甘肅 何少杰

在高中數(shù)學(xué)的各類考試中,試題經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)抽象函數(shù)的身影,抽象函數(shù)因未給出具體的函數(shù)解析式,讓其在解題時(shí)顯得很“抽象”,給學(xué)生解題帶來了一定的困難,要突破這一難點(diǎn),就得讓抽象的問題形象化、具體化、簡單化.抽象函數(shù)關(guān)系式中蘊(yùn)含的函數(shù)對(duì)稱性、周期性、類周期性以及構(gòu)造方法都源于對(duì)教材內(nèi)容的拓展,這些結(jié)論往往因?yàn)槠湫问降某橄笮?難以記憶與區(qū)分,筆者借助函數(shù)圖象,直觀形象地解讀了抽象函數(shù)關(guān)系式中蘊(yùn)含的函數(shù)性質(zhì),歸納總結(jié),并梳理了抽象關(guān)系式中蘊(yùn)藏的構(gòu)造方法,供參考.

一、抽象關(guān)系式蘊(yùn)含的函數(shù)自對(duì)稱性,源于函數(shù)奇偶性的拓展

1.函數(shù)自對(duì)稱的抽象關(guān)系式原型——函數(shù)奇偶性

抽象關(guān)系式：①f(-x)=f(x)；

②f(-x)=-f(x).

兩組抽象關(guān)系式反映了函數(shù)y=f(x)圖象上A,B兩點(diǎn)之間的對(duì)稱關(guān)系,由于x的任意性,從而反映了函數(shù)y=f(x)圖象自身的對(duì)稱性.

約定函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镽,若f(-x)=f(x),則對(duì)于函數(shù)圖象上任意一點(diǎn)A(x,f(x)),其關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)(-x,f(x))即為點(diǎn)B(-x,f(-x)),必在函數(shù)圖象上,由于點(diǎn)A的任意性,故函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱；若f(-x)=-f(x),則對(duì)于函數(shù)圖象上任意一點(diǎn)A(x,f(x)),其關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)(-x,-f(x))即為點(diǎn)B(-x,f(-x)),必在函數(shù)圖象上,故函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.

2.函數(shù)自對(duì)稱的抽象關(guān)系式拓展——后面加常數(shù)

2.1基本型抽象關(guān)系式

①f(-x)=f(x+a);

②f(-x)=-f(x+a)(其中a為常數(shù)).

這兩組抽象關(guān)系式也反映了函數(shù)y=f(x)圖象上A,B兩點(diǎn)之間的對(duì)稱關(guān)系,由于x的任意性,進(jìn)而反映了函數(shù)y=f(x)圖象自身的對(duì)稱性.

2.2變式

二、抽象函數(shù)圖象的互對(duì)稱,實(shí)質(zhì)為函數(shù)圖象變換

變式：

(1)函數(shù)y=f(a+x)與函數(shù)y=f(a-x)的圖象關(guān)于直線x=0對(duì)稱；

函數(shù)y=f(a+x)與函數(shù)y=-f(a-x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(0,0)對(duì)稱.

規(guī)律：先根據(jù)函數(shù)符號(hào)“f”外的正負(fù)判斷軸對(duì)稱與中心對(duì)稱,再根據(jù)括號(hào)內(nèi)兩式相等,解出對(duì)稱軸方程或?qū)ΨQ中心橫坐標(biāo).

三、抽象關(guān)系式蘊(yùn)含的函數(shù)周期性,源于對(duì)函數(shù)周期性定義的拓展

1.基本型抽象關(guān)系式

f(x)=f(x+a)(其中a為常數(shù)),f(x)周期T=a.

2.周期性的抽象關(guān)系式拓展

2.1換元型變式

(1)f(-x)=f(-x+a),f(x)周期T=a.

(2)f(x+a)=f(x+b),f(x)周期T=b-a.

注：(1)中可將-x換元為x,(2)中可將x換元為x-a,均可變形為基本形式得到周期.

2.2遞推型變式

(1)f(x)=-f(x+a),f(x)周期T=2a.

2.3復(fù)雜型變式

可以采用換元、賦值、變形等手段轉(zhuǎn)化為基本形式或歸納出周期.

【例】定義在R上的不恒為零的偶函數(shù)f(x)滿足xf(x+2)=(x+2)f(x),則f(2 021)=.

3.抽象關(guān)系式表示的性質(zhì)歸納

一看自變量符號(hào),用口訣(同號(hào)周期性,異號(hào)對(duì)稱性),指抽象關(guān)系式中只有x或-x考慮函數(shù)周期性,抽象關(guān)系式中同時(shí)有x或-x考慮函數(shù)對(duì)稱性；二要換元轉(zhuǎn)化為基本型,即轉(zhuǎn)化為f(-x)=f(x+a)；f(-x)=-f(x+a)或f(x)=f(x+a)的形式,進(jìn)而確定函數(shù)性質(zhì).

4.對(duì)稱性周期性綜合結(jié)論

結(jié)論1：函數(shù)y=f(x)有兩條對(duì)稱軸分別為x=m,x=n(m≠n),則函數(shù)y=f(x)是周期函數(shù),且T=2|n-m|.

結(jié)論2：函數(shù)y=f(x)的兩個(gè)對(duì)稱中心分別為(a,0),(b,0)(a≠b),則函數(shù)y=f(x)是周期函數(shù),且T=2|b-a|.

結(jié)論3：函數(shù)y=f(x)的一條對(duì)稱軸為x=m,一個(gè)對(duì)稱中心為(a,0)(m≠a),則函數(shù)y=f(x)是周期函數(shù),且T=4|a-m|.

直觀解讀：

注：證明過程略,可以聯(lián)想正余弦函數(shù)圖象記憶.

四、抽象關(guān)系式中蘊(yùn)含函數(shù)圖象的類周期性變化規(guī)律

為方便研究,約定函數(shù)f(x)在[0,+∞)的一個(gè)“周期”(子區(qū)間D)內(nèi)的圖象已知,以下分類探究滿足抽象關(guān)系式的函數(shù)圖象所呈現(xiàn)的周期性變化規(guī)律.

1.橫向平移同步縱向伸縮規(guī)律性變化

抽象關(guān)系式：f(x)=kf(x+a),a>0且k>0.

直觀解讀：

2.橫向平移同步縱向平移周期性規(guī)律變化

抽象關(guān)系式：f(x)=f(x+a)+b,a>0,b>0.

移項(xiàng)變形：①f(x+a)=f(x)-b?換元變形：②f(x-a)=f(x)+b.

對(duì)變形式的解讀：①式表示f(x)在x+a處的函數(shù)值為其在x處的函數(shù)值減b,即橫坐標(biāo)向右平移a個(gè)單位長度,同時(shí)縱坐標(biāo)向下平移b個(gè)單位長度,依次不斷類推可得到函數(shù)給定的一個(gè)“周期”右側(cè)圖象；②式表示f(x)在x-a處的函數(shù)值為其在x處的函數(shù)值加b,即橫坐標(biāo)向左平移a個(gè)單位長度,同時(shí)縱坐標(biāo)向上平移b個(gè)單位長度,依次不斷類推可得到函數(shù)給定的一個(gè)“周期”左側(cè)圖象.

直觀解讀：

結(jié)論2：f(x)=f(x+a)+b,(a>0,b>0)表示以函數(shù)一個(gè)“周期”的圖象為模板,橫坐標(biāo)向右平移a個(gè)單位,同時(shí)縱坐標(biāo)向下平移b個(gè)單位得到下一個(gè)“周期”的圖象,按照該規(guī)律依次循環(huán)變換,反向變換方法相反,可得到函數(shù)完整圖象.

3.橫向伸縮同步縱向伸縮周期性規(guī)律變化

直觀解讀：

4.橫向伸縮同步縱向平移周期性規(guī)律變化

抽象關(guān)系式：f(x)=f(ωx)+b,ω>1且b>0.

直觀解讀：

結(jié)論4：f(x)=f(ωx)+b,ω>1且b>0,表示以函數(shù)一個(gè)“周期”的圖象為模板,橫坐標(biāo)向右伸長為原來的ω倍,同時(shí)縱坐標(biāo)向下移b個(gè)單位長度,得到下一個(gè)“周期”的圖象,按照該規(guī)律依次循環(huán)變換,反向變換方法相反,可得到函數(shù)完整圖象.

上述的幾種變換方法,與我們熟悉的圖象變換規(guī)律是不一樣的,究其原因是因?yàn)椤吧霞酉聹p,左加右減”是由一個(gè)函數(shù)變換成另一個(gè)函數(shù)所遵循的規(guī)律,而上述規(guī)律是同一函數(shù)內(nèi)部函數(shù)值之間的關(guān)系,所以兩者是完全不同的,不可混為一談.雖然上述變換分類較多,但無需死記硬背,使用時(shí)只需將抽象關(guān)系式變形,正確解讀變形式的含義,厘清函數(shù)值的變化規(guī)律,就可作出函數(shù)完整圖象順利解題.

五、抽象函數(shù)關(guān)系式中蘊(yùn)含的構(gòu)造規(guī)律

抽象函數(shù)導(dǎo)數(shù)有關(guān)的不等式問題往往難以直接求解,需要根據(jù)題設(shè)中的抽象函數(shù)關(guān)系式特點(diǎn),構(gòu)造滿足條件的輔助函數(shù),轉(zhuǎn)而研究所構(gòu)造函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行解題.輔助函數(shù)可以是一般的函數(shù),也可以是特殊的函數(shù).

1.構(gòu)造法則——導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則

(1)對(duì)于f′(x)±g′(x)>0(或<0),可構(gòu)造h(x)=f(x)±g(x)；

(2)對(duì)于f′(x)g(x)+f(x)g′(x)>0(或<0),可構(gòu)造h(x)=f(x)g(x)；

2.常見的特殊函數(shù)構(gòu)造模型

(1)對(duì)于xf′(x)+nf(x)>0(或<0),可構(gòu)造h(x)=xnf(x)；

(3)對(duì)于f′(x)+nf(x)>0(或<0),可構(gòu)造h(x)=enxf(x)；

(5)對(duì)于f′(x)sinx+f(x)cosx>0(或<0),可構(gòu)造h(x)=f(x)sinx；

(7)對(duì)于f′(x)cosx-f(x)sinx>0(或<0),可構(gòu)造h(x)=f(x)cosx；

六、典例賞析

【例1】(2018·全國卷Ⅱ理·11)已知f(x)是定義域?yàn)?-∞,+∞)的奇函數(shù),滿足f(1-x)=f(1+x).若f(1)=2,則f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=

( )

A.-50 B.0 C.2 D.50

分析：因?yàn)閒(1-x)=f(1+x)?f(-x)=f(x+2),所以f(x)圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱,又f(x)是奇函數(shù),故f(x)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,所以f(x)是以4為周期的周期函數(shù),f(2)=f(0)=0,f(3)=f(-1)=-f(1),f(4)=f(0)=0,故選C.

七、結(jié)語