江蘇省泰州市第二中學附屬初中 (225300) 王紅梅

直角三角形是最為常見的幾何圖形，它的好多特有性質(zhì)有著廣泛的應用.有些代數(shù)問題，若能依據(jù)條件或結(jié)論提供的信息，恰當?shù)貥?gòu)造出符合題意的直角三角形“模型”，則不僅可以獲得一個新穎、奇妙的解題方法，而且能夠激發(fā)學習興趣，培養(yǎng)求異和創(chuàng)新思維能力.本文主要介紹如何構(gòu)造直角三角形求最大值和最小值，供中學師生教學參考.

一、最大值問題

本題難度較大，用一般方法不易求解，且過程十分繁瑣.于是考慮構(gòu)造直角三角形將數(shù)轉(zhuǎn)化為形求解.

圖1

分析：先將x2+8x+25配方得(x+4)2+32，再根據(jù)根號下兩數(shù)的平方和，聯(lián)想到勾股定理構(gòu)造直角三角形結(jié)合三角形中兩邊之差小于第三邊求解.

圖2

圖3

二、最小值問題

分析：根號下是兩數(shù)的平方和，聯(lián)想到勾股定理，構(gòu)造直角三角形，根據(jù)“兩點之間，線段最短”，確定其最小值，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)確定x的值.

圖4

分析：若直接求解，比較困難，但注意到所求式子的特點，則可構(gòu)造直角三角形求解，就容易多了.

圖5

圖6

圖7

圖8

綜上所述可知，構(gòu)造直角三角形求代數(shù)式的最大值和最小值問題，其關鍵在于要從問題的背景出發(fā)，根據(jù)題設的結(jié)構(gòu)特征，構(gòu)造出相應的圖形求解，有助于培養(yǎng)邏輯推理和直觀想象能力.這種數(shù)形結(jié)合的方法，充分體現(xiàn)了數(shù)學的和諧美，實現(xiàn)了抽象思維與形象思維之間的轉(zhuǎn)換，符合新課程改革的理念要求，對于啟迪學生思維，開拓學生視野，提高綜合解題水平大有益處.