雷東俠，尚 童，歐志英

(蘭州理工大學(xué)理學(xué)院，蘭州 730050)

許多學(xué)者研究了彈性波在層狀介質(zhì)中的傳播問題。Daros等人[1-2]采用格林函數(shù)法研究了波在連續(xù)非均勻介質(zhì)中的傳播問題，證明了顫變公式可以用來推導(dǎo)具有線性速度變化的非均勻介質(zhì)的基本解。Achenbach[3]根據(jù)拓展互易定理，研究了在半空間中剪切模量和質(zhì)量密度隨深度變化的SH波，將速度與波數(shù)及剪切模量和質(zhì)量密度的深度依賴關(guān)系的函數(shù)聯(lián)系起來。為了研究非均勻介質(zhì)中的波傳播特性，有人根據(jù)復(fù)變函數(shù)理論，研究了剪切模量和密度是一維變化的SH波散射問題。還有人對SH波在半空間、全空間中密度變化的一系列問題進(jìn)行了研究。

隨著納米技術(shù)的快速發(fā)展，許多學(xué)者研究了納米尺度下的波動(dòng)理論。Fang等人研究了表界面剛度對嵌入在承受反平面剪切波的半空間中的圓柱形納米非均勻性周圍的動(dòng)應(yīng)力集中問題。Ou等人在研究單個(gè)或兩個(gè)納米涂層孔洞時(shí)引入波函數(shù)展開法，討論了界面能對模型的影響。

1 理論模型和分析

1.1 模型的分析

如圖1所示，在彈性空間中存在一個(gè)納米尺度下二維近似線性非均勻介質(zhì)的圓柱形空腔，一列穩(wěn)態(tài)入射平面SH波在非均勻介質(zhì)內(nèi)沿x軸方向水平傳播。

圖1 二維變密度介質(zhì)中納米圓柱形空腔對SH波的散射Fig.1 Scattering of SH waves by nanocylindrical cavities in the two-dimensional variable density medium

假設(shè)介質(zhì)的剪切模量μ質(zhì)量密度是二維，且隨著x方向和y方向變化而變化，密度的表達(dá)式為：

ρ(x,y)=ρ0[4α2(x2+y2)+4αβx+β2]

(1)

其中，ρ0是介質(zhì)的參考質(zhì)量密度，α和β是非均勻參數(shù)。根據(jù)彈性介質(zhì)的性質(zhì)，非均勻參數(shù)α和β不能同時(shí)為0。

據(jù)波數(shù)k和密度ρ間的關(guān)系，波數(shù)可表示為：

(2)

1.2 控制方程

考慮到密度的變化，假設(shè)存在一個(gè)簡諧相應(yīng)且忽略體力，非均勻介質(zhì)的波動(dòng)方程可表示為：

(3)

基于復(fù)變函數(shù)理論，將式(2)代入(3)可得到：

(4)

為了將變系數(shù)的Helmholtz方程轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)的Helmholtz方程，引入新的復(fù)變量：

(5)

將式(5)代入(4)可得：

(6)

2 位移場和應(yīng)力場

考慮無限大非均勻介質(zhì)中的位移場和應(yīng)力場，水平入射波表達(dá)式為：

(7)

其中，w0是入射波的振幅。

(8)

(9)

(10)

(11)

將式(7)代入式(10)和(11)，可得到入射波的應(yīng)力表達(dá)式：

(12)

(13)

因介質(zhì)中存在圓柱形孔洞，則孔洞周圍引起的散射波的表達(dá)式可寫為：

(14)

將式(14)代入式(10)和(11)，可得到散射波的應(yīng)力表達(dá)式：

(15)

(16)

在非均勻介質(zhì)中，總波場為：

w=w(i)+w(s)

(17)

3 邊界條件

根據(jù)表面彈性理論，將各向同性材料的本構(gòu)關(guān)系引入到納米尺度下，得到其邊界條件為：

(18)

利用方程(18)可求得未知系數(shù)An的表達(dá)式為：

(19)

將式(19)兩邊同時(shí)乘以e-imθ，且在區(qū)間(-π,π)上對角度θ進(jìn)行積分，可得到有關(guān)未知系數(shù)An的方程組：

(20)

通常用圓形空腔邊界處的DSCF來評價(jià)動(dòng)應(yīng)力集中的程度，其定義為：

(21)

其中，τθz是環(huán)向應(yīng)力，τ0=μk0w0。

4 算例分析

主要研究兩個(gè)非均勻參數(shù)滿足β/α<5。根據(jù)動(dòng)應(yīng)力集中因子的定義可知，考慮表面效應(yīng)時(shí)，兩個(gè)非均勻參數(shù)α和β、入射波波數(shù)k0和表面參數(shù)s都對DSCF的變化有一定的影響。

由圖2可知，與已有的文獻(xiàn)結(jié)果相比較，當(dāng)s→0時(shí)，動(dòng)應(yīng)力集中因子與s=0，即不考慮表面效應(yīng)時(shí)結(jié)果是一致的。

圖2 當(dāng)α=0.5，β=1，k0R=1時(shí)，表面效應(yīng)s對DSCF的影響Fig.2 Influence of surface effect s on DSCF when α=0.5, β=1 and k0R=1

圖3表示，以低頻波數(shù)k0=0.1入射時(shí)，隨著s的增大，動(dòng)應(yīng)力集中因子逐漸減小，且不均勻性使DSCF的最值出現(xiàn)在波背面，其最大值出現(xiàn)在θ=π/3和θ=5π/6處，最小值出現(xiàn)在θ=0和θ=π處。

圖3 當(dāng)α=0.4，β=1，k0R=0.1時(shí)，表面效應(yīng)s對DSCF的影響Fig.3 Influence of surface effect s on DSCF when α=0.4, β=1 and k0R=0.1

圖4表示以高頻波數(shù)k0=2入射時(shí)，隨著s的增大，動(dòng)應(yīng)力集中因子變化不規(guī)則且出現(xiàn)多個(gè)波峰和波谷。最大值隨著s的增大逐漸減小，最小值出現(xiàn)在θ=0和θ=π處。

圖4 當(dāng)α=0.4，β=1，k0R=2時(shí)，表面效應(yīng)s對DSCF的影響Fig.4 Influence of surface effect s on DSCF when α=0.4, β=1 and k0R=2

由圖5可知，以低頻波數(shù)k0=0.1入射時(shí)，圖形關(guān)于x軸對稱。隨著表面參數(shù)s的增大，動(dòng)應(yīng)力集中因子逐漸減小，且陰影側(cè)的DSCF分布比光照側(cè)的更復(fù)雜。

圖5 當(dāng)α=1.5，β=0.2，k0R=0.1時(shí)，表面效應(yīng)s對DSCF的影響Fig.5 Influence of surface effect s on DSCF when α=1.5, β=0.2 and k0R=0.1

由圖6可知，以高頻波數(shù)k0=2入射時(shí)，隨著表面參數(shù)s的增大，動(dòng)應(yīng)力集中因子先減小后增大且變化復(fù)雜，出現(xiàn)多個(gè)峰值和波谷。

圖6 當(dāng)α=1.5，β=0.2，k0R=2時(shí)，表面效應(yīng)s對DSCF的影響Fig.6 Influence of surface effect s on DSCF when α=1.5, β=0.2 and k0R=2

5 結(jié)論

利用復(fù)變函數(shù)法和保角變化，討論了納米尺度下二維近似線性非均勻介質(zhì)中圓柱形空腔對平面SH波的散射問題。通過數(shù)值模擬可得：在納米尺度下圓柱形空腔邊界處的應(yīng)力集中變化顯著，當(dāng)非均勻參數(shù)α<β時(shí)，表面參數(shù)s越小，動(dòng)應(yīng)力集中因子分布比較均勻；當(dāng)非均勻參數(shù)α>β時(shí)，表面參數(shù)s越大，動(dòng)應(yīng)力集中分布越復(fù)雜。在納米尺度下，隨著波數(shù)的增加，動(dòng)應(yīng)力集中因子逐漸向陰影側(cè)移動(dòng)。