傅洪波，陳小偉，謝國喜

(廣州醫(yī)科大學 生物醫(yī)學工程學院，廣東 廣州 511436)

K空間也稱為傅里葉空間，是由帶有空間編碼信息的磁共振成像(Magnetic Resonance Imaging, MRI)信號填充而成的數(shù)據(jù)矩陣，每一組MRI圖像都有其相應的K空間數(shù)據(jù)矩陣，它們是傅里葉變換對的關系，對K空間數(shù)據(jù)進行反傅里葉變換，就能重建出MRI圖像.因此K空間是MRI信號空間編碼的基礎，也是掌握磁共振成像理論的關鍵環(huán)節(jié).

但是，K空間信號表達式的數(shù)學物理推導過程鮮見于各類論著及論文中.前期調(diào)研發(fā)現(xiàn)，現(xiàn)有國內(nèi)外論著，包括大量教材，直接給出K空間的信號表達式[1-3]，再結(jié)合相應圖示，以幾何化的直觀方式講述K空間是什么和怎樣形成，很少有論文(著)對K空間信號表達式的來源進行討論，而是更多是關注磁共振技術新發(fā)展、數(shù)值仿真和實際應用[4-6].其中論文[7]雖然能針對成像數(shù)據(jù)與K空間之間的關系進行數(shù)理推導，但推導過程偏于簡單，缺乏一些關鍵細節(jié)，比如針對法拉第感應定律的相關推導，仍采用磁化強度矢量，而非定律要求的磁感應強度矢量，對兩者關系也未詳細說明，導致整個推導過程中的數(shù)學物理過程難以理解.另外，我們在互聯(lián)網(wǎng)上也了解到, 比如，Albert Einstein College of Medicine和Massachusetts Institute of Technology開設相應MRI課程，涉及K空間的部分，也未曾給出一個邏輯完整的介紹，因此根據(jù)上述調(diào)研的結(jié)果，我們認為有必要對此問題展開研究，形成相應的教學支撐.

值得一提的是，Haack E Mark 和 Brown Robert W等人合作的2部著作[8,9]從嚴密的物理模型和數(shù)學處理給出了磁共振三維信號一般表達的推導，但理解該推導過程難度甚高，既要掌握電動力學的相應物理模型又要熟悉矢量微分等數(shù)學處理，另外一些關鍵細節(jié)也被省略，沒有和序列匹配起來，教與學兩方面都殊為不易.但是深刻理解磁共振成像K空間信號表達式既是磁共振成像理論學習的難點和關鍵，也是相關技術性研發(fā)的理論基石，特別是國內(nèi)MRI這種關鍵醫(yī)療設備仍大量依賴國外產(chǎn)品的背景下，加強我國大學相應的教學，具有深遠意義.

針對這一問題，本文在相關文獻的基礎上，以大學普通物理理論為基礎，并從自旋回波序列這一最基本的成像序列出發(fā)，結(jié)合梯度磁場的空間編碼過程、以實例的形式完成K空間信號表達式的數(shù)學物理推導，并給出推導過程中的相關細節(jié)和依據(jù)，試圖給學習者提供一個既簡單明了，又便于系統(tǒng)地掌握K空間信號模型.

1 磁共振成像與K空間概述

磁共振成像是利用核磁共振原理進行成像的技術，其成像過程簡述如下：自旋原子核在靜磁場B0的作用下磁化產(chǎn)生宏觀磁化強度矢量(以下簡稱磁化矢量)，磁化矢量在射頻場的作用下產(chǎn)生橫向分量，橫向分量在梯度磁場的作用下實現(xiàn)空間編碼，對經(jīng)過空間編碼的磁共振信號進行采集、解調(diào)、濾波和放大等處理后，成為填充K空間的數(shù)據(jù)，對K空間數(shù)據(jù)進行逆傅里葉變換就可以重建出掃描圖像.K空間信號S(kx,ky)與重建圖像ρ(x,y)之間是傅里葉變換對的關系：

S(kx,ky)=?ρ(x,y)e-i2π(kxx+kyy)dxdy

(1)

接下來，我們對式(1)給出相應模型和推導.

2 微元模型的建立

根據(jù)量子力學理論[8,9]，處于靜磁場中，磁化的氫核產(chǎn)生縱向磁化矢量最大值為

(2)

其中B0為靜磁場的磁場強度，ω0為質(zhì)子的共振頻率，γ為磁旋比，k為玻耳茲曼常量，T為熱力學溫度，?為約化普朗克常量，ρ表示該體積內(nèi)的自旋密度(質(zhì)子密度)數(shù).

為方便起見，假設成像層面垂直于靜磁場，成像層面為xy平面，層厚為Δz，選取該層面內(nèi)一個體素微元Δzdxdy為研究對象，根據(jù)式(2)可構(gòu)造微元：

Dρ0(x,y)dxdy

(3)

其中，D=γ2?2B0/12kT，ρ0(x,y,z)為體素微元的質(zhì)子體密度，這樣ρ0(x,y,z)Δzdxdy表示該體素微元內(nèi)的質(zhì)子數(shù)，由于斷層厚度Δz為常量，可以重新定義ρ0(x,y)為二維像素微元的質(zhì)子面密度，這樣乘以微元面積dxdy后仍等于對應質(zhì)子數(shù).

圖1 自旋回波序列和空間編碼梯度磁場

為處理方便，我們僅討論TE時刻后采集的數(shù)據(jù).結(jié)合式(3)和Bloch方程可知Mxy在回波時間TE后的信號大小變化的表達式為

(4)

當90°射頻脈沖激發(fā)后，縱向磁化矢量翻轉(zhuǎn)為橫向磁化矢量Mxy，受靜磁場和梯度磁場作用，將以角速度ω進動，其大小與Mxy所處位置磁場強度的大小成正比.設某時刻它與x軸正向的夾角為ωt+φ，則斷層微元內(nèi)的橫向磁化矢量Mxy在x和y軸的投影大小分別為：

(5)

(6)

式(5)、式(6)中的共有項ωt、φ為：

(7)

(8)

其中BGx、BGy分別為頻率編碼和相位編碼的磁場梯度大小，tx為頻率編碼梯度磁場作用時間，ty為相位編碼梯度磁場作用時間.根據(jù)圖1可知，先進行相位編碼再進行頻率編碼.

圖2 xy平面的橫向磁化矢量和正交采集線圈示意圖

3 磁共振信號的采集

磁共振成像信號是根據(jù)法拉第電磁感應定律進行采集獲得的.如圖2所示，如果在頻率編碼梯度時間的同時，在x-y軸分別放置一個有效接收面積為S的閉合線圈，旋轉(zhuǎn)變化的橫向磁化矢量Mxy將使得穿過線圈的磁通量發(fā)生變換，變化的磁通量將在閉合線圈上產(chǎn)生感應電動勢，由此檢測到磁共振成像信號，采集得到的數(shù)據(jù)就是K空間數(shù)據(jù).

受論著[8]啟發(fā)，我們做出以下分析：磁共振成像樣品置于靜磁場B0中，發(fā)生磁化后，產(chǎn)生縱向磁化矢量M0，假設成像組織是由各向同性的順磁物質(zhì)構(gòu)成的，總的磁感應強度B為靜磁場強度B0和介質(zhì)磁化電流產(chǎn)生的附加磁場B′的矢量和[10]：

B=B0+B′

(9)

根據(jù)磁化理論可知，真空磁導率為μ0，在靜磁場中的磁化矢量為M0的介質(zhì)，產(chǎn)生的附加磁場B′為

B′=μ0M0

(10)

因此在射頻90°脈沖作用下，橫向磁化矢量Mxy在靜磁場作用下產(chǎn)生的附加磁場最大值為

B′=μ0M0

(11)

該附加磁場在接收線圈處產(chǎn)生相應變化磁通量，即

Φ=B′·S

(12)

其中S為線圈的有效接收面積.

由于接收線圈中總的磁通量是所有微元dxdy的附加磁場B′的累加貢獻，結(jié)合定積分定義，根據(jù)式(5)、式(6)和式(12)，可得圖2中x和y軸處的感應線圈中產(chǎn)生的磁通量分別為

Φx(t)=?Sμ0dMx=

(13)

Φy(t)=?Sμ0dMy=

(14)

其中S為線圈總的有效接收面積，為簡單計，這里設兩組線圈的S相等.

根據(jù)法拉第電磁感應定律，感應電動勢為

(15)

將式(13)、式(14)對時間求導可得

(16)

(17)

εx(t)=-?μ0Sω0C(x,y)sin(ωt+φ)dxdy

(18)

εy(t)=?μ0Sω0C(x,y)cos(ωt+φ)dxdy

(19)

4 K空間的積分表達

K空間是復空間，K空間數(shù)據(jù)是由x、y方向測得的信號強度分別作為復數(shù)信號的實部和虛部，即

ε(t)=εy+iεx

(20)

根據(jù)歐拉公式得

ε(t)=μ0ω0SC(x,y)e-i(ωt+φ)dxdy

(21)

成像斷層的所有微元集成后的磁共振信號為

ε(t)=?μ0ω0SC(x,y)e-i(ωt+φ)dxdy

(22)

實際應用中在得到式(22)之前，還需借助信號“解調(diào)”技術消除上面式(18)、式(19)感應信號中類似載波的高頻成分ω0.解調(diào)是用頻率接近或等于ω0的正弦或余弦函數(shù)與信號相乘.比如用參考信號sin(ω0t+ω0ty)乘以式(21)，借助三角恒等式，可得解調(diào)后信號為

sig=sin(ω0t+ω0ty)sin(ωt+φ)=

(23)

對于式(23)中對應高頻信號部分，利用低通濾波去掉，只剩下Δω對應的低頻部分，對于虛部通道也做類似處理，最終式(21)變?yōu)?/p>

ε(t)=?μ0ω0C(x,y)e-i(Δωt+Δφ)dxdy

(24)

其中

(25)

(26)

需要說明的是對于式(25)而言，當施加線性梯度磁場時(設中心處梯度為零)，解調(diào)后信號可表達為

(27)

式(27)中梯度磁場?B/?x在信號采集時間Ts內(nèi)只是空間x值的函數(shù)，其大小不隨時間變化，這是使用線性梯度場且不考慮梯度切換情況的特例.如圖1所示，該梯度沿時間軸依時序施加，但對于某一空間位置上的梯度磁場大小不變.其實，類似處理相位梯度磁場帶來的相位變化，我們可認為Δωt就是頻率編碼通過時間t帶來的累積相位，此時表達式(27)重寫為

(28)

積分形式的式(28)成為教科書中常見的表達，這種積分表達式在更復雜的磁場梯度的時變技術中還有其他應用和解釋.必須指出的是，式(28)的積分表達的時間區(qū)間[0,t]，本推導中以TE時刻為計時零點，即為[0,Ts/2].至于y方向的相位編碼的整個積分時間也記為[0,t]，則為相位編碼梯度磁場的獨立的實施加載時間.

借此機會，我們補充說明下，借助K空間的對稱性，本推導涉及的采集信號實際只填充一半K空間，實際上，由于K空間的共軛對稱性，另一半K空間數(shù)據(jù)也可以用本文的方法進行討論.而填充一半K空間，類似于快速成像中的“半掃描技術”(通常意義是利用相位編碼帶來的矩陣行的對稱性)，也稱作部分傅里葉(Phase Partial Fourier).我們采用該技術概念的目的是為了模型的簡化和表達的一致性，比如回波信號按exp(-t/T2)規(guī)律衰減，沒有涉及TE重聚相前采集的另一半信號，以此避免帶來的描述和解釋的復雜性，而按照圖2，實際采集的信號是完整的.

接下來，利用式(25)、式(26)，給出K空間的“k”的定義表達式：

(29)

(30)

再令ρ(x,y)=μ0ω0SC(x,y)，此時ρ(x,y)構(gòu)成學者俎棟林、高家紅在文獻[1]提出的“廣義自旋密度”.最終式(24)可重新表達為

ε=S(kx,ky)=?ρ(x,y)e-i2π(kxx+kyy)dxdy

式(1)的再次呈現(xiàn)，也意味著我們完成了對K空間信號的定量公式的推導.

5 討論與總結(jié)

正如前文所述，K空間雖然是磁共振成像的重點內(nèi)容，但其理解殊為不易.以式(1)而言，一旦無法清楚其來龍去脈，可能產(chǎn)生一些誤解，比如簡單理解ρ(x,y)就是自旋密度，甚至沒有意識到K空間是復數(shù)空間.至于K空間和諸多前期概念(比如加權成像)之間的邏輯關系，在缺乏相應數(shù)理邏輯背景時，真正透徹地理解磁共振成像更是無從談起.因此，本文通過一個斧鑿和裁剪過的數(shù)模模型給出了相應的邏輯推導的前提和過程，給K空間信號一個系統(tǒng)的、定量的、簡單的解釋.

本研究的系統(tǒng)性在于有效地串聯(lián)了一系列前置概念，并把采集和信號處理相關環(huán)節(jié)也納入其中，形成完整、緊密的邏輯鏈，同時也加深了MRI加權圖像與K空間信號的聯(lián)系與理解.其定量化體現(xiàn)為各邏輯環(huán)節(jié)的公式化，最終自然地過渡到K空間信號表達式即式(1).簡單性在于本論文在推導過程中合理降低了相應物理模型和數(shù)學處理的復雜度，給出一個實例化、具體化、解釋性強的K空間信號模型.