何皓軒 史仟芝 楊莎 劉家興

摘?要：根據(jù)夫瑯禾費(fèi)衍射的基本原理，利用MATLAB仿真模擬圓孔和矩形孔的夫瑯禾費(fèi)衍射，觀察孔徑大小與夫瑯禾費(fèi)衍射圖樣的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)孔徑越小，衍射現(xiàn)象越明顯。接著通過矩形孔和圓形孔互為內(nèi)接圓和外接圓的關(guān)系進(jìn)行對(duì)比，研究衍射屏形狀對(duì)夫瑯禾費(fèi)衍射圖樣的影響，分析其夫瑯禾費(fèi)衍射圖樣的特征，衍射圖樣對(duì)孔的形狀有較大的依賴關(guān)系，且在孔徑大小相當(dāng)?shù)那闆r下，矩孔的夫瑯禾費(fèi)衍射比圓孔的夫瑯禾費(fèi)衍射更加明顯。計(jì)算機(jī)仿真能快速、準(zhǔn)確的改變衍射屏的形狀和大小，這對(duì)學(xué)生形象、直觀的理解夫瑯禾費(fèi)衍射提供一種有益的輔助手段。

關(guān)鍵詞：夫瑯禾費(fèi)衍射;MATLAB仿真;圓孔;矩形孔

中圖分類號(hào)：O436.1?文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

Abstract：According to the basic principle of Fraunhofer diffraction，the Fraunhofer diffraction of circular hole and rectangular hole is simulated by MATLAB，The relationship between the aperture size and Fraunhofer diffraction pattern was observed，and found that the smaller the aperture，the more obvious the diffraction phenomenon.Then，the influence of the shape of the diffraction screen on the Fraunhofer diffraction pattern is studied and the characteristics of the Fraunhofer diffraction pattern are analyzed，The diffraction pattern has a great dependence on the shape of the hole，and the Fraunhofer diffraction of the distance hole is more obvious than that of the circular hole when the aperture size is the same.It has a certain reference significance for students to understand Fraunhofer diffraction vividly and intuitively.

Keywords：Fraunhofer diffraction;MATLAB simulation;circular hole;Rectangular hole

1 概述

光繞過障礙物偏離直線繼續(xù)向前傳播而進(jìn)入幾何陰影，并在屏幕上出現(xiàn)光強(qiáng)分布不均勻的現(xiàn)象稱為光的衍射，光的衍射現(xiàn)象是說明光波動(dòng)性的實(shí)驗(yàn)依據(jù)，而夫瑯禾費(fèi)衍射實(shí)驗(yàn)是大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)的基礎(chǔ)實(shí)驗(yàn)之一[1-3]。認(rèn)識(shí)衍射現(xiàn)象的圖樣特征是大學(xué)物理教學(xué)中必須掌握的內(nèi)容，但在現(xiàn)實(shí)生活中光的衍射現(xiàn)象是不明顯的，通常情況下不易為人們所覺察，而在實(shí)驗(yàn)室中，雖然夫瑯禾費(fèi)衍射實(shí)驗(yàn)簡(jiǎn)單易做，但是實(shí)驗(yàn)中所選用的衍射屏的形狀、大小相對(duì)單一，并且當(dāng)衍射條件改變時(shí)衍射圖樣的變化有時(shí)肉眼是較難分辨出來的，不能很好地反映衍射圖樣與衍射屏的形狀、孔徑大小的關(guān)系，因此需要借助計(jì)算機(jī)來對(duì)衍射圖樣進(jìn)行仿真模擬，達(dá)到對(duì)衍射現(xiàn)象的直接觀察和理解的目的[4-6]。文中通過理論分析，利用MATLAB軟件進(jìn)行仿真，模擬圓孔和矩孔的夫瑯禾費(fèi)衍射圖像，對(duì)比不同衍射屏孔的形狀和大小的衍射圖樣關(guān)系。

2 夫瑯禾費(fèi)衍射原理

在光學(xué)上，夫瑯禾費(fèi)衍射（以約瑟夫·馮·夫瑯禾費(fèi)命名），又稱遠(yuǎn)場(chǎng)衍射，是波動(dòng)衍射的一種，在場(chǎng)波通過圓孔或狹縫時(shí)，衍射光強(qiáng)重新進(jìn)行分布的一種現(xiàn)象。在標(biāo)量衍射的理論中，夫瑯禾費(fèi)近似是在菲涅耳衍射積分遠(yuǎn)場(chǎng)近似的進(jìn)一步處理的基礎(chǔ)上得到的，其計(jì)算公式如下[7]：

2.1 圓孔夫瑯禾費(fèi)衍射原理

如果在觀察夫瑯禾費(fèi)單縫衍射的裝置中，用小圓孔代替狹縫，仍以激光作為光源，那么可以觀察到夫瑯禾費(fèi)圓孔衍射圖樣，夫瑯禾費(fèi)圓孔衍射在屏上任一點(diǎn)的光強(qiáng)為[8]：

式中θ表示衍射角，R為圓孔半徑，λ為光的波長(zhǎng)。

2.2 矩形孔夫瑯禾費(fèi)衍射原理

在觀察夫瑯禾費(fèi)單縫衍射的裝置中，若用矩形孔代替狹縫，仍以激光作為光源，那么可以觀察到夫瑯禾費(fèi)矩形孔衍射圖樣，夫瑯禾費(fèi)矩形孔衍射的強(qiáng)度分布公式為[8]：

3 夫瑯禾費(fèi)衍射的Matlab仿真

3.1 夫瑯禾費(fèi)圓孔衍射的Matlab仿真

根據(jù)公式（3），利用Matlab軟件進(jìn)行編程運(yùn)算，在入射光波長(zhǎng)和其他條件保持不變的情況下，如λ=632.8nm，當(dāng)圓孔半徑R=1mm時(shí)，衍射圖樣如圖1所示，衍射圖是一組同心的明暗相間的圓環(huán)，中央亮斑的光強(qiáng)很強(qiáng)，遠(yuǎn)大于第二亮環(huán)的光強(qiáng)，從中央亮斑向外，隨著級(jí)次的增加，條紋寬度變窄，與參考教材[5，6]對(duì)比現(xiàn)象一致，且衍射效果更加明顯;改變圓孔的半徑，如圓孔半徑當(dāng)R=0.1mm和R=001mm時(shí)，衍射圖樣分別如圖2和圖3所示，由圖可知，在其他條件不變的情況下，隨著半徑的減小，衍射圖樣中央亮斑變大，衍射條紋變寬，分布比較分散，衍射圖樣更加明顯，衍射寬度與圓孔尺寸成反比，即圓孔的尺寸越小衍射光斑的尺寸越大。

3.2 夫瑯禾費(fèi)矩孔衍射的Matlab仿真

根據(jù)公式（4），利用Matlab軟件進(jìn)行編程運(yùn)算，在入射光波長(zhǎng)保持不變的情況下，如λ=632.8nm，當(dāng)矩孔邊長(zhǎng)a=1mm，b=5mm時(shí)，衍射圖樣如圖4所示，衍射亮斑集中分布在x軸和y軸上，呈“十”字狀，且x方向衍射比y方向的衍射更加明顯;隨著a的變大，y方向的衍射變得越來越明顯，如a=3mm，b=5mm時(shí)，衍射圖樣如圖5所示;當(dāng)a=5mm，b=5mm時(shí)的衍射圖樣如圖6所示，即當(dāng)a=b時(shí)，x方向的衍射和y方向的衍射一樣，所以，衍射擴(kuò)展與矩孔的寬度成反比，在哪個(gè)方向上限制，就在該方向上擴(kuò)展。通過圖4～6的三維圖還可以發(fā)現(xiàn)，衍射孔由長(zhǎng)方形變化到正方形的過程中，三維圖樣從扁平逐漸變?yōu)榱Ⅲw。

3.3 圓孔與矩孔夫瑯禾費(fèi)衍射的Matlab仿真對(duì)比

圓孔與矩形（正方形）孔對(duì)比，當(dāng)2R=a=b時(shí)，即圓孔大小為方形孔的內(nèi)接圓的衍射圖樣如表1所示，比較表1中A組和B組，圓孔的衍射圖樣為明暗相間的同心圓環(huán)，矩形孔的衍射圖樣為“十”字形明暗相間圖案，即夫瑯禾費(fèi)衍射圖樣對(duì)衍射屏的形狀有較大的依賴關(guān)系，且在圓孔的直徑等于正方形孔的邊長(zhǎng)的情況下，正方形孔衍射屏可觀察到的次最大級(jí)數(shù)更多，衍射現(xiàn)象更加明顯，三維圖形未有明顯差異。于是，又做了圓孔為正方形孔的外接圓的夫瑯禾費(fèi)衍射圖樣對(duì)比研究，即圓孔半徑和正方形邊長(zhǎng)滿足R2=a2+b2，（a=b）時(shí)的夫瑯禾費(fèi)衍射圖樣，如表2所示，還是發(fā)現(xiàn)矩孔的夫瑯禾費(fèi)衍射次最大級(jí)數(shù)多于同孔級(jí)別的夫瑯禾費(fèi)圓孔衍射，在三維圖像上矩孔比圓孔稍大，所以，在孔徑相差不大的情況下，矩孔（正方形孔）的夫瑯禾費(fèi)衍射比圓孔的夫瑯禾費(fèi)衍射更加明顯。

結(jié)語

本文利用夫瑯禾費(fèi)衍射標(biāo)量場(chǎng)理論，分別模擬了光在圓孔和矩孔情況下的夫瑯禾費(fèi)衍射圖樣，發(fā)現(xiàn)隨著孔尺寸的減小，衍射效果更加明顯，這與理論上是一致的。通過內(nèi)接圓和外接圓的對(duì)比，分析了孔形狀對(duì)夫瑯禾費(fèi)衍射衍射圖樣的影響，在孔徑相差不大的情況下，矩孔（正方形孔）的夫瑯禾費(fèi)衍射比圓孔的夫瑯禾費(fèi)衍射更加明顯，這充分體現(xiàn)了計(jì)算機(jī)模擬仿真可使教學(xué)手段更直觀、更豐富的特點(diǎn)。

參考文獻(xiàn)：

[1]陳嘉富，王智勇，于斌，等.單縫衍射仿真實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)及分析[J].大學(xué)物理，2020，39（12）：67-74.

[2]荊榮麗.MATLAB在大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)仿真中的應(yīng)用[D].長(zhǎng)安大學(xué)，2015.

[3]譚毅.矩孔夫瑯禾費(fèi)衍射圖樣的仿真研究[J].實(shí)驗(yàn)室研究與探索，2013，32（07）：41-42+125.

[4]丁震.MATLAB軟件在光學(xué)實(shí)驗(yàn)中的應(yīng)用[J].中學(xué)教學(xué)參考，2012，4（11）：63-64.

[5]陳蕾，余麗芳，霍童.復(fù)色光光柵衍射實(shí)驗(yàn)的MATLAB仿真[J/OL].物理與工程：1-4[2021-06-30].

[6]趙靚，南香伶，張林海，等.泊松亮斑的模擬仿真研究[J].大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)，2020，33（01）：82-84.

[7]梁銓廷.物理光學(xué)[M].北京：電子工業(yè)出版社，2018：154-213.

[8]姚啟鈞.光學(xué)教程[M].北京：高等教育出版社，1988：64-93.

項(xiàng)目：貴州師范學(xué)院大學(xué)生科研項(xiàng)目（2020DXS084）

作者簡(jiǎn)介：何皓軒（2000—?），男，漢族，貴州納雍人，貴州師范學(xué)院物理與電子科學(xué)學(xué)院2019級(jí)物理學(xué)本科生。

*通訊作者：劉家興（1985—?），男，貴州正安人，碩士，副教授，主要從事大學(xué)物理教學(xué)方面的研究工作。