王昌琳，劉 瑩，孫建強

（海南大學理學院，海南 ?？?570228）

在等離子體物理學中，Zakharov方程是描述等離子體中Langmuir波和離子聲波相互作用的經(jīng)典偏微分方程模型［1］.經(jīng)典Zakharov方程模型系統(tǒng)也被認為是描述高頻蘭繆爾波與低頻離子的最佳系統(tǒng)模型，其中包括Klein-Gordon-Zakharov方程模型.Klein-Gordon-Zakharov（KGZ）方程是由2個函數(shù)u(x，t)和m(x，t)相互耦合的方程.u(x，t)函數(shù)表示由電子引起的電場的快速時標分量，描述偏差平衡時離子密度的變化的一類復數(shù)函數(shù)，m(x，t)是一個實函數(shù).KGZ方程模型類似于Zakharov方程Klein-Gordon Schrodinger方程［2-4］.非線性的Klein-Gordon-Zakharov方程在等離子體物理學中起著重要作用.

近年來，許多學者分析了Klein-Gordon-Zakharov方程解的存在性條件并用數(shù)值方法計算方程解的行為.Liu等［4］分析了耦合非線Klein-Gordon方程的周期解.Zhang等［5］分析了Klein-Gordon-Zakharov方程整體解的光滑條件.Tsutaya［6］分析了Klein-Gordon-Zakharov方程小振幅解的整體存在性.同時Wang等［7］和Chen等［8］利用數(shù)值方法分析了Klein-Gordon-Zakharov方程數(shù)值解的特性.構(gòu)造分數(shù)階偏微分方程的能量守恒格式在數(shù)值模擬能量守恒分數(shù)階偏微分方程中具有重要的意義.Rome等［9］和Hendy等［10］構(gòu)造了分數(shù)階Klein-Gordon-Zakharov方程的守恒數(shù)值格式，并分析了方程的數(shù)值行為和守恒特性.

保結(jié)構(gòu)算法在求解具有守恒特性的偏微分方程中具有重要的優(yōu)勢，如保偏微分方程多辛守恒的多Runge-Kutta方法，多辛譜方法等具有長時間的精確計算能力和近似保方程的能量守恒特性［11-12］.保哈密爾頓系統(tǒng)和多辛結(jié)構(gòu)偏微分方程能量守恒的平均向量場方法和保哈密爾頓系統(tǒng)能量守恒的邊界值方法［13-15］.利用平均向量場方法和擬譜方法求解如下的分數(shù)階Klein-Gordon-Zakharov方程［9］.

其中，u=u(x，t)=ξ(x，t)+iη(x，t)=ξ+iη，v x=m t.方程（1）具有能量守恒特性.在空間有限域Ω=(a，b)內(nèi)相應的能量函數(shù)為

1 分數(shù)階Klein-Gordon-Zakharov方程的多辛格式

對于分數(shù)階KGZ方程（1），令w(x，t)=u t(x，t)，v x(x，t)=m t(x，t)，v(x，t)=-2p x(x，t)和w=γ+iβ，u=ζ+iη，則方程（1）等價于

方程（4）可以寫成如下多辛結(jié)構(gòu)形式

其中，

矩陣分別為

格式（5）滿足多辛守恒定律

2 分數(shù)階Klein-Gordon-Zakharov方程的多辛保能量方法

令u N(x)表示函數(shù)u(x)中的插值逼近I N u(x)，有

則由等式（8）和等式（9）可得

同時對方程中變量p，v關(guān)于x的偏導數(shù)，相應的譜微分矩陣D1為

在時間方向上，對空間離散后的多辛系統(tǒng)（15）用二階平均向量場方法［12］進行近似離散，有

方程組（16）中消去變量γ，β，ζ，η.可得到如下離散格式

定理1 離散能量函數(shù)（18）關(guān)于時間是守恒的.

證明由于等式（15）可以寫成

用二階平均向量場方法對等式（19）進行離散，可以得到

其中，τ為時間步長，等式（20）可以寫成

由于K是一個斜對稱矩陣，則有下面等式成立

所以離散能量函數(shù)（18）保持能量守恒.

把格式（17）中向量u n+1，m n+1，v n+1，w n+1，p n+1，u n，m n，v n，w n，p n分別取為u n，m n，v n，w n，p n，u n-1，m n-1，v n-1，w n-1，p n-1，得到一組新方程組，再與原方程組相加減消去輔助變量w，v，p.從而得到一個新的方程組.

3 數(shù)值模擬

考慮分數(shù)階KGZ方程在x∈[-10，10]和時間t∈[0，24]的數(shù)值解.新格式（22）是三層格式，取初始兩步的初始條件為［9］

圖1是方程在α=2和t∈[0，24]內(nèi)|u(x，t)|和m(x，t)的數(shù)值解.從圖1可知，數(shù)值結(jié)果與參考文獻［9］一致，新格式能夠較好地模擬方程數(shù)值解的行為.

圖1 分數(shù)階KGZ方程|u(x，t)|和m(x，t)在t∈[0，24]的數(shù)值解

圖2是方程在α取不同值時的能量圖.從圖2可知方程在α取不同值時，隨著時間的改變，能量一直保持不變，新格式保持方程的離散能量守恒特性.

圖2 分數(shù)階KGZ方程在α取不同值時在t∈[0，24]的能量值與初始能量值的比較圖.

4 小結(jié)

將分數(shù)階Klein-Gordon-Zakharov方程寫成多辛結(jié)構(gòu)，利用傅里葉擬譜方法對Riesz空間分數(shù)階導數(shù)離散近似，再利用平均向量場方法構(gòu)造出Riesz空間分數(shù)階KGZ方程新的保能量格式，用新格式數(shù)值模擬Riesz空間分數(shù)階KGZ方程孤立波的演化行為.數(shù)值結(jié)果表明新格式能很好地模擬分數(shù)階KGZ方程孤立波的演化行為并很好地保持了方程的離散能量守恒特性.顯然，利用平均向量場方法在數(shù)值求解具有辛和多辛結(jié)構(gòu)的分數(shù)階偏微分方程中具有一定的優(yōu)越性.