廣東 蔣海榕

2017課標(biāo)版人教A版高中數(shù)學(xué)教材與2007版人教A版對(duì)比，“事件的相互獨(dú)立性”內(nèi)容提前并升級(jí).舊教材以條件概率為背景來(lái)研究事件的“獨(dú)立性”，而新教材通過(guò)歸納推理抽象出事件的“獨(dú)立性”.本文從探究概念、深挖內(nèi)涵、正確判斷、鞏固應(yīng)用四個(gè)方面對(duì)新教材中的“事件的獨(dú)立性”進(jìn)行教學(xué)探討.

一、問(wèn)題的提出

1.新舊教材內(nèi)容的差異

為了落實(shí)立德樹(shù)人的根本任務(wù)，提高學(xué)生學(xué)科核心素養(yǎng)，在新課程標(biāo)準(zhǔn)背景下，2017課標(biāo)版人教A版高中數(shù)學(xué)教材(以下統(tǒng)稱“新教材”)投入使用.與2007版人教A版教材(以下統(tǒng)稱為“舊教材”)對(duì)比，內(nèi)容編排發(fā)生了很大改變.尤其是“概率”部分，新教材中“樣本空間”的引入，帶來(lái)了整章的知識(shí)重構(gòu).具體見(jiàn)下圖：

2017課標(biāo)版人教A版必修二第十章2007版人教A版選修2-3第二章10.1隨機(jī)事件與概率10.1.1有限樣本空間與隨機(jī)事件10.1.2事件的關(guān)系與運(yùn)算10.1.3古典概型10.1.4概率的基本性質(zhì)10.2事件的相互獨(dú)立性10.3頻率與概率10.3.1頻率的穩(wěn)定性10.3.2隨機(jī)模擬2.1離散型隨機(jī)變量及其分布列2.1.1離散型隨機(jī)變量2.1.2離散型隨機(jī)變量的分布列2.2二項(xiàng)分布及其應(yīng)用2.2.1條件概率2.2.2事件的相互獨(dú)立性2.2.3獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布2.3離散型隨機(jī)變量的均值與方差2.3.1離散型隨機(jī)變量的均值2.3.2離散型隨機(jī)變量的方差2.4正態(tài)分布

從上圖我們可以看到：對(duì)比舊教材，新教材把“事件的相互獨(dú)立性”從選修提前到了必修內(nèi)容，由“2.2二項(xiàng)分布及其應(yīng)用”下的子目錄升級(jí)為“10.2事件的相互獨(dú)立性”單獨(dú)一節(jié).最為重要的是新教材對(duì)事件的相互獨(dú)立性這一節(jié)進(jìn)行了知識(shí)重構(gòu)，舊教材中是在學(xué)習(xí)了條件概率基礎(chǔ)上，利用條件概率進(jìn)行演繹推理，研究相互獨(dú)立的兩個(gè)事件的概率關(guān)系.新教材中并未學(xué)習(xí)條件概率，是通過(guò)兩個(gè)試驗(yàn)探究，進(jìn)行歸納推理得出結(jié)論.目前大部分關(guān)于“事件的相互獨(dú)立性”教學(xué)研究都是以條件概率為背景，無(wú)法真正領(lǐng)會(huì)新教材編寫(xiě)意圖.

2.學(xué)生認(rèn)知的障礙

學(xué)生在學(xué)習(xí)“獨(dú)立性”之前，就容易對(duì)非獨(dú)立的兩個(gè)事件的積事件的概率進(jìn)行乘法運(yùn)算；判斷兩個(gè)事件是否獨(dú)立時(shí)，學(xué)生又容易與前面學(xué)的互斥事件發(fā)生混淆，甚至?xí)J(rèn)為可以感性判斷兩個(gè)事件是否獨(dú)立，不需要獨(dú)立性公式來(lái)判斷.

下面從探究概念、深挖內(nèi)涵、正確判斷、鞏固應(yīng)用四方面對(duì)新教材中“事件的相互獨(dú)立性”進(jìn)行教學(xué)探討.

二、教學(xué)探討

1.巧用探究，引出概念

探究1：分別拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，A=“第一枚硬幣正面朝上”，B=“第二枚硬幣反面朝上”

探究2：一個(gè)袋子中裝有標(biāo)號(hào)分別是1，2，3，4的4個(gè)球，除標(biāo)號(hào)外沒(méi)有其他差異.采用有放回方式從袋中依次任意摸出兩球，設(shè)A=“第一次摸到球的標(biāo)號(hào)小于3”，B=“第二次摸到球的標(biāo)號(hào)小于3”

探究3：將探究2中“有放回”改為“不放回”，分別計(jì)算P(A)，P(B)，P(AB)，你有什么發(fā)現(xiàn)？

設(shè)計(jì)意圖：探究1和探究2來(lái)源于課本，探究環(huán)節(jié)從最簡(jiǎn)單、學(xué)生最熟悉的情境入手.讓學(xué)生利用前面所學(xué)的有限樣本空間和古典概型的知識(shí)，發(fā)現(xiàn)共性，得到結(jié)論P(yáng)(AB)=P(A)P(B)，為歸納出“獨(dú)立性”概念做準(zhǔn)備.

補(bǔ)充的探究3讓學(xué)生體會(huì)概率中兩個(gè)基本事件有可能滿足獨(dú)立性，但是并非所有的兩個(gè)事件具備獨(dú)立性.改變了試驗(yàn)條件，兩個(gè)事件的關(guān)系也發(fā)生改變.通過(guò)探究3，讓學(xué)生理解“獨(dú)立性”，避免在后面學(xué)習(xí)中濫用公式.這一過(guò)程旨在培養(yǎng)學(xué)生歸納推理能力與嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)思維.

2.抽象概念，深挖內(nèi)涵

通過(guò)歸納探究1和探究2，得出概念：對(duì)任意的兩個(gè)事件A與B，如果P(AB)=P(A)P(B)成立，則稱事件A與B相互獨(dú)立，簡(jiǎn)稱獨(dú)立.

探究4：必然事件Ω、不可能事件?與任意事件相互獨(dú)立嗎？為什么？

探究6：“獨(dú)立”與“互斥”等價(jià)嗎？

探究7:設(shè)樣本空間Ω={a，b，c，d}含有等可能的樣本點(diǎn)，且A={a，b}，B={a，c}，C={a，d}.A，B，C三個(gè)事件兩兩獨(dú)立，P(ABC)是否等于P(A)P(B)P(C)？

設(shè)計(jì)意圖：探究4中，因?yàn)镻(Ω)=1，所以P(AΩ)=P(A)=P(A)P(Ω)，同理可得P(?A)=P(A)P(?)，符合“獨(dú)立性”的定義.同時(shí)，再次讓學(xué)生理解：事件A的發(fā)生與不發(fā)生對(duì)不可能事件與必然事件發(fā)生的概率不產(chǎn)生任何影響.從嚴(yán)謹(jǐn)?shù)母拍钤倩氐礁行泽w會(huì)，讓學(xué)生深刻理解獨(dú)立性的含義.探究5中，類比集合運(yùn)算，課本給出了詳細(xì)的推導(dǎo)過(guò)程.幫助學(xué)生熟悉概率的運(yùn)算，進(jìn)一步理解事件的相互獨(dú)立性的性質(zhì).

探究4與探究5，新教材利用獨(dú)立性的定義“P(AB)=P(A)P(B)”，將問(wèn)題很好地解決了，不依賴于條件概率，反倒降低了“獨(dú)立性”學(xué)習(xí)的難度，這是新教材編排的優(yōu)點(diǎn).

設(shè)事件A與事件B互為互斥事件，則有P(AB)=0，易得在P(A)>0，P(B)>0的條件下P(AB)≠P(A)P(B).所以得到結(jié)論：P(A)>0，P(B)>0的條件下互斥的兩個(gè)事件一定不具有相互獨(dú)立性.探究6從定義的角度出發(fā)，讓學(xué)生經(jīng)歷“獨(dú)立”與“互斥”的概念辨析過(guò)程，理解它們是完全不同的概念.

3.善用例題，正確判斷

【例1】甲、乙兩名射擊運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行射擊比賽，甲的中靶概率為0.8，乙的中靶率為0.9,求下列事件的概率：(1)兩人都中靶;(2)恰好有一人中靶;(3)兩人都脫靶;(4)至少有一人中靶.

答案：(1)0.72 (2)0.26 (3)0.02 (4)0.98

【例3】一個(gè)家庭有n(n≥2)個(gè)小孩，假設(shè)生男孩和生女孩機(jī)會(huì)均等，事件A表示“有男孩也有女孩”，事件B表示“最多有一個(gè)女孩”

(1)當(dāng)n=2時(shí)，事件A與事件B是否獨(dú)立？

(2)當(dāng)n=3時(shí)，事件A與事件B是否獨(dú)立？

設(shè)計(jì)意圖：例1和例2來(lái)源于課本，例1學(xué)生可以直接判斷兩個(gè)事件相互獨(dú)立，例2題目直接告知兩個(gè)事件獨(dú)立.這是最簡(jiǎn)單常見(jiàn)的兩種判斷情形，要求學(xué)生根據(jù)獨(dú)立性的概率公式準(zhǔn)確作答.例1和例2的設(shè)置，容易讓學(xué)生覺(jué)得，“獨(dú)立性”都是可以感官直接判斷的.例3的補(bǔ)充，可以讓學(xué)生體會(huì)到：P(AB)=P(A)P(B)才是真正能夠判斷兩個(gè)事件是否相互獨(dú)立的條件.再次讓學(xué)生深刻體會(huì)“獨(dú)立性”的內(nèi)涵，以此培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S習(xí)慣.

4.活用真題，鞏固應(yīng)用

【練習(xí)】(2021·新高考Ⅰ卷·8)有6個(gè)相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6，從中有放回的隨機(jī)取兩次，每次取1個(gè)球，甲表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的數(shù)字是2”，丙表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是8”，丁表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是7”，則

( )

A.甲與丙相互獨(dú)立

B.甲與丁相互獨(dú)立

C.乙與丙相互獨(dú)立

D.丙與丁相互獨(dú)立

答案：B

設(shè)計(jì)意圖：從歷年的高考真題我們可以看到，事件的相互獨(dú)立性是概率模塊考查的重點(diǎn)內(nèi)容.不管舊教材還是新教材，利用“獨(dú)立性”進(jìn)行概率計(jì)算始終是要求重點(diǎn)掌握的.特別值得一提的是2021年新高考Ⅰ卷第8題，利用P(AB)=P(A)P(B)判斷事件的“獨(dú)立性”，并不需要依賴條件概率，著重體現(xiàn)了“獨(dú)立性”定義的優(yōu)點(diǎn)，與新教材編排意圖完全相符.