王正

摘要：分類(lèi)討論是一種邏輯方法，是一種重要的數(shù)學(xué)思想，同時(shí)也是一種重要的解題策略，它體現(xiàn)了化整為零、積零為整的思想與歸類(lèi)整理的方法。在圓中的應(yīng)用也是非常廣泛，其中大致包含以下幾個(gè)分類(lèi)的熱點(diǎn)，熱點(diǎn)1：點(diǎn)與圓的位置關(guān)系不確定;熱點(diǎn)2： 弦所對(duì)弧的優(yōu)劣情況的不確定而分類(lèi)討論;熱點(diǎn)3：兩弦與直徑位置;熱點(diǎn)4：直線與圓的位置的不確定;熱點(diǎn)5：圓與圓的位置的不確定。

關(guān)鍵詞：分類(lèi)討論;圓的分類(lèi)

一、分類(lèi)討論思想的定義及原則

每個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)論都有其成立的條件，每一種數(shù)學(xué)方法的使用也往往有其適用范圍，在我們所遇到的數(shù)學(xué)問(wèn)題中，有些問(wèn)題的結(jié)論不是唯一確定的，有些問(wèn)題的結(jié)論在解題中不能以統(tǒng)一的形式進(jìn)行研究，還有些問(wèn)題的已知量是用字母表示數(shù)的形式給出的，這樣字母的取值不同也會(huì)影響問(wèn)題的解決，由上述幾類(lèi)問(wèn)題可知，就其解題方法及轉(zhuǎn)化手段而言都是一致的，即把所有研究的問(wèn)題根據(jù)題目的特點(diǎn)和要求，分成若干類(lèi)，轉(zhuǎn)化成若干個(gè)小問(wèn)題來(lái)解決，這種按不同情況分類(lèi)，然后再逐一研究解決的數(shù)學(xué)思想，稱(chēng)之為分類(lèi)討論思想。

有關(guān)分類(lèi)討論思想的數(shù)學(xué)問(wèn)題具有明顯的邏輯性、綜合性、探索性，能訓(xùn)練人的思維條理性和概括性，進(jìn)行分類(lèi)討論時(shí)，我們要遵循的原則是：

1、每級(jí)分類(lèi)按同一標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行：確定分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)，正確進(jìn)行合理分類(lèi)，即標(biāo)準(zhǔn)統(tǒng)一;

2、分類(lèi)應(yīng)逐級(jí)進(jìn)行：對(duì)所分類(lèi)逐步進(jìn)行討論，分級(jí)進(jìn)行，獲取階段性結(jié)果;

3、同級(jí)互斥、不得越級(jí)：不重不漏，科學(xué)地劃分，主次清晰，不越級(jí)討論。

最后進(jìn)行歸納小結(jié)，綜合得出結(jié)論。靈活巧妙地運(yùn)用分類(lèi)討論思想解題，可化繁為簡(jiǎn)，達(dá)到事半功倍的效果。

“分類(lèi)討論”在圓中的應(yīng)用

由于圓的的任意軸對(duì)稱(chēng)性及圓的旋轉(zhuǎn)不變性，給圓的問(wèn)題解答增加了難度，往往容易造成學(xué)生解答不完整，下面就圓中出現(xiàn)的幾個(gè)熱點(diǎn)分類(lèi)，結(jié)合例題加以歸納與分析。

二、熱點(diǎn)1：點(diǎn)與圓的位置關(guān)系不確定

例1：在平面上半徑為4的⊙O中，圓上的點(diǎn)到平面上一點(diǎn)P的最小距離為2，求OP的長(zhǎng)。

分析：由于P點(diǎn)位置的不確定性，我們需要分類(lèi)討論P(yáng)點(diǎn)的位置。

①P點(diǎn)在圓內(nèi);

②P點(diǎn)在圓外。

熱點(diǎn)2：弦所對(duì)弧的優(yōu)劣情況的不確定而分類(lèi)討論

例2：已知⊙O的半徑為2，弦BC=2，點(diǎn)P為⊙O上異于B，C點(diǎn)一動(dòng)點(diǎn)，則∠BPC=____________。

分析：由于圓上P點(diǎn)位置關(guān)系的不確定性，我們需要討論P(yáng)點(diǎn)在優(yōu)弧還是在劣弧上。

①點(diǎn)在弦BC所對(duì)的優(yōu)弧上;

②點(diǎn)在弦BC所對(duì)的劣弧上;

熱點(diǎn)3：兩弦與直徑位置關(guān)系不確定

例3：已知⊙O的半徑OA=1，弦AB，AC的長(zhǎng)分別是，

求∠BOC的度數(shù)。

分析：A點(diǎn)位置可以設(shè)定圓周上任意一點(diǎn)，但AB、AC弦可以分布在半徑OA的兩側(cè)，故有2×2共四種情況，又由于圓的軸對(duì)稱(chēng)性，其中兩種結(jié)果算法是對(duì)稱(chēng)的，所以不需要重復(fù)計(jì)算，所以我們此時(shí)只需要分AB、AC在OA的同側(cè)與異側(cè)進(jìn)行分類(lèi)。

①AB、AC在OA的同側(cè);

②AB、AC在OA的異側(cè);

熱點(diǎn)4：直線與圓的位置的不確定

例4：已知⊙O的半徑為4，點(diǎn)A在直線m上，且OA=4，則直線m與⊙O的位置關(guān)系是_______。

分析：學(xué)生容易出現(xiàn)誤判OA就是點(diǎn)O到直線m的距離，判定直線與圓是相切的，從而出現(xiàn)漏解的情況，在這里我們需要考慮OA是切線還是交線的情況進(jìn)行分類(lèi)。

①直線與圓相切;

②直線與圓相交;

熱點(diǎn)5：圓與圓的位置的不確定

例5：已知⊙M，⊙N相切，圓心距是8，其中⊙M的半徑為3，求⊙N的半徑。

分析：由于兩圓的相切關(guān)系分為內(nèi)切和外切，故需要分類(lèi)討論。

①兩圓外切;

②兩圓內(nèi)切;

綜上所述，在圓的應(yīng)用解答過(guò)程中，我們要注意圖形的變化，關(guān)注由于圖形的不確定性所導(dǎo)致的分類(lèi)討論，在掌握?qǐng)A的分類(lèi)討論方法后，善于舉一反三，觸類(lèi)旁通，使得這類(lèi)問(wèn)題不再是我們的易錯(cuò)點(diǎn)。