陜西師范大學(xué)附屬中學(xué) (710061) 李鑫明 張錦川

題目證明：對(duì)于任意ΔABC，不等式acosA+bcosB+ccosC≤p成立，其中a,b,c為ΔABC的三邊，A,B,C分別為它們的對(duì)角，p為半周長(zhǎng).

反思：本解法利用余弦定理將不等式中的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化成邊長(zhǎng)的式子，從而達(dá)到了不等式形式上的統(tǒng)一，接著利用均值不等式及舒爾不等式即可證明原不等式.

反思：本解法利用正弦定理將不等式中的邊長(zhǎng)轉(zhuǎn)化成三角函數(shù)的式子，從而也達(dá)到了不等式形式上的統(tǒng)一，利用三角恒等變換將原式化簡(jiǎn)，最后利用詹森不等式即可得到原不等式的證明.

解法3：不妨設(shè)a≤b≤c，則有cosA≥cosB≥cosC，由排序不等式可得acosA+bcosB+ccosC≤acosB+bcosC+ccosA(1)，acosA+bcosB+ccosC≤acosC+bcosA+ccosB(2).(1)式加(2)式可得2(acosA+bcosB+ccosC)≤(ccosB+bcosC)+(acosB+bcosA)+(acosc+ccosA)即2(acosA+bcosB+ccosC)≤a+c+b，即acosA+bcosB+ccosC≤p.

反思：本解法并未將不等式中的邊角統(tǒng)一化，而是結(jié)合射影定理和排序不等式，通過(guò)計(jì)算，將邊角直接化為邊，證明過(guò)程較為巧妙.