宋雨霏，梁兆新

( 浙江師范大學(xué) 物理學(xué)系，浙江 金華 321004)

格林互易定理在電動力學(xué)中有巨大應(yīng)用價值.相較于傳統(tǒng)的鏡像法和本征函數(shù)展開法等方法，格林互易定理的特點(diǎn)是只需要著眼于物理系統(tǒng)兩種靜電狀態(tài)的電勢和電荷，通過巧妙設(shè)計電荷和電勢分布消除不必要的未知量從而獲得結(jié)果.其解題邏輯清晰易懂，步驟簡便，對于一部分靜電學(xué)的問題，有明顯的解題優(yōu)勢.例如，丁健和李奎春[1]對格林互易定理在均勻帶電圓環(huán)的靜電勢分布的應(yīng)用； 王軍杰和金彪[2]對格林互易定理在中學(xué)競賽中的應(yīng)用也進(jìn)行了詳細(xì)的介紹.但是都沒有將靜電學(xué)中幾種常見的方法與格林互易定理進(jìn)行對比與討論，也缺少格林互易定理在導(dǎo)體球殼導(dǎo)體球上的應(yīng)用.

本文內(nèi)容主要分為3個方面：1)對格林互易定理進(jìn)行了嚴(yán)格數(shù)學(xué)證明，并強(qiáng)調(diào)了其成立所需滿足的物理?xiàng)l件；2)選取靜電學(xué)中最典型的幾類例題分別用鏡像法、本征展開法以及格林互易法進(jìn)行求解分析，通過比較展示了格林互易定理在求解某些靜電學(xué)問題中的優(yōu)勢.另外，通過列表總結(jié)了鏡像法、本征展開法和格林互易定理法在求解靜電學(xué)問題時各自的優(yōu)缺點(diǎn)；3)討論格林互易定理在實(shí)際物理問題中的應(yīng)用，提出檢驗(yàn)拉馬努金無限求和公式和其他幾個數(shù)學(xué)恒等式的實(shí)驗(yàn)方案，并形成一套驗(yàn)證數(shù)學(xué)恒等式的物理方法.

1 格林互易定理證明

格林互易定理嚴(yán)格數(shù)學(xué)證明雖然在一些教科書中給出，但是在國內(nèi)大學(xué)廣泛使用的郭碩鴻著《電動力學(xué)》中沒有被提及.為了保持本文理論框架的完整性，下面我們將給出格林互易定理的嚴(yán)格證明.

證明：給定任何閉合區(qū)域S，在此中選擇2個連續(xù)可微的函數(shù)Ψ、Φ，由高斯定理可得

(1)

互換Ψ、Φ兩個函數(shù)位置，再應(yīng)用高斯定理可得

(2)

將式(2)與式(1)相減得

(3)

(4)

化簡可得

(5)

(6)

積分后可得格林互易定理：

(7)

式(7)的適用條件[3]：無限大空間中有限帶電體；靜電靜磁導(dǎo)體情況適用.

2 格林互易定理在靜電學(xué)中應(yīng)用[4]

靜電場就是相對觀察者靜止的電場，靜電場是研究電場的基礎(chǔ)，為后續(xù)研究電磁波的傳播奠定基礎(chǔ).處理靜電場問題的方法有本征展開法(分離變量法)、鏡像法、格林函數(shù)法等.這些方法的核心是將物理問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)物理方程進(jìn)行求解，計算復(fù)雜，在某些問題中操作困難.本文將格林互易定理與這幾種方法進(jìn)行比較.

2.1 點(diǎn)電荷與接地導(dǎo)體球

接地導(dǎo)體球和點(diǎn)電荷問題是靜電學(xué)中最常見的問題，展現(xiàn)了最基本的導(dǎo)體電荷與電勢的關(guān)系.現(xiàn)給出一例題，如圖1所示，題目如下：在真空中將半徑為R的金屬球接地，在與球心O相距為d(d>R)處放置一個電荷量為q的點(diǎn)電荷，不計接地導(dǎo)線上電荷的影響，求金屬球表面上感應(yīng)的電荷量.

圖1 接地導(dǎo)體球與點(diǎn)電荷

該例題用鏡像法和格林互易定理都可以求解，但是前者要比后者繁雜得多.本文將用2種方法求解并進(jìn)行對比.因?yàn)殓R像法在郭碩鴻著《電動力學(xué)》第3版第54頁有詳細(xì)過程[5]，在這簡略地介紹.

2.1.1 鏡像法

已知球外的電勢滿足如下泊松方程：

(8)

由于金屬球靜電平衡則在球內(nèi)部E為0，所以內(nèi)部的電勢不做考慮.容易得到邊界條件：

φ|r=R=0，φ|r→∞=0

(9)

對于φ外來說球內(nèi)即為虛擬空間，在球內(nèi)設(shè)虛擬電荷不影響外部.又因?yàn)榍虻男D(zhuǎn)對稱性，電荷只能在極軸上，即水平軸.現(xiàn)令球內(nèi)虛擬電荷為-q′，其位置距離球心為b，將球心與q的距離用d來表示.現(xiàn)取球外任意一點(diǎn)o′，o′距q的距離為rd，距-q′的距離為rb，與球心的距離為r，則其電勢為

(10)

令r與水平軸的夾角為θ,可得

(11)

由于對于任意的夾角都成立，則與角度無關(guān)，可得

-2Rbq2=-2Rdq′2,

(R2+b2)q2=(R2+d2)q′2

(12)

之后就可求得q′和b同時也能求得球表面電荷，積分后獲得球表面的感應(yīng)電荷.該方法過程復(fù)雜，計算繁瑣，同時需要一定的空間想象能力.

2.1.2 格林互易定理法[6]

格林互易定理的核心是通過設(shè)置不同充電模式，讓式(7)與題無關(guān)的量交叉相乘為零，從而求得需要的量.以題意為第一種充電模式，在這種充電模式下導(dǎo)體球接地，以地為電勢零點(diǎn)，則此時φ球=0，而φq未知.令qR為所求電荷量，也就是球表面的電荷，則第1種充電模式為

{qR,q}, {0,φq}

(13)

現(xiàn)在讓導(dǎo)體球不接地并且給予電荷量q′，令點(diǎn)電荷為零，則第2種充電模式為

(14)

根據(jù)格林互易定理，式(13)和(14)的2種充電模式交叉相乘可得

(15)

最后很容易得到導(dǎo)體球表面感應(yīng)電荷量為

(16)

兩種方法計算結(jié)果完全相同，但格林互易法不管從計算難度，方法步驟還是物理思想上都要比鏡像法簡單得多.

將這道題進(jìn)行擴(kuò)展，再加幾個點(diǎn)電荷或者導(dǎo)體球.如圖2所示，在原來的基礎(chǔ)上增加一個距離圓心r，電荷量為Q的點(diǎn)電荷.如果用鏡像法，兩個以上的點(diǎn)電荷無法很好的鏡像，很難計算.但是用格林互易定理，就會很簡單.

圖2 接地導(dǎo)體球與兩個點(diǎn)電荷

根據(jù)上述格林互易定理解法得第1種充電模式：

{qR,q,Q}, {0,φq,φQ}

(17)

令導(dǎo)體球不接地并給予電荷量q′，其余點(diǎn)電荷零,則第2種充電模式為

(18)

交叉相乘可得

(19)

用格林互易定理解決該類問題方便快捷，物理思維簡單易懂.

2.2 接地導(dǎo)體球殼與導(dǎo)體球

當(dāng)問題變復(fù)雜，把2.1題目中的點(diǎn)電荷變?yōu)閷?dǎo)體球殼，此時鏡像法就無法使用，但格林互易定理還能應(yīng)用，輕松解決該問題.

如圖3所示，內(nèi)外徑分別為R2、R3導(dǎo)體球殼，帶電荷量為Q，同心地包圍著一個半徑為R1的接地導(dǎo)體球，R1

圖3 導(dǎo)體球殼與接地導(dǎo)體球

該題雖然不能用鏡像法，但可以使用本征函數(shù)展開法，過程繁瑣復(fù)雜.本文將用本征函數(shù)展開法和格林互易定理求解并進(jìn)行對比.

2.2.1 本征函數(shù)展開法

選圖3所示導(dǎo)體部分之外的介質(zhì)(真空)部分為研究體系，由于球?qū)ΨQ，解不依賴于角度，則電勢的通解為

(20)

設(shè)不同區(qū)間的電勢為

(21)

由題意知邊界條件：

φ2|r=R1=0，

φ1|r→∞=0，

φ2|r=R2=φ1|r=R3

(22)

除此之外還有關(guān)于電荷導(dǎo)出的邊界條件：

(23)

化簡可得

(24)

接下來將所設(shè)的電勢代入邊界條件并聯(lián)立求出未知的量即a、b、c、d，可解出φ1和φ2.用本征函數(shù)展開法將一個物理問題變成了一個數(shù)學(xué)問題，減少了題目包含的物理思想.并且本征函數(shù)展開法需要知道通解的表達(dá)式，邊界條件計算復(fù)雜，不容易求解.

2.2.2 格林互易定理法

假設(shè)中心球帶電荷量為q，把導(dǎo)體球殼看成一個整體，則第1種充電模式：

{Q,q}, {φ,0}

(25)

對于第2種充電模式，假設(shè)中心導(dǎo)體球不接地，并令其所帶電荷量為q′，φ1為球殼上的電勢，φ2為中心導(dǎo)體球上的電勢.此時球殼上的電荷量為0，則

{0,q′}, {φ1,φ2}

(26)

現(xiàn)計算φ1和φ2，有

(27)

由于球殼上的電荷為零，則殼內(nèi)側(cè)的電荷和殼外側(cè)的電荷相加為零，可得

(28)

由于靜電平衡則在球殼內(nèi)表面感應(yīng)出了-q′的電荷量，在球殼外表面感應(yīng)出了q′的電荷量，則利用格林互易定理交叉相乘可快速求得

(29)

感應(yīng)電荷求出，則代回電勢表達(dá)式可求出電勢.可見格林互易定理在解這類題目時也是非常方便的.

2.3 無窮層平行板電容器

通過前面2個例子，可以知道格林互易定理可以使部分題目解題過程得到很大的簡化，但是用其他方法也可以做.接下來的例子無法用靜電學(xué)其他常用的方法進(jìn)行求解，但從格林互易定理入手可以大大簡化題目難度，快速求解.

如圖4所示，有無窮塊平行放置的正方形大導(dǎo)體板，每塊邊長均為L，相鄰兩板彼此相對的兩個表面的問距均為d,d?L.將這些導(dǎo)體板從左至右順次編號為1,2,…，n，….開始每板上都帶有凈電荷,已知第1塊板上的凈電荷量為q1(設(shè)q1>0)，第n塊板上的凈電荷量qn=nq1，現(xiàn)將第1塊和第n塊導(dǎo)體板接地.忽略邊緣效應(yīng)，1)忽略n塊極板之后的極板，第n塊導(dǎo)體板上流入大地的電荷量Δqn為q1的多少倍？2)假設(shè)只有n塊極板，上述兩板接地后n塊板中哪塊板上的電勢最高？

圖4 無窮平行板電容器

現(xiàn)在用格林互易定理進(jìn)行求解.由題意可知，當(dāng)?shù)?塊和第n塊導(dǎo)體板接地后，這兩塊板電荷量發(fā)生改變，所有極板的電勢也發(fā)生了改變，但n極板之后的極板則可設(shè)第1～n塊極板的總電荷量和電勢分別為：

(Q1,2q1,3q1,…,(n-1)q1,Qn)，

(0,U2,U3,…,Un-1,0)

(30)

對于第1問：改變導(dǎo)體板上的電荷量，使第一塊板子帶電荷量為-Q，最后一塊板子帶電荷量為Q，中間板子都不帶電.并且第一塊板子接地，最后一塊板子不接地.令C為相鄰兩板間的電容則板子的電荷量和電勢分別為：

(-Q,0,0,…,0,Q)，

(31)

利用格林互易定理可得

(32)

計算可得

(33)

最后即可解出答案為

(34)

(0,0,…,-q,q,0,…,0)，

(35)

將其與題目所得條件進(jìn)行格林互易，則得到

(36)

與式(33)聯(lián)立可得

(37)

要將3k(k+1)與n(n+7)進(jìn)行比較，當(dāng)這兩者相接近時，取兩者差值的絕對值較小時的k.

2.4 鏡像法、本征展開法與格林互易定理比較

通過2.1—2.3節(jié)，可以看出鏡像法、本征展開法與格林互易定理在求解靜電學(xué)問題時各有千秋.考慮到在郭碩鴻著《電動力學(xué)》這本國內(nèi)大學(xué)物理系廣泛使用的教材中沒有介紹用格林互易定理法，在表1中詳細(xì)從適用條件、解題思路和優(yōu)缺點(diǎn)3方面分析了3種解題方法的優(yōu)劣.

表1 鏡像法、本征展開法與格林互易定理比較

3 檢驗(yàn)拉馬努金無限求和公式的理想實(shí)驗(yàn)

拉馬努金是印度歷史上最著名的數(shù)學(xué)家之一，提出了很多以其名字命名的數(shù)學(xué)恒等式.其中最著名的公式之一為

(38)

式(38)可以通過解析延拓黎曼ζ函數(shù)的定義域(ζ函數(shù)正則化)而得到.式(38)雖然數(shù)學(xué)非常合乎邏輯，但卻給出有悖常理的結(jié)果，違反了數(shù)學(xué)直覺，但式(38)在物理上有巨大應(yīng)用.例如，在玻色子弦理論中[7]，式(38)被用來計算無限次量子諧振的總能量.這個事實(shí)也被用來說明弦理論在26維以外的維度上是不一致的.式(38)也被用來計算一維標(biāo)量場的卡西米爾力[8]，其中式(38)中的負(fù)號反映了卡西米爾力是吸引力.式(38)驚人的結(jié)果也可在量子力學(xué)其它領(lǐng)域以及未來更多領(lǐng)域得到應(yīng)用.

考慮式(38)的有悖常理的反直覺性，本文提出一個理想實(shí)驗(yàn)來檢驗(yàn)式(38).下面本文將2.3節(jié)的例題改進(jìn)成為一個理想實(shí)驗(yàn)，通過先驗(yàn)(priori)的邏輯方式，基于格林互易定理來對式(38)進(jìn)行可視化實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證.下面設(shè)計如下理想實(shí)驗(yàn)：

1) 如同2.3節(jié)中的圖4，將首尾兩個平行板接地，中間等間距插入無窮多個平行板，并且首尾極板之間的距離有限，極板與極板間距遠(yuǎn)小于平行板的長度；

3) 格林互易定理仍然適用于改進(jìn)的理想實(shí)驗(yàn).仿照2.3節(jié)第1個問題的做法得到

(39)

其中式(39)右邊括號中涉及無窮項(xiàng)求和的問題.

上述驗(yàn)證拉馬努金公式(38)的實(shí)驗(yàn)方案提供了檢驗(yàn)一類代數(shù)求和公式的物理方法.該方法的核心要點(diǎn)為：上述步驟2中所要求的第K塊板上的凈電量與q1之間的關(guān)系要盡量簡單并實(shí)驗(yàn)可行.據(jù)此，可以根據(jù)格林互易定理檢驗(yàn)如下代數(shù)求和公式.

(40)

(41)

(42)

總之，本文希望通過構(gòu)造基于格林互易定理的理想物理實(shí)驗(yàn)去檢驗(yàn)一些數(shù)學(xué)恒等式，使得抽象的數(shù)學(xué)公式變得物理可視化，為物理和數(shù)學(xué)有機(jī)結(jié)合提供新思路.另外，我們相信可以將此方法擴(kuò)展到檢驗(yàn)其他一些具有物理重要性的數(shù)學(xué)公式中去.

4 總結(jié)

雖然很多教課書中給出了格林互易定理證明，但為了保持本文理論框架的完整和自洽性，首先，本文對格林互易定理進(jìn)行了嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證明并說明其適用條件；其次，通過幾個對稱性的靜電學(xué)實(shí)例，比較了鏡像法、本征展開法和格林互易定理法在求解靜電學(xué)問題時的優(yōu)劣.可知鏡像法只適用于所考慮區(qū)域內(nèi)只有一個或幾個自由電荷并且區(qū)域邊界是導(dǎo)體或者介質(zhì)界面的情形；本征展開法只適用于所考慮區(qū)域內(nèi)沒有自由電荷分布的并且界面形狀必須是簡單的幾何曲面的情形；而格林互易定理除了適用于前兩種情形還可以求解一些電容或帶電圓環(huán)等問題，充分體現(xiàn)了其在處理靜電問題上的優(yōu)勢；最后，本文基于格林互易定理以拉馬努金無限求和公式和其他幾個常見的數(shù)學(xué)恒等式為例，提出了一種利用理想物理實(shí)驗(yàn)檢驗(yàn)一類代數(shù)求和公式的方法，希望數(shù)學(xué)和物理有機(jī)結(jié)合，相互促進(jìn)發(fā)展.