文∣張定強 申韓麗

一、引言

2001年教育部頒布了《全日制義務教育數(shù)學課程標準(實驗稿)》(以下簡稱“2001版課標”)，2011年頒布了《義務教育數(shù)學課程標準(2011年版)》(以下簡稱“2011版課標”)。2022年4月，頒布了《義務教育數(shù)學課程標準(2022年版)》(以下簡稱“2022版課標”)。三版“義務教育數(shù)學課程標準”的頒布，明晰了當代數(shù)學課程改革的基本路徑。課標對教師而言是解決“為何教”“教什么”“怎么教”“教到什么程度”的教育教學重大問題的綱領性文件，對學生而言是解決“為何學”“學什么”“怎么學”“學到什么程度”的重大學習問題的指導性文件。作為課標建構中的重要組成部分，“課程內容中的實例”承擔著重要的教育教學功能，對課標主體內容有重要的解釋作用。本文選取三版數(shù)學課標初中部分“數(shù)與代數(shù)”領域中的實例作為研究對象，從量與質的角度進行剖析，深入挖掘不同版本課標在此領域中實例的變化及價值所在，進一步探析實例對數(shù)學教育教學的啟示。

二、實例的變化分析

“數(shù)與代數(shù)”是義務教育階段數(shù)學學習的重要領域，相應的實例也占有重要的地位，而不同版本中的實例有的發(fā)生了變化。

(一)實例的分布概況

三版課標在“數(shù)與代數(shù)”領域的主題設置為“數(shù)與式”“方程與不等式”“函數(shù)”。

表1 三版數(shù)學課標初中部分“數(shù)與代數(shù)”領域實例的分布

在2001版課標中，“數(shù)與代數(shù)”領域設計了11個實例，相對集中在“數(shù)與式”“函數(shù)”主題上，涉及內容標準中的10個具體目標，是對具體目標的解釋、示范、引領，但在體現(xiàn)數(shù)學思想和方法、啟迪學生思維、突出代數(shù)思維方面存在不足。

在2011版課標中，“數(shù)與代數(shù)”領域也設計了11個實例，其中“數(shù)與式”主題有4個，“方程與不等式”主題有3個，“函數(shù)”主題有4個，分別精確對應課程內容中的11個具體目標。較之2001版課標，強化了“方程與不等式”主題的實例，并通過具體案例，突顯了“四基”與“四能”。

在2022版課標中，“數(shù)與代數(shù)”領域設計了9個實例，其中“數(shù)與式”主題有3個，“方程與不等式”主題有1個，“函數(shù)”主題有5個。較之前兩版課標，在實例減少的情況下加強了“函數(shù)”領域中的實例，說明函數(shù)的理解與掌握在初中階段十分重要和關鍵，注重以下三個方面：一是注重數(shù)學文化的滲透，如實例64“負數(shù)的引入”，讓學生體會古代數(shù)學家在數(shù)學上的貢獻，培養(yǎng)學生學習數(shù)學的興趣；二是注重數(shù)學符號推理，如例66、例67，在論證的過程中，讓學生提升符號意識，養(yǎng)成利用符號分析論證問題的習慣，感悟符號表達對于數(shù)學發(fā)展的作用；三是注重學生“幾何直觀”素養(yǎng)的培養(yǎng)，如例68—例70，不失時機地滲透數(shù)形結合思想，讓學生感悟如何借助幾何直觀分析代數(shù)問題。

(二)實例的變與不變

三版數(shù)學課標在“數(shù)與代數(shù)”領域中，實例的具體變化如表2所示。

表2 三版數(shù)學課標初中部分“數(shù)與代數(shù)”領域實例統(tǒng)計

從表2可以看出，三版課標在“數(shù)與代數(shù)”領域均有的實例為簡單近似計算，因為數(shù)字化時代對運算能力的要求不斷增強，近似計算的應用培養(yǎng)也越發(fā)重要。同樣共有的實例還有通過圖象分析函數(shù)關系，通過數(shù)與形的結合，建構函數(shù)表達式，培養(yǎng)學生的邏輯推理能力。增加的實例有負數(shù)的引入、代數(shù)推理、一元二次方程的根與系數(shù)的關系、得到函數(shù)表達式，這種變化的一個明顯特點是數(shù)學文化的融入和代數(shù)思維的突顯。

需要說明的是還有一個潛在的共有實例——“溫度的計量”，2001版課標中它出現(xiàn)在課程實施建議中，與2011版課標例57、2022版課標例70的功能一致，都是引導學生建立兩種溫標下的一次函數(shù)表達式，只不過提問方式不同；2011版課標提出了四個具體的問題；而2022版課標的問題更具開放性，讓學生分析兩種溫標計量值的對應關系，感悟如何借助幾何圖象分析代數(shù)問題。

(三)實例的匹配度

課標中實例的匹配度直接影響實例的質量，影響著數(shù)學教育工作者準確理解課標目標、內容、學業(yè)質量的核心要義，也影響著數(shù)學教材建設和師生的教與學。為了更好地理解實例在三版課標中的重要地位與價值，我們對三版課標中初中“數(shù)與代數(shù)”領域實例的匹配度進行了分析，發(fā)現(xiàn)2001版課標中的具體目標與實例內容及相應知識點的匹配度稍低，實例相對比較簡單?？赡苁浅醮窝兄普n標，實例的示范功能不足，大多數(shù)實例沒有“說明”，即實例設置的目的、情境、分析及拓展。2001版課標中例1的估算比較簡單，小學階段學生已經(jīng)掌握，放在初中階段不太適宜；例3、例4與例5所對應的具體目標有重復之嫌；例8放在“函數(shù)”中不是很適宜，適合放在“數(shù)與式”中，能讓學生很好地理解代數(shù)式。2011版課標是在2001版課標基礎上修訂完善的，豐富和完善了實例的內容，實例的“說明”解釋更加具體，對理解實例與課程目標、內容要求及具體的知識點匹配度更高。2022版課標“數(shù)與代數(shù)”領域實例與課程目標、知識點對比如表3所示。

表3 2022版課標初中部分“數(shù)與代數(shù)”領域實例與課程目標、知識點對比

(續(xù)表)

2022版課標對2011版課標的實例進一步優(yōu)化，實例與課程目標、課程內容的匹配度達到了新的高度，對廣大數(shù)學教師進一步掌握和理解課標的要求提供了新的分析；實例中的“說明”更加清晰與全面，透過實例這一視角對課標中所倡導的課程性質、課程理念的理解更加到位，對“數(shù)與代數(shù)”領域中的課程目標、課程內容、學業(yè)質量以及課程實施能更加清晰準確地掌握，實例可以助推教師更好地開展數(shù)學教與學。

三、實例的價值分析

實例在數(shù)學教育中具有十分重要的價值。從育人的導向審視，實例立足于立德樹人；從功能的發(fā)揮審視，實例服務于課程建設；從現(xiàn)實的要求審視，實例引導教學發(fā)展。

(一)立足立德樹人

立德樹人是教育工作的根本任務，也是實例承擔的根本任務，2022版課標中“數(shù)與代數(shù)”領域對此進行了系統(tǒng)的設計，突顯了實例的育人導向。經(jīng)過專家精挑細選、前后斟酌、深思熟慮的實例，不僅有精確對標具體目標，解釋具體目標的效用，更是具有通過例說的方式詮釋數(shù)學核心素養(yǎng)本真之功效。如2022版課標實例64(負數(shù)的引入)，借助歷史資料說明人們最初引入負數(shù)的目的，感悟負數(shù)的本質特征。此實例在說明中，展示了負數(shù)概念出現(xiàn)的歷史脈絡，《九章算術》中三元一次方程組建立和求解中負數(shù)的出現(xiàn)以及負數(shù)意義的解釋，透過此實例可以讓學生體會我國古代數(shù)學家在數(shù)學上的貢獻。了解優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，增強學生的民族自豪感和學習數(shù)學的熱忱，對學生正確的價值觀培育、數(shù)學素養(yǎng)落地有重要的作用。

(二)服務課程建設

實例主要出現(xiàn)在內容要求上，表征在附錄中?！皵?shù)與代數(shù)”實例已經(jīng)深深地融入綜合與實踐領域、學業(yè)質量標準之中，全方位地服務于課程建設，如2022版課標例89，從跨學科的視角，提出體育運動與健康或安全有關問題，是“函數(shù)”主題的項目化學習。如例92讓學生探究疊放杯子的總高度變化規(guī)律，旨在建立函數(shù)，讓學生學會運用函數(shù)的知識表示杯子總高度隨杯子數(shù)量的變化規(guī)律，培養(yǎng)學生會用數(shù)學的眼光和數(shù)學的思維思考現(xiàn)實世界。實例大多基于生活實踐和學習探索情境，有示范功能，利于教材編寫者在例題、習題的選用方面借鑒。如2022版課標例66代數(shù)推理，作為新增實例，可以突破只有在圖形與幾何領域有推理或證明的誤區(qū)[1]，強調代數(shù)推理同幾何推理一樣重要，讓學生從“推理意識”循序漸進地向“推理能力”過渡[2]；指明在“數(shù)與代數(shù)”領域，教科書建設要關注代數(shù)推理能力。

(三)引導教學發(fā)展

實例嵌在內容要求中，旨在對應目標的實現(xiàn)；實現(xiàn)途徑在于教學。教師無論在備課還是上課、考試評價階段，要關注內容要求、學業(yè)要求、教學提示，高度關注實例的教學價值，深入剖析發(fā)現(xiàn)實例所具有的基礎性、綜合性、應用性、創(chuàng)新性。如三版課標均有的實例“通過函數(shù)圖象分析函數(shù)關系”，基于生活實踐問題情境“父母一起出去散步再回家所用時間不同”創(chuàng)設，旨在加深學生對函數(shù)的理解，進而發(fā)展學生數(shù)形結合的能力。又如2022版課標例69“得到函數(shù)表達式”，創(chuàng)設了一個學習探索問題情境，旨在讓學生探索用代數(shù)式表達幾何結論，利用代數(shù)與幾何知識解決三角形面積問題，綜合性相對較強。這樣的實例在2022版課標中較多，其目的是導引教學改革，促進教學進步，特別是實例的分析說明比較具體，可操作性強。實例對教學過程中的例題分析、拓展，習題編排、考試命題等具有重要的引領和啟示作用。

四、實例的教學啟示

“數(shù)與代數(shù)”領域中的實例在變遷中不斷豐富和發(fā)展，以其獨特的教育教學價值融入數(shù)學教育全程，啟示我們在教學改革與評價中充分發(fā)揮其功能，實現(xiàn)數(shù)學教育的目標。

(一)學懂弄通課標實例的應有之義

課標中的實例有其內在的編排邏輯，獨特的結構特點以及特殊的教育功能，需要數(shù)學教育工作者深入挖掘。教師要結合數(shù)學課標中的課程性質、課程理念、課程目標、課程內容、學業(yè)質量、課程實施統(tǒng)整性進行思考和學習，了解每一個實例在課標中的地位與作用。實例體現(xiàn)了課程性質和課程理念，表征課程目標和體現(xiàn)課程內容，滲透“三會”的達成度和素養(yǎng)的落地方法，因此理解和掌握“數(shù)與代數(shù)”中的實例必須聯(lián)系當前的教學實際和學生的學情，結合所教內容深鉆細研每一個實例的意境。如2011版課標小學第二學段(四至六年級)課標內容“在具體的情境中能用字母表示數(shù)”，而在2022版課標第三學段(五至六年級)表述為“在具體情境中，探索用字母表示事物的關系、性質和規(guī)律的方法，感悟用字母表示的一般性”，相應地在后面的實例中增加了例19(用字母表示數(shù)量關系或規(guī)律)和例23(用字母表示數(shù)量關系)。事實上，學生學習“用字母表示數(shù)”時，思維由具象思維變成了抽象思維。2011版課標初中教材及輔導書在表征這個知識點時用的是“餐桌拼接坐人”的例子，而2022版課標表示該知識點的是例19，引導學生經(jīng)歷數(shù)學抽象的過程[3]。該實例有利于培養(yǎng)學生對經(jīng)驗的感悟，積累數(shù)學活動經(jīng)驗，為初中階段方程的學習打好基礎。

(二)教學改革中有效融入實例

實例的價值在于有效的使用，而使用的現(xiàn)實場域就是教學。因此，要在讀懂課標的基礎上，對標找差距，確定教學改革的方向，在尊重教學實際的基礎上，將實例與教學內容相融合，真正將實例有效地融入教學中，充分發(fā)揮實例的功能。如2022版課標把2011版課標中的選學內容“了解一元二次方程的根與系數(shù)的關系”調整為必學內容，且增添了例67，通過這個實例表征“了解一元二次方程的根與系數(shù)的關系”的內容要求，目的是讓“學生感悟符號表達對于數(shù)學發(fā)展的作用，積累用數(shù)學符號進行一般性推理的經(jīng)驗”。這也積極回應了一線教師對“韋達定理”由選學變?yōu)楸貙W內容的現(xiàn)實訴求，為一線教師進行根與系數(shù)的教學提供參考。實例中蘊含著以核心概念為主線的結構化內容，能從整體上幫助我們深刻理解主題的內容和方法，將一元二次方程的四種解法、根的判別式、根與系數(shù)的關系以及二次函數(shù)納入一個教學單元中進行橫向對比，體會2022版課標中課程內容結構化的要義，重視單元整體教學設計，找到教學改革的著力點。[4]

(三)考試與評價中科學運用實例

2022版課標中的學業(yè)質量標準對學生應當達到的學業(yè)成就表現(xiàn)特征進行了整體刻畫，是衡量數(shù)學學科核心素養(yǎng)落地的標尺。而要回應課標中確定的目標、衡量實例選擇的內容、檢視經(jīng)歷的學習過程是否達到了目標要求，基本的舉措是考試與評價，考試與評價要依學業(yè)質量標準來設計。實例在考試與評價中發(fā)揮著重要的示范引領作用，如2001版課標評價建議中的“選哪家旅行社去旅游更優(yōu)惠”，主要考查一次函數(shù)、不等式解法等相關知識內容。2011版課標評價建議中“用長為50厘米的細繩圍成一個邊長為整厘米的長方形，怎樣才能使面積達到最大”，與2022版課標例71“二次函數(shù)的最大值或最小值”的意境相似，只要我們善于挖掘實例中的育人價值，科學合理地在考試與評價中運用實例，就能助力數(shù)學學業(yè)質量的不斷提升。