiàn)標(biāo)識碼］ A［文章編號］ 1007-9068（2022）35-0011-03

小學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)要著重關(guān)注模型意識，而經(jīng)歷模型建構(gòu)的過程才能強(qiáng)化模型意識的培養(yǎng)。

模型建構(gòu)可以從學(xué)生熟悉的生活和已有的經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，引導(dǎo)他們將實(shí)際問題初步抽象成數(shù)學(xué)模型并加以解釋與運(yùn)用。經(jīng)歷模型建構(gòu)過程，學(xué)生將感悟數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)世界的密切聯(lián)系，學(xué)會用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界；針對或參照某種事物系統(tǒng)的特征或數(shù)量依存關(guān)系，進(jìn)行分析、抽象、簡化，提煉數(shù)學(xué)本質(zhì)特征，學(xué)會用數(shù)學(xué)的思維思考世界；學(xué)會用數(shù)學(xué)的語言，以及采用多種形式的數(shù)學(xué)語言描述世界。

一、模型建構(gòu)的現(xiàn)狀

目前，學(xué)生對模型建構(gòu)存在習(xí)得性問題。筆者在實(shí)際教學(xué)中收集了學(xué)生在應(yīng)用模型時出現(xiàn)的問題，并從四個知識領(lǐng)域進(jìn)行分析歸類（如表1）。

二、數(shù)學(xué)模型建構(gòu)的有效策略

如何結(jié)合學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn)與困惑，讓學(xué)生有效地體驗(yàn)?zāi)Ｐ徒?gòu)、增強(qiáng)模型意識？如何促進(jìn)學(xué)生對數(shù)學(xué)模型的深度理解？筆者從以下方面進(jìn)行了有效的嘗試與實(shí)踐。

1.精選問題，挖掘建模素材

（1）生活化+沖突化，喚醒建模意識

生活背景是數(shù)學(xué)建模的基礎(chǔ)，用數(shù)學(xué)的眼光觀察生活情境并發(fā)現(xiàn)和提出問題是數(shù)學(xué)建模的起點(diǎn)。因此，教師可以從學(xué)生熟悉的生活背景中甄選素材作為基本內(nèi)容，讓學(xué)生激活并提取數(shù)學(xué)模型的邏輯雛形，在真實(shí)情境中揭示數(shù)學(xué)本質(zhì)。選擇思維沖突化的問題情境，更能激發(fā)學(xué)生的思考欲望，使學(xué)生主動求變、求通，充分激發(fā)學(xué)生的主觀能動性，以此喚醒學(xué)生的模型意識。

【案例】減法的性質(zhì)

學(xué)生學(xué)習(xí)減法的性質(zhì)a-（b+c）=a-b-c和a-（b-c）=a-b+c時會產(chǎn)生這樣的認(rèn)知沖突：為什么去掉括號后加減運(yùn)算就變了呢？教師可借用以下生活實(shí)例喚醒學(xué)生的模型意識（如表2）。

通過具體實(shí)例喚醒學(xué)生的建模意識，并使學(xué)生在認(rèn)知沖突中比較兩個模型，學(xué)生原先的認(rèn)知失衡便會轉(zhuǎn)變?yōu)檎J(rèn)知平衡。

（2）直觀性+類比性，助推建模體驗(yàn)

數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)需要數(shù)學(xué)活動作為載體，所以教師要給學(xué)生提供直觀性、結(jié)構(gòu)性、類比性、全方位的材料，助推建模活動，增強(qiáng)學(xué)生的建模體驗(yàn)。

【案例】相交與平行

筆者收集學(xué)生繪制的兩條直線的關(guān)系圖，有五種情況（如圖1）。

學(xué)生先分小組討論直線的位置關(guān)系，再記錄分類理由，最后全班聚焦到一個問題上：①號作品中的兩條直線究竟有沒有相交？學(xué)生紛紛闡述觀點(diǎn)“不相交，因?yàn)闆]有‘交?！薄皶嘟?，因?yàn)橹本€是可以無限延長的，當(dāng)延長到一定程度后這兩條直線就會相交。”學(xué)生動手展示延長直線的過程，證明①號作品中的兩條直線最后會相交。

①號作品利用看似沒有交點(diǎn)的兩條直線引發(fā)學(xué)生的討論，使學(xué)生經(jīng)歷“推測—討論—動手驗(yàn)證”的過程，并由此進(jìn)入深度學(xué)習(xí)的狀態(tài)，增強(qiáng)了模型建構(gòu)的體驗(yàn)。

2.緊扣思維，推進(jìn)建模進(jìn)程

（1）聚類中抽象，模型螺旋成形

數(shù)學(xué)模型并非針對單個數(shù)學(xué)現(xiàn)象或者數(shù)學(xué)特征，其本質(zhì)上具有典型的“類”的特征。因此，教師要為學(xué)生呈現(xiàn)豐富的表象，將概念簡單化、整體化，促進(jìn)模型的建構(gòu)。

【案例】正比例

筆者匯聚“差不變”“乘積不變”“比值不變”三類變量實(shí)例，通過抽象、概括、辨析來引領(lǐng)學(xué)生認(rèn)識正比例的概念，將建構(gòu)正比例概念模型分成了三個層次。（如圖2）

第一個層次的認(rèn)識是“變量”，即能在以上三類變量的具體情境中，體會兩個變量存在聯(lián)系。第二個層次是認(rèn)識正比例中兩個變量的變化方向：一個量增大另一個量也隨之增大。第三個層次是最終認(rèn)知節(jié)點(diǎn)：兩個變量變化方向一致的同時，擴(kuò)大或縮小的倍數(shù)也一樣，即兩個變量的比值不變，從而抽象出正比例的概念。

通過三類不同的變量類型，學(xué)生經(jīng)歷了“相關(guān)聯(lián)—變化方向—比值一定”的抽象過程，最終順理成章地建構(gòu)正比例的概念。這也為后續(xù)反比例概念的教學(xué)奠定抽象、比較、符號化等建?；A(chǔ)。

（2）思辨中提煉，完善模型建構(gòu)

課堂教學(xué)只有考慮學(xué)生的立場和整體視角，以及學(xué)生的學(xué)習(xí)難點(diǎn)、困惑點(diǎn)，才能更有效地幫助學(xué)生在思辨異同的過程中提煉本質(zhì)特征，提高建模意識，逐漸完善模型的建構(gòu)。

【案例】“平行”的概念教學(xué)

a.? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? b.? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?c.

教師出示以上三個正方體，并提出以下問題。

①正方體a，同一個平面上的直線：

問題：任選一個面，你能找到兩條互相平行的直線嗎？

②正方體b，異面的直線：

問題：觀察[l1]，[l2]，這兩條直線，它們互相平行嗎？為什么？

③正方體c，看似異面實(shí)則共面的直線：

問題：[l3]，[l4]，這兩條直線互相平行嗎？這兩條直線所在的面隱藏在哪里？

最后展示平移直線，動態(tài)生成第三個平面：

此案例中，學(xué)生充分經(jīng)歷同一個平面、異面的兩條直線位置關(guān)系的辨析過程。在同一個平面上，不相交的兩條直線互相平行；在異面上，不相交的兩條直線有時平行，有時不平行，如果直線[l3]經(jīng)過平移可以與直線[l4]完全重合，那么平移[l3]所掃過的區(qū)域就是這兩條直線共屬的平面。在對看似異面實(shí)則共面的直線的辨析過程中，學(xué)生實(shí)現(xiàn)了深度思考，逐漸完善“在同一個平面內(nèi)，兩條永不相交的直線互相平行”的數(shù)學(xué)模型。

3.與“實(shí)”俱進(jìn)，延伸模型實(shí)踐

（1）結(jié)合實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)，引導(dǎo)建模應(yīng)用

學(xué)生建立數(shù)學(xué)模型后，最終要在生活實(shí)際中驗(yàn)證數(shù)學(xué)模型的可行性，并應(yīng)用數(shù)學(xué)模型去解決實(shí)際問題。

【案例】圓柱的表面積

問題：有一種圓柱形的茶葉罐，要對其進(jìn)行包裝，為了盡可能地避免浪費(fèi)，應(yīng)該選擇怎樣的包裝方式？

問題：給一根底面周長為3.14平方分米、高為3.8米的柱子刷油漆，每平方米要刷0.7千克油漆，共需要多少油漆？

問題：制作100個煙囪需要多少平方米的鐵皮？

學(xué)習(xí)了圓柱的表面積后，學(xué)生已經(jīng)建立了豐富的表象，并初步建立了模型。為了實(shí)現(xiàn)更深刻的認(rèn)知，教師可引入生活實(shí)際問題，強(qiáng)化學(xué)生的應(yīng)用意識，幫助學(xué)生積累數(shù)學(xué)應(yīng)用的經(jīng)驗(yàn)，使學(xué)生加深對數(shù)學(xué)模型的理解，體會數(shù)學(xué)模型的價(jià)值。

（2）積累數(shù)學(xué)化經(jīng)驗(yàn)，養(yǎng)成建模習(xí)慣

建構(gòu)數(shù)學(xué)模型需要學(xué)生將問題數(shù)學(xué)化，用文字、圖形或者符號表達(dá)數(shù)量關(guān)系和一般性特征，形成建模的習(xí)慣。比如，在解答圖2中的“樂樂和爸爸的年齡”等問題時，學(xué)生能主動地用簡單的符號來表達(dá)不同的關(guān)系（如表3）。

學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)語言表達(dá)數(shù)量關(guān)系，不但能養(yǎng)成用數(shù)學(xué)眼光看待問題的習(xí)慣，而且能在知識的梳理、反思學(xué)習(xí)中領(lǐng)會模型思想，不僅有效地解決了問題，還為后續(xù)學(xué)習(xí)打下了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，形成了良好的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

（3）滲透模型意識，延伸數(shù)學(xué)思維

學(xué)生在經(jīng)歷建構(gòu)模型的過程中不僅要掌握建模方法，還要主動追溯問題的核心和本質(zhì)，從形式上、方法上、思想上去延伸數(shù)學(xué)思維。

針對圓柱的表面積問題，教師可出示延伸數(shù)學(xué)思維的問題串，以引發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)知識本質(zhì)的思考：回顧一下，我們已經(jīng)掌握了哪些圖形的表面積計(jì)算方法？你能畫出這些圖形的側(cè)面展開圖嗎？能用公式表示這些圖形的側(cè)面積的計(jì)算方法嗎？它們之間是否存在相同點(diǎn)？

將學(xué)生思維局限于課堂并不能真正起到培養(yǎng)學(xué)生模型意識的作用，所以教師可以將學(xué)生思維延伸到課外，引導(dǎo)學(xué)生提煉數(shù)學(xué)問題，組建項(xiàng)目化學(xué)習(xí)小組，關(guān)注自主學(xué)習(xí)過程，如此才能達(dá)到持續(xù)探究的目的。

值得注意的是，模型意識的培養(yǎng)也應(yīng)做到以生為本。教師長期堅(jiān)持強(qiáng)化學(xué)生數(shù)學(xué)模型意識的培養(yǎng)，使學(xué)生逐漸學(xué)會用數(shù)學(xué)的眼光去看待問題、分析問題，感受現(xiàn)實(shí)生活中蘊(yùn)含著的大量數(shù)學(xué)知識，并能運(yùn)用數(shù)學(xué)知識將生活問題抽象、建構(gòu)成數(shù)學(xué)模型，從而能從解決一個數(shù)學(xué)問題到解決一類數(shù)學(xué)問題，再到解決一般現(xiàn)實(shí)問題，形成模型觀念。

（責(zé)編 吳美玲）