杜志偉 孫傳彬

(渦陽縣第四中學 安徽亳州 233600)

一、問題的提出

數(shù)系從實數(shù)擴充到復(fù)數(shù)，乘法的運算性質(zhì)保持不變，人教版教材在處理這部分內(nèi)容時，直接給出復(fù)數(shù)的乘法法則，筆者在教學過程中，發(fā)現(xiàn)學生對這種“數(shù)學規(guī)定”產(chǎn)生了一定的困惑。究其原因，是學生在經(jīng)歷數(shù)系擴充的過程中，沒有系統(tǒng)地理解這些“數(shù)學規(guī)定”。如何讓學生理解復(fù)數(shù)乘法的“數(shù)學規(guī)定”呢？《普通高中數(shù)學課程標準(2017年版2020年修訂)》指出，落實核心素養(yǎng)，需要更新教學內(nèi)容，優(yōu)化知識結(jié)構(gòu)，重視以學科大概念為核心，使課程內(nèi)容結(jié)構(gòu)化。為此，筆者以“數(shù)系擴充中的數(shù)學規(guī)定”作為大概念，將復(fù)數(shù)的乘法法則作為主要內(nèi)容，圍繞大概念設(shè)計主要問題，實施單元教學。

二、單元教學整體設(shè)計

單元教學設(shè)計是以教材為基礎(chǔ)，運用系統(tǒng)論方法對教材中“具有某種內(nèi)在關(guān)聯(lián)”的內(nèi)容進行分析、重組、整合，并形成相對完整的單元教學設(shè)計。如何整合“具有某種內(nèi)在關(guān)聯(lián)”的內(nèi)容，國內(nèi)外很多專家把目光聚焦于學科大概念，以大概念為錨點，分析數(shù)學知識的結(jié)構(gòu)，研究數(shù)學知識的本質(zhì)。借鑒已有研究成果，本文采用“總—分—總”設(shè)計模式,主要設(shè)計路徑如下：

《普通高中數(shù)學課程標準(2017年版2020年修訂)》指出，本單元的學習，讓學生理解引入復(fù)數(shù)的必要性，了解數(shù)系的擴充，掌握復(fù)數(shù)的表示、運算及其幾何意義。具體內(nèi)容包括：復(fù)數(shù)的概念、復(fù)數(shù)的運算、復(fù)數(shù)的三角表示。本章內(nèi)容突出幾何直觀和代數(shù)運算之間的融合，重點讓學生感悟數(shù)學知識之間的關(guān)聯(lián)，加強學生對數(shù)學整體性的認識，從而培養(yǎng)學生數(shù)學運算和直觀想象素養(yǎng)。

學科大概念是指能反映學科本質(zhì)，具有廣泛適用性和解釋力的原理、思想和方法，它能將多樣化的數(shù)學概念連接為統(tǒng)一的整體，從而避免當下教學設(shè)計過于注重單個知識點和學生學習過于碎片化的現(xiàn)象。本單元研究的主要問題是數(shù)系擴充過程中的新概念、數(shù)的表示、運算法則及其幾何意義。在數(shù)系的擴充過程中，如何定義一類新的數(shù)，如何規(guī)定它的運算性質(zhì)及其幾何意義等，教材都做了規(guī)定，學生需要探究的是為什么這么規(guī)定以及這些“數(shù)學規(guī)定”的合理性。因此，將本單元的大概念提煉為“數(shù)系擴充中的數(shù)學規(guī)定”。

本單元的學習，學生要掌握復(fù)數(shù)的概念、表示、運算和幾何意義，因而復(fù)數(shù)的學習可以類比實數(shù)的學習，二者的運算和幾何意義，具有很多的相似性，如實數(shù)可以和數(shù)軸上的點建立一一對應(yīng)關(guān)系，復(fù)數(shù)可以和平面上的向量建立一一對應(yīng)關(guān)系，只是前者是一維的，后者是二維的。圍繞大概念“數(shù)系擴充中的數(shù)學規(guī)定”，本單元教學目標設(shè)計如下。

單元教學中如何滲透大概念，如何完成單元目標中的“所知、所能和所成”，需要教師設(shè)計基本問題。基本問題要具有明確的指向性和驅(qū)動性，指向大概念的理解和掌握，驅(qū)使學生具備理解大概念所需要掌握的知識和能力，最終發(fā)展其數(shù)學核心素養(yǎng)。下面以復(fù)數(shù)的乘法為例，設(shè)計單元教學基本問題。

問題2 對于數(shù)列1,x,-1，你能否找到一種運算，將1轉(zhuǎn)變?yōu)閤，再將x轉(zhuǎn)變?yōu)?1？

追問1 計算i，i2，i3的值，你發(fā)現(xiàn)了什么？這里面包含了什么運算？

追問2 從復(fù)數(shù)的幾何表示出發(fā)，解釋i·i的幾何含義。

追問3 類比上面處理問題的方法，你能否解釋1·i，1·i·i的幾何含義？

圖1 復(fù)數(shù)的幾何解釋

問題3 你是如何理解教材中對復(fù)數(shù)乘法法則的規(guī)定的？

追問1 你在什么地方也遇到過這樣的“規(guī)定”？

追問2 這些“數(shù)學規(guī)定”在某種程度上有沒有共性？

追問3 這樣的“數(shù)學規(guī)定”有什么意義？

從小學到高中有許多“數(shù)學規(guī)定”，如0乘任何數(shù)都等于0，a0=1，空集是任何集合的子集。如何將這些“數(shù)學規(guī)定”聯(lián)系起來，幫助學生發(fā)現(xiàn)這些“數(shù)學規(guī)定”的共性和合理性，是本節(jié)課的教學難點。本節(jié)課以“數(shù)系擴充中的數(shù)學規(guī)定”作為大概念，引導(dǎo)學生探究小學、初中和高中遇到的“數(shù)學規(guī)定”。在學生暢所欲言后，教師可適當作一些歸納總結(jié)。數(shù)學課程中的“規(guī)定”具有一定的思想性：(1)確定性。如函數(shù)定義中的“確定性”是為了讓函數(shù)模型符合實際，質(zhì)數(shù)不包含1是為了保證任何一個合數(shù)分解成質(zhì)數(shù)的形式唯一；(2)辯證統(tǒng)一性。在數(shù)系擴充的過程中，要讓新的運算符合相應(yīng)的規(guī)律或者規(guī)則，不能僅僅憑自身判斷，如無理數(shù)指數(shù)冪、有理數(shù)指數(shù)冪運算遵循整數(shù)指數(shù)冪運算法則，規(guī)定20=1而不是0，是因為20=22÷22。

問題4 請?zhí)骄繌?fù)數(shù)乘法是否滿足交換律、結(jié)合律和乘法對加法的分配律。

追問1 你將如何證明復(fù)數(shù)乘法的運算律？

追問2 結(jié)合實數(shù)和復(fù)數(shù)乘法運算律，再次感受“數(shù)學規(guī)定”的意義。

探究復(fù)數(shù)乘法運算律是研究一類新的運算的必經(jīng)之路，課本以探究題的形式，引導(dǎo)學生發(fā)現(xiàn)并證明復(fù)數(shù)乘法的運算律。學生通過探究，不僅可以發(fā)現(xiàn)復(fù)數(shù)乘法的運算方法，同時還能發(fā)現(xiàn)復(fù)數(shù)乘法和實數(shù)乘法具有一定的一致性。在探究問題的過程中，教師要做好引導(dǎo)。以乘法的交換律證明為例，首先引導(dǎo)學生探究z1，z2，z3∈C，等式z1·z2=z2·z1是否成立？其次，以其中某一等式為例，引導(dǎo)學生嘗試證明，并予以示范。學生在證明的過程中，將體會到復(fù)數(shù)的乘法要依托實數(shù)的乘法，同時這種嚴密的思維訓練將為大學線性代數(shù)的學習打下基礎(chǔ)。

問題5 試探究復(fù)數(shù)乘法的幾何意義。

追問1 借助圖形，表示復(fù)數(shù)加法的幾何意義。

追問2 復(fù)數(shù)的乘法與向量有沒有關(guān)系？請說明原因。

追問3 將1轉(zhuǎn)變?yōu)閤，再將x轉(zhuǎn)變?yōu)?1時有沒有出現(xiàn)乘法，乘的是什么？其幾何含義是什么？

追問4 你覺得復(fù)數(shù)的乘法與什么有關(guān)？

問題6 你能不能引進新的量來表示復(fù)數(shù)和復(fù)數(shù)的乘法？

追問1 如圖(見圖2)，設(shè)復(fù)數(shù)z滿足|z|=r，∠xOz=θ，求復(fù)數(shù)z.(將復(fù)數(shù)z寫成a+bi的形式)

圖2 復(fù)數(shù)的三角表示

追問2 已知z1=r1(cosθ1+isinθ1)，z2=r2(cosθ2+isinθ2)，求z1·z2。

追問3 用圖形來表示追問2中的z1·z2。

追問4 復(fù)數(shù)的乘法的幾何意義是什么？

追問5 設(shè)復(fù)數(shù)z滿足(1+i)z=2i，求|z|.

大概念單元教學評價以形成性評價為主，根據(jù)教師設(shè)計的表現(xiàn)性任務(wù)，重點關(guān)注學生的思考過程、行為表現(xiàn)和情感態(tài)度，即什么證據(jù)能表明學生或協(xié)作小組已經(jīng)深入思考了這些問題，并表現(xiàn)出積極修訂、積累經(jīng)驗的傾向。本單元的學習評價主要考查學生對數(shù)系擴充的理解水平，根據(jù)各層次的表現(xiàn)性任務(wù)，評價要點如下表(見表1)所示。

表1 學習評價表

三、課堂教學反思與建議

以大概念為核心的單元教學設(shè)計的主要特征有關(guān)聯(lián)性和整體性，在復(fù)數(shù)乘法的單元教學設(shè)計中，以“數(shù)系擴充中的數(shù)學規(guī)定”作為大概念，將有理數(shù)到實數(shù)的擴充過程中的思想方法應(yīng)用到本單元中，同時復(fù)數(shù)的乘法又將復(fù)數(shù)的幾何意義、復(fù)數(shù)的加法和三角表示串聯(lián)起來，促進學生整體上建構(gòu)數(shù)學知識體系。

(一)以大概念為錨點，保證課程結(jié)構(gòu)的完整性

數(shù)學知識之間具有嚴密的邏輯關(guān)系，且這種關(guān)系是一種具有層次的網(wǎng)狀結(jié)構(gòu)，以教材為主的單元(章節(jié))和以發(fā)展學生核心素養(yǎng)為目的重組的“大單元”，在一定程度上能幫助學生探究數(shù)學知識間的關(guān)系，從而建構(gòu)知識體系。如何組織單元教學，需要以學科大概念為錨點，不僅能在橫向上精選知識，完善知識結(jié)構(gòu)，而且能在縱向上促進小初高銜接。

(二)以基本問題為核心，提高學生的數(shù)學理解能力

如何在教學中落實核心素養(yǎng)？需要教師圍繞大概念，設(shè)計促進學生理解大概念的基本問題?；締栴}的設(shè)計要考慮學生的數(shù)學經(jīng)驗和生活經(jīng)驗，從學生的實際生活出發(fā)，聯(lián)系學生已有的數(shù)學知識和方法，以促進學生概念進階為目的，以發(fā)展學生數(shù)學核心素養(yǎng)為目標，選擇恰當?shù)膯栴}、設(shè)置合理的表現(xiàn)性任務(wù)，幫助學生對知識進行選擇、加工和處理，促進學生對數(shù)學知識的理解。