劉天恒，曹博星，張福林

(天津大學 理學院，天津 300350)

韋氏擺又稱威爾伯福斯擺，由豎直懸掛的圓柱螺旋彈簧和固連在彈簧末端的物塊組成.物塊有兩個廣義坐標：在豎直方向偏離平衡位置的位移z，繞豎直軸偏離平衡位置的角位移φ，如圖1所示.系統(tǒng)振動時，若系統(tǒng)參量處于一定范圍，可以明顯地觀察到物塊的平動動能和轉(zhuǎn)動動能發(fā)生周期性轉(zhuǎn)化.

圖1 韋氏擺示意圖[3]

韋氏擺是中學、大學物理教學中經(jīng)典的演示實驗，目前，文獻[1]、[2]給出了系統(tǒng)唯象的拉格朗日函數(shù)模型，描述了耦合的線性特征，測量了唯象系數(shù)和耦合現(xiàn)象的拍頻周期，基本驗證了唯象理論的正確性.

但是，前述模型的唯象參數(shù)并非是通過系統(tǒng)的物理模型推導得出.因此，本文建立了圓柱螺旋彈簧的彈性力學模型，分析了彈簧鋼材料參數(shù)(楊氏模量，剪切模量)和系統(tǒng)幾何參量(彈簧線徑，軸半徑，物塊質(zhì)量等)對彈性勢能的影響，給出了圓柱螺旋彈簧彈性勢能的解析解，得到了由基本參量描述的唯象參數(shù).本文的彈性力學分析可以簡潔且精確地描述圓柱螺旋彈簧的力學性質(zhì)，同時，其方法也可以推廣應用于其他均質(zhì)彈簧的計算.

1 唯象模型

本節(jié)分析韋氏擺的唯象模型，在小振動的情況下，系統(tǒng)的拉格朗日函數(shù)可表示為[1]

(1)

其中K是彈簧的勁度系數(shù)，D是彈簧的扭轉(zhuǎn)系數(shù)，λ是系統(tǒng)的能量與兩個廣義坐標的耦合相關(guān)的系數(shù)，m、J是與系統(tǒng)動能相關(guān)的唯象系數(shù)，它們分別是系統(tǒng)豎直方向運動的等效質(zhì)量和水平方向轉(zhuǎn)動的等效轉(zhuǎn)動慣量.根據(jù)參考文獻[2]，系統(tǒng)的簡正坐標為

(2)

其中

系統(tǒng)的兩個特征頻率Ω1、Ω2分別為

(3)

為了更清楚地看到系統(tǒng)的能量轉(zhuǎn)化現(xiàn)象，取Γ為系統(tǒng)的兩個特征頻率差值的一半，即Ω1=Ω+Γ，Ω2=Ω-Γ，調(diào)幅函數(shù)為

(4)

系統(tǒng)的運動方程為

(5)

其中，A1、A2是系統(tǒng)簡正坐標的振幅，相位為

根據(jù)式(5)，若Γ<<Ω，系統(tǒng)在z、φ方向的振動可視為是一個頻率為Ω的快振動被函數(shù)Bz(t)、Cφ(t)以較慢的頻率2Γ調(diào)幅的結(jié)果，即為耦合現(xiàn)象.

2 彈性力學分析

拉格朗日函數(shù)中的K、D、λ取決于彈簧的材料參量和幾何參量.下文通過彈性力學分析，給出它們的解析解.

2.1 彈性力學模型

圖2 彈簧模型示意圖

如圖1所示，取系統(tǒng)處在平衡位置時,彈簧軸線的最低點所在的水平面，與彈簧豎直軸線相交的點為原點O, 構(gòu)造Oxyz直角坐標系，其中x軸的正方向指向彈簧軸線的最低點,z軸的正方向豎直向上(如圖2)，并在該坐標系中構(gòu)造參數(shù)方程為

(6)

的圓柱螺旋線(圖2中黑實線)，θ是用以確定圓柱螺旋線上某一點的變量，圖中僅標注出了[0,φ]中的一個點作為示意.記曲線上坐標為(x(θ),y(θ),z(θ))的點為P(θ)，以其為原點，建立自然坐標系.en(θ)為曲線在P(θ)點法向單位矢量；eτ(θ)為曲線在P(θ)點的切向單位矢量；eb(θ)為曲線在P(θ)點的副法向單位矢量.

en=(-cosθ,-sinθ,0)，

將楊氏模量為Y，剪切模量為G的材料均勻填充在空間區(qū)域(圖2陰影區(qū)域)，有

(7)

即可得到幾何參量如上的圓柱螺旋彈簧.假設彈簧的材料是線性的，那么懸掛物塊后處于平衡位置的彈簧與相同尺寸的空載彈簧是等價的，下文以該模型分析在平衡位置的彈簧是合理的.

記k為式(6)所描述的曲線的曲率，t為曲線的撓率，L為曲線的長度.顯然，彈簧的長度為L.對照廣義坐標的定義，若取z軸為豎直方向，則z=-ΔH，φ=Δφ.當物塊的廣義坐標變化時，彈簧中的一段彈簧絲會產(chǎn)生以下三種基本的形變：垂直軸線的彎折，沿軸線的拉伸壓縮，繞軸線的扭轉(zhuǎn).它們與材料的主應變和剪應變有關(guān).以下將討論這兩種應變對彈性勢能的貢獻.

在下文的彈性力學分析中，假設系統(tǒng)在運動過程中始終滿足條件：

(8)

其中ρm為金屬材料密度.系統(tǒng)參數(shù)滿足式(8)，意味著彈簧絲中的一維應力波波長遠大于彈簧絲長度，可認為此時應力和應變沿軸線方向均勻分布，彈簧絲軸線始終為圓柱螺旋線.

2.2 材料剪應變的應變能

圖3 應變能計算圖解

本節(jié)討論剪應變的應變能對彈性勢能的貢獻.如圖3所示，任取一個θ∈(0,φ),考慮圖2中一段長度為l(l<

en(θ′)=en(θ)

(9)

eb(θ′)=eb(θ)

(10)

同時，根據(jù)應變的對稱性，en(θ)、eb(θ)所在的坐標平面內(nèi)的剪應變方向可認為是沿以O(θ)為圓心的圓周分布的，所以，對于被各en(θ)、eb(θ)所在平面截得的面積元dSθ的坐標都為en(θ)-eb(θ)的柱形微元[如圖3所示,en是en(θ)軸的坐標值，eb是eb(θ)軸的坐標值]，其剪應力大小可認為僅與微元自身的參量和參量變化有關(guān)，可作為計算應變能的獨立微元.微元的長度為

(11)

ln=l(1-ken)

(12)

為推導簡便，下文推導僅采用近似式(12)，其精度已經(jīng)足夠高.

撓率的絕對值度量了曲線上鄰近兩點的副法向量之間的夾角對曲線弧長的變化率，如圖3所示，考慮式(9)、、式(10),彈簧參數(shù)的應變等效于該段彈簧絲扭轉(zhuǎn)Δ(tl)的角度.認為應力沿軸線均勻分布，彈簧絲軸線始終呈圓柱螺旋線.忽略高階小量，微元對應的應變能為

(13)

單位長度彈簧絲剪應變的應變能為

(14)

2.3 材料主應變的應變能

本節(jié)討論主應變的應變能對彈性勢能的貢獻.如圖3所示，考慮圖2中一段長度為l(l<

認為應力沿軸線均勻分布，彈簧絲軸線始終呈圓柱螺旋線，微元對應的應變能為

(15)

注意到en(θ′)=en(θ)，單位長度彈簧絲主應變的應變能與參量應變量的關(guān)系為

(16)

積分區(qū)域如上節(jié)，有

2.4 總彈性勢能與分析

本節(jié)給出彈簧彈性勢能的解析解，根據(jù)參數(shù)方程(6)，系統(tǒng)參量的幾何約束關(guān)系為

(φR)2+H2=L2

(17)

(18)

(19)

(20)

(21)

聯(lián)立式(12)、式(17)、式(18)、式(19)、式(20)，以彈簧絲長度的應變量的解作為該約束關(guān)系，結(jié)果為

(22)

式(21)意味著，如果只考慮主應變，那么彈簧絲內(nèi)部必定存在一個主應力為0的范圍，稱為中性層，其內(nèi)部Δln=0，這一范圍可表示為

(23)

根據(jù)上文分析，剪應力和主應力方向正交，假定構(gòu)成彈簧絲的金屬材料是線性的，則彈性勢能E為剪應變和主應變產(chǎn)生的應變能的總和.

E=(EG+EY)L=

(24)

(25)

舍去三個數(shù)量級以上的小量.注意到廣義坐標z、φ就是-ΔH、Δφ，系統(tǒng)勢能：

(26)

上式中各參量取懸掛物塊后系統(tǒng)處在平衡位置時的值，拉格朗日函數(shù)可得.考慮式(22)，可知彈簧絲長度L的應變完全可略.

(27)

(28)

其中m1是物塊質(zhì)量，m2是彈簧質(zhì)量，J0是物塊的轉(zhuǎn)動慣量.

唯象系數(shù)K、D、λ的解析解為：

(29)

(30)

(31)

其中K為彈簧的勁度系數(shù)，D為彈簧的扭轉(zhuǎn)系數(shù)，λ是彈簧耦合的相關(guān)系數(shù)，定量描述了應變能關(guān)于拉伸形變、扭轉(zhuǎn)形變的耦合強度.考慮小振動的對稱性，上述解析解中的參量取懸掛物塊后系統(tǒng)處在平衡位置時的值.

在圓柱螺旋彈簧的彈簧絲軸線上，撓率、曲率處處相等，它們與線徑d的乘積相對1來說都為小量.這一幾何結(jié)構(gòu)的高度對稱性使系統(tǒng)的力學性質(zhì)也表現(xiàn)出高度的對稱性.即系統(tǒng)做小振動時，剪應變的應變能幾乎完全受撓率的應變影響，主應變的應變能幾乎完全受曲率的應變影響，剪變模量G、楊氏模量Y在唯象系數(shù)式(29)、式(30)、式(31)中對稱的數(shù)學地位也表現(xiàn)出了這一高度的對稱性.

3 實驗驗證

文獻[1]、[2]驗證了韋氏擺的唯象理論和動力學理論，故本文只需驗證彈簧理論的正確性.文獻[7]給出了K和D的解析解，它們與上文的式(29)和式(30)僅相差高階小量，這一小量在本文的實驗條件式(25)下已遠小于實驗的系統(tǒng)誤差.所以，本文只驗證λ的解析解式(31)的正確性.

3.1 實驗原理

若系統(tǒng)在φ這一自由度上不受外力矩，即

(32)

系統(tǒng)處在平衡位置時，參數(shù)滿足

(33)

條件式(32)可通過僅在彈簧下端懸掛重物來簡單實現(xiàn).測得特定彈簧發(fā)生位移z時平衡位置的角位移φ，再通過式(30)計算D(各參數(shù)根據(jù)廠家所給出的參數(shù)計算)，就可以根據(jù)式(33)計算λ，將這一結(jié)果與理論值式(31)比較，即可檢驗λ的正確性.

3.2 實驗過程和結(jié)果

(a)實驗支架示意圖 (b)測量儀器示意圖圖4 實驗裝置示意圖

圖4所示為實驗裝置，上方平臺通過水平泡調(diào)節(jié)水平，彈簧上端與金屬桿固連(圖上連接點伸出平臺較遠，僅為展示)，下端與傳感器固連，傳感器內(nèi)置一個9軸陀螺儀芯片且?guī)o線傳輸功能.實驗時，在砝碼盤中添加砝碼，位移z可由刻度尺測得，角位移φ通過對傳感器連續(xù)測得的角度取均值得到.彈簧參數(shù)如表1所示，聯(lián)立表2中D的理論值，根據(jù)式(31)計算λ，其計算結(jié)果和百分差記錄于表3、表4中.

表1 彈簧參數(shù)列表(材質(zhì)：65 Mn鋼)

表2 彈性系數(shù)解析解的理論值

表3 彈簧a實驗數(shù)據(jù)

表4 彈簧b實驗數(shù)據(jù)

對所得的λ在-z-λ圖像上描點，與解析解式(31)(列于表2)比較，如圖5所示.

圖5 實驗結(jié)果與理論結(jié)果對照圖

3.3 誤差分析和實驗結(jié)論

z和φ的A類不確定度采用逐差法計算，B類不確定度Δz=1 mm，Δφ=10-4rad.D的合成相對不確定度取文獻[10]用扭擺法給出的最大值0.28%.

彈簧a彈性系數(shù)λ的合成標準不確定度[11]為

ua=2.6×10-5kg·m·s-2(P=95%)

(34)

其實驗結(jié)果為

λa=(2.81±0.26)×10-4kg·m·s-2

(35)

彈簧b彈性系數(shù)λ的合成標準不確定度為

ub=2.2×10-5kg·m·s-2(P=95%)

(36)

其實驗結(jié)果為

λb=(1.84±0.22)×10-4kg·m·s-2

(37)

4 結(jié)論

本文采用了文獻中韋氏擺系統(tǒng)的拉格朗日函數(shù)唯象模型，建立了圓柱拉伸彈簧模型，從彈性力學角度出發(fā)給出了彈簧參數(shù)的應變和3個彈性系數(shù)的解析解.在條件式(24)下，本文通過文獻結(jié)果驗證了K、D的解析解，實驗部分檢驗了彈性力學推導的正確性.該推導方法揭示了系統(tǒng)拉格朗日函數(shù)中唯象系數(shù)的物理意義，是分析實驗現(xiàn)象，并完整地從理論角度解決一個物理問題的恰當實例.本文的彈性力學分析方法具有一定普遍性，同時簡潔直觀地對圓柱螺旋彈簧彈性系數(shù)的數(shù)學物理背景給出了明確的表述.