李國安（福建省永春第二中學，福建 泉州 362600）

例題可以是對學生知識掌握水平的一種檢驗和深化，也可以作為知識方法教授的有效策略.高中階段的數學例題對于學生來說具有較高的難度，實際上，小學數學教學重點考查學生對基礎知識的掌握程度，而初高中數學教學逐漸側重于學生對解題方法的靈活應用，因此，學生不僅要找到例題涉及的知識點，還要找到正確的解題思路和計算方法，這也是對學生綜合數學能力的一種考查.然而，傳統(tǒng)的高中數學沿用的題海戰(zhàn)術從某個角度來看只能通過經驗教學的途徑讓學生了解解題方法，卻難以真正實現(xiàn)融會貫通，學生需要的是能力上的提高，而非經驗提升.通過例題變式設計，教師注重對學生能力的培養(yǎng)，對數學例題進行轉變，實現(xiàn)一題多變，讓學生深入一道習題，拓展更多、更深的知識層面，避免對解題失去興趣，或者出現(xiàn)因學習轉移過快、例題難度過大而引發(fā)的畏難心理.

一、高中數學例題變式設計的應用意義

（一）引導學生發(fā)現(xiàn)、解決問題

問題是人學習的主要動力，有了問題就有了學習的方向和目的，因此，發(fā)現(xiàn)問題，探究問題，解決問題這一系列過程本身便是學習的理想狀態(tài).然而，根據目前高中階段學生的現(xiàn)狀分析，很多學生對于數學問題的認知多處于教材、教師、試卷之中，他們的數學學習過程也大多集中于這些來源的問題，但實際上學生自己發(fā)現(xiàn)的問題往往比教師提出的問題更具教育意義，效果也更為顯著.這樣引導學生自己發(fā)現(xiàn)問題，有助于學生自主學習，養(yǎng)成發(fā)現(xiàn)問題，主動探索問題，積極提問的良好習慣.例題變式教學對于學生主動發(fā)現(xiàn)問題、提出問題具有明顯的幫助.在應用例題變式設計一段時間和學生了解例題變式設計的原理和方向后，教師可以將例題教學“交”給學生，讓學生嘗試根據一個例題發(fā)現(xiàn)另一個例題，主動組織學生一同探索，大膽向教師提問.對于教師來說，例題變式設計教學的應用也要構建良好的課堂氛圍，摒除“提問便是學習不好的表現(xiàn)”的認知，鼓勵學生“不恥下問”，這也有利于從例題變式向“教學變式”的轉變.例如，教材中的例題“畫出函數的圖像”，在帶領學生解決問題后，教師可以指導學生試著將原題變化一下，先為學生留出一定時間，讓學生以小組為單位，每個小組根據原題再出一道例題，而教師隨機選擇一個小組所提出的例題，交由其他小組作答，后續(xù)的結果和解題過程也完全可以交給設計該題的小組.這一活動的開展不僅能培養(yǎng)學生的思維靈活性，而且能促進學生的合作學習以及小組之間的互動.

（二）培養(yǎng)學生的數學思維能力

很多學生都會感覺高中階段的數學難度“更上一層樓”，其概念、公式及解題方法不僅繁多而且晦澀難懂，這不僅是學習方法不夠高效，而且說明了學生的數學思維能力不強.如果只將高中數學知識點看作一個個獨立的“孤島”，那么學習難度無疑會進一步提高.實際上，高中階段的數學知識點的連貫性特點更加明顯，知識點與知識點之間的聯(lián)系更加緊密，因此，學生在理解知識以及解題時需要靈活應用以往的知識點.教師培養(yǎng)學生的數學思維能力能幫助學生在掌握、歸納與總結知識點的基礎上融會貫通，靈活應用數學知識，讓數學知識不再是單純的知識積累，形成解題能力.例題變式設計能夠通過靈活的例題變化讓學生從中“看”到以往的知識點和解題方法，也能讓學生從數學例題的靈活多變中看到靈活多變的解題方法，學會從多個角度分析問題，用以往的知識點來解決問題，在提高例題教學質量的同時簡化學生的學習難度.

二、例題變式設計在高中數學教學中的應用

（一）數學思維的靈活發(fā)散

在新課改背景下，高中數學教學需要關注學生能力的養(yǎng)成，因此，在課堂教學中，教師要充分貫徹生本理念，以學生作為教學的中心，引導學生探索例題，交流例題，在例題解題過程中實現(xiàn)對學生數學思維能力和創(chuàng)新能力的培養(yǎng).這本身也是傳統(tǒng)教學模式的理想狀態(tài)，但傳統(tǒng)教學模式本身壓制著這一趨向：過于關注解題的標準答案，學生因害怕出錯而不敢嘗試，甚至長時間養(yǎng)成的依賴心理導致不去主動探索例題，而是等待教師公布答案和解題過程.傳統(tǒng)教學模式本身并沒有給學生充足的課堂參與空間，導致學生在課堂中表現(xiàn)較為消沉，這對于學生能力的提高帶來了不利影響.對此，教師首先要做的是實現(xiàn)教學理念的積極創(chuàng)新，貫徹生本理念，應用例題變式教學，喚醒學生的學習積極性，通過例題變式設計的趣味性和靈活性讓學生產生興趣，跟隨例題的變動和教師的引導靈活發(fā)散數學思維能力.

例如，在教學“同角三角函數基本關系式”這一內容時，教師需要確保課堂教學的靈活性，靈活設計內容和過程，靈活應對學生的課堂表現(xiàn).通過例題變式設計，教師能將原本枯燥無味的例題教學變得更加生動靈活.

例題變式設計的主旨在于引導學生探究三角函數關系，同時嘗試著證明關系，為之后的學習過程打好基礎.上述例題變式通過循序漸進的方法手段讓學生們通過討論和計算嘗試著求解，三個變式的不斷深入讓學生靈活發(fā)散數學思維能力，每一道習題的成功解答都是下一道習題求解的基礎，這也更能激發(fā)學生的探究欲望.

（二）通過例題變式設計開展概念教學

概念與公式都是高中階段數學學習中的基礎部分，這一部分的知識點通常需要學生通過理解來消化，這時，教師可以通過例題進行概念的補充講解，讓學生通過例題思考來深化概念理解效率.然而，例題補充可能造成學生理解誤差的現(xiàn)象，因此，教師可以利用例題變式設計，在通過例題輔助理解概念知識時通過變式設計實現(xiàn)例題與概念的一同轉換，讓學生能以更多的角度分析概念，掌握概念.例如，在教學“函數”這一內容時，很多學生可能出現(xiàn)函數與方程分辨不清的現(xiàn)象，在解題時也可能出現(xiàn)混淆的現(xiàn)象，這主要是因為他們對兩個知識概念的掌握不夠扎實，也沒能明確概念的本質.函數與方程都會通過代數表達式進行表達，一些計算題看上去非常像方程，也類似函數，因此，學生往往滯留在例題的表面難以分辨，這時，教師可以通過例題變式設計來幫助學生區(qū)分函數與方程的不同，讓學生掌握兩者存在的聯(lián)系與共通點.多數情況下，方程都是求解未知數，而未知數本身并不會出現(xiàn)自變量和變異性的關系.函數中的所有自變量和因變量都是對應的，并且方程可以求解而函數沒有固定的解.兩者也存在一定聯(lián)系，即在特殊情況下是可以轉換的.如果在解函數時遇到特殊值，那么可以將函數問題轉變?yōu)榻夥匠?，找到函數的參數或特殊性質.在這之后，教師可以板書例題：y＝x2＋2x＋1，求函數圖像和y軸的交點坐標.實際上，這一例題也是求解x＝0 時y的值，而該題可以借此進行轉換，轉變?yōu)榉匠蘺＝0＋0＋1，解得坐標為（0，1），之后可以再轉換為函數進行求解.教師利用例題的變式設計能幫助學生明確函數和方程之間的區(qū)別和聯(lián)系，使學生將兩種思想通過變式設計代入例題中，通過例題的靈活轉換靈活思考，提高學生的思維能力和問題解決能力.

（三）設計開放性的變式例題

在高中數學教學過程中，學生對于課堂學習的參與性往往決定了課堂教學質量，而如何讓學生積極主動地參與學習則成為教師需要重點解決的問題.對此，興趣成為一個很好的著力點，教師可以通過趣味性的例題變式設計來提高學生的參與積極性，并設計開放性的例題，引導學生主動思考，主動創(chuàng)新.教師需要在例題設計上注重解題方法的同時創(chuàng)設靈活的思維情境，通過開放性的例題讓學生脫離教材和傳統(tǒng)解題方法的制約，在解題過程中靈活創(chuàng)新.這一方法本身是將例題設計中的思維變式設計交給學生，由學生經過思考提出變式的數學例題，再經過教師的引導解決例題.這一過程不僅更具趣味性，而且能讓學生獲得成就感，激發(fā)學生的思維能力.如例題：

教師可以讓學生通過分析，嘗試舉出一個反例，對原本題型進行變換，如：

之后，教師可以鼓勵學生大膽猜想，主動探究，再找出一個漸近線方程為的雙曲線方程，求得＝1，（λ＝0）.之后，教師再對例題進行變換，讓學生試著找出其他的表示形式，并分析一下和漸近線方程有沒有什么區(qū)別，如漸近線方程為的雙曲線方程為（λ≠0）.教師通過開放性例題的設計能為學生的數學思考拓展空間，而教師再引導學生的思維向著變式設計的方向遷移能發(fā)揮更為顯著的教學效果，不僅讓學生充分參與到例題教學過程中，而且能讓學生感受到其中的趣味性，在自主變式提問和解答問題后也能收獲成功解題的喜悅.

（四）利用問題內容形式，使學生形成完整的知識系統(tǒng)

高中數學中存在許多變式潛能問題.這就要求教師從多個角度具體性分析，對該問題所包含的學科內容以及知識內容進行了解，從而對問題所包含的知識點進行挖掘與利用.具體來說，作為一名高中數學教師，需要在備課期間內根據數學知識點以及學生的理解能力，為學生設計合理的數學問題，使學生在問題分析中了解數學知識.同時，在教學過程中，教師需要在例題教學中對一些辨識內容進行分析，使學生能在學習中掌握更多的解題思路，提高學生的解題自信心，全面提升教學效果，使學生在學習中達到事半功倍的目的.

例如，在高中數學“余弦定理”的教學過程中，教師在備課時，可以針對內容以及教學知識，為學生設計相應的課題內容，以使學生能在對理論知識理解的過程中對課題進行解答，從而使學生通過問題認證理論知識，使學生真正地掌握課堂教學知識.“已知，在三角形ABC中，∠B為60°，需要求證三角形的三條邊A，B，C滿足AC＝2A＋2C-B2.”

變式一：在三角形ABC中，在了解∠B為60°后，需要對三角形的三條邊A，B，C的滿足條件進行了解..

隨后，學生通過思考，對該問題的內容進行了進一步分析.

變式二：在三角形ABC中，三角形的內角為等差數列，需要對三條邊A，B，C滿足.

教師在課堂中通過課題問題，對變式一、二進行具體分析，并與教材中余弦定理知識進行對比分析，從而使學生對余弦定理充分了解.同時，教師在對例題講解的過程中，需要按照課題內容，給予不同的變式，根據學生解答過程的情況進行剖析，給予學生一定的鼓勵，對于數學基礎較差的學生進行進一步引導，使他們能在學習的過程中形成良好的數學知識體系，并對數學知識內容“余弦定理”全面了解，使他們深入了解數學知識，并提高學生對數學學習的自信心，從而在學習中不斷進步.

（五）以問題背景進行變式教學，提高學生的應變能力

教師應進一步促使學生在高中數學課堂中對數學知識對象的本質屬性全面了解，并在學習過程中對知識點的應用變化具體分析，了解其中的變向因素以及不變因素，從而通過數學知識的發(fā)展現(xiàn)狀，了解數學知識點的本質內容.

例如，在高中數學“指數函數以及性質”教學過程中，教師在課前備案時需要明確本節(jié)課的教學目標，促使學生在課堂中對指數函數的概念內容深入理解，并通過問題內容促使學生深入了解指數函數的性質，從而掌握指數函數.在課堂實踐過程中，學生在教師的引導下，通過對教材內容的熟讀，對指數函數有了初步了解，隨后，教師為學生設置了問題內容，使學生能通過問題內容印證指數函數的改變與性質，如“中國人口數量在2021 年已經增長到14 億人，如果每年能將中國人口數量的增長率控制在1%，那么在10年后，中國人口數量將會達到多少人口（單位為億）？”該問題的背景屬于指數增長模型題.這主要是促使學生能根據題意列舉并總結出，在x年后，中國人口數量將會達到y(tǒng)人，那么可以得出y＝14（1＋1%）x，隨后，為了調動學生的學習積極性，教師要求學生能根據實際生活或其余學科的內容，以此獲取其余變式內容.

變式一：針對儲蓄中的復利計算利益，在已知條件本金為a，利息為r，本利為y下，需要求解出y與x之間的變量函數式.在不同的問題背景下，學生對指數函數的概念與性質進行了充分了解，并進一步總結了指數增長模型關系式，如在變式一中，設置原有量為n，年平均增長率為p，那么在x年后，y為多少，根據指數函數可以了解到y(tǒng)＝n（1＋p）x.在教學全面落實與實施的過程中，學生在指數函數學習過程中，通過問題背景進行辨識學習，不僅能深入地了解指數函數，而且能掌握本節(jié)課的教學知識點.

三、結語

高中數學例題變式教學的應用能夠實現(xiàn)“一題多變”，同時在解題過程中能讓學生靈活發(fā)散數學思維能力，通過靈活的解題教學讓學生的思維也變得更加靈活.教師在教學過程中也要注重學生的解題過程，只有注重解題過程才有利于學生對例題變式的理解，激發(fā)學生的學習興趣和分析問題的積極性.