劉錦貴（廣東省陽江市第一中學，廣東 陽江 529500）

一、內(nèi)容和內(nèi)容解析

本節(jié)課內(nèi)容是新人教A 版選擇性必修第一冊第三章第一節(jié)《橢圓》.在學習這部分內(nèi)容之前，我們學習了橢圓的定義及其標準方程，并且學習了使用定義及待定系數(shù)法求橢圓的標準方程，在曲線與方程中學習了直譯法求軌跡方程.本節(jié)課作為橢圓標準方程的第2 課時，重在處理課本108頁例題2 與例題3，從中得到形成橢圓的另一些方法，并從例題2 與例題3 中體會橢圓與圓之間的關(guān)系.

二、目標和目標解析

1.加深橢圓概念的理解，進一步探討生成橢圓的方法.

2.通過幾何直觀想象感受橢圓與圓之間的關(guān)系.

三、教學問題診斷分析

1.學生在初中時學習了直徑所對的圓周角是直角，垂徑定理，需要引導學生將這些學過的內(nèi)容與高中必修二中垂直與斜率相乘等于-1 聯(lián)系起來.

2.學生剛剛學習橢圓，對橢圓的概念及其標準方程掌握得還不夠深入，求軌跡方程的方法思路還有待加強.

3.在探究圓與橢圓之間的關(guān)系時，較為抽象，需借助多媒體輔助教學.

四、教學支持條件分析

學校教室已安裝西沃一體機，實物投影儀，幾何畫板.

五、教學過程設計

（一）復習回顧

1.定義：我們把平面內(nèi)與兩個定點F1，F(xiàn)2的距離的和等于常數(shù)（大于｜F1F2｜）的點的軌跡叫作橢圓.｜PF1｜＋｜PF2｜＝2a（2a＞｜F1F2｜）.

2.標準方程.

焦點在x軸：；

焦點在y軸：.

鞏固練習：已知點B（-3，0），C（3，0），且△ABC的周長為16，求頂點A的軌跡方程.

解：設點A的坐標為（x，y）.

因為｜AB｜＋｜AC｜＋｜BC｜＝16，

所以｜AB｜＋｜AC｜＝10＞｜BC｜.

由橢圓定義知點A的軌跡是橢圓，根據(jù)橢圓定義及標準方程可知2a＝10，c＝3.

所以b2＝a2-c2＝16，

所以頂點A的軌跡方程是.

設計意圖：幫助學生回顧橢圓的定義及標準方程，回顧求軌跡方程的一般思路，為接下來的內(nèi)容提供基礎.

（二）學習新知

例1如圖1，在圓x2＋y2＝4 上任取一點P，過點P作x軸的垂線段PD，D為垂足，當點P在圓上運動時，線段PD的中點M的軌跡是什么？為什么？

圖1

解：設點M的坐標為（x，y），點P的坐標為（x0，y0），

因為點P（x0，y0）在圓x2＋y2＝4 上，

把x0＝x，y0＝2y代入①得x2＋4y2＝4，即.

所以點M的軌跡是橢圓.

練習1：（課本115 頁第9 題）如圖2，DP⊥x軸，D為垂足，點M在DP的延長線上，且，當點P在圓x2＋y2＝4 上運動時，求點M的軌跡方程，并說明軌跡形狀.

圖2

解：設點M的坐標為（x，y），點P的坐標為（x0，y0），

因為點P（x0，y0）在圓x2＋y2＝4 上，

所以點M的軌跡是一個橢圓.

師生活動：

提出問題：從例1 中你能發(fā)現(xiàn)圓與橢圓之間的關(guān)系嗎？

學生回答：橢圓可以由圓壓縮得到.

從而得出形成橢圓的一個方法.

進一步提問1-1：回想一下有關(guān)圓的知識，你能想到什么？

學生回答：圓的定義，半徑，對稱，直徑所對的圓周角是直角，垂徑定理……

進一步提問1-2：回想必修二斜率知識，直徑所對的圓周角是直角，與斜率有什么關(guān)系？

學生回答：斜率相乘等于-1.

利用幾何畫板演示給學生看，如圖3 所示，讓學生觀察幾何畫板的動態(tài)演示.

圖3

進一步提問1-3：我們通過幾何畫板演示可以看到圓上的動點P滿足kAP×kBP＝-1，橢圓里面是否存在類似的結(jié)論呢？

學生回答：kAM×kBM＝-0.25，為負常數(shù).

進一步提問1-4：是否到兩個定點的斜率之積為一個負常數(shù)的動點的軌跡就是橢圓，請看例題3.

設計意圖：讓學生從直觀想象中觀察出圓與橢圓之間的關(guān)系，培養(yǎng)學生直觀想象的學科素養(yǎng)，為接下來例題2 的引出做好了鋪墊.

例2 如圖4 所示，設點A，B的坐標分別為（-5，0），（5，0）.直線AM，BM相交于點M，且它們的斜率之積是-，求點M的軌跡方程.

圖4

解：設點M的坐標為（x，y），

解：設點M的坐標為（x，y），則，

化簡得點M的軌跡方程為.

當t＞0 時，點M的軌跡是一條神秘曲線；

當t＝-1 時，點M的軌跡是圓；

當t＜0 且t≠-1 時，點M的軌跡是橢圓.

師生活動：

提問：你能得出什么結(jié)論呢？

學生回答：一個動點到兩個定點連線的斜率之積是一個負常數(shù)（不等于-1）的軌跡為橢圓，但要注意去掉不符合的兩個點.

進一步提問：這個負常數(shù)t是否具備什么特點？

設計意圖：讓學生認識到橢圓還有其他產(chǎn)生方式，感受橢圓蘊含著豐富的、奇妙的性質(zhì)，促使學生掌握坐標法、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想方法，并由淺入深，一步一步得到一些新的結(jié)論，為接下來的拓展做鋪墊.

（三）拓展思考

思考1：已知點A，B的坐標分別為（-a，0），（a，0），M是橢圓（a＞b＞0）異于A，B的一點，直線AM，BM的斜率之積是否為定值？如是，求出定值；反之，說明理由.

所以直線AM，BM的斜率之積為定值.

得出一個結(jié)論：直線AM，BM的斜率之積為定值.

思考2：已知A，B是橢圓＝1（a＞b＞0）上關(guān)于原點對稱的兩點，M是橢圓上異于A，B的一個動點，直線AM，BM的斜率都存在，且kAM·kBM≠0，請問：直線AM，BM的斜率之積是否還為定值？如是，求出定值；反之，說明理由.

解：設點M的坐標為（x，y），點A的坐標為（x1，y1），點B的坐標為（-x1，-y1），

所以直線AM，BM的斜率之積為定值.

得出一個結(jié)論：直線AM，BM的斜率之積為定值-.

拓展練習2：已知P是橢圓＝1（0＜m＜4）上任意一點，M，N是橢圓上關(guān)于坐標原點對稱的兩點，且直線PM，PN的斜率分別為k1，k2（k1k2≠0），若｜k1｜＋｜k2｜的最小值為1，則橢圓E的方程為_________________________.

圖5

解：連接BO并延長交橢圓于點B1，連接AB1，

因為M，O分別是AB，BB1的中點，

所以OM∥AB1，即kOM＝kAB1，

設計意圖：進一步體會圓與橢圓之間的關(guān)系，并形成一些相關(guān)的結(jié)論，為以后更好地學習有關(guān)橢圓的性質(zhì)奠定基礎.

六、教學反思

本節(jié)課由例題2 和例題3 得到形成橢圓的另外一些方法，并從得到這些方法的過程中，體會圓與橢圓之間的關(guān)系；同時，將圓中的有關(guān)結(jié)論推廣到橢圓中，得到有關(guān)橢圓的一些結(jié)論，并將得到的結(jié)論應用于解題中.在教學的過程中，教師應充分利用多媒體軟件輔助教學，讓學生更好地直觀想象、感受圓與橢圓的關(guān)系.