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        解析幾何教學(xué)中提升數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)的研究
        ——以2021年新高考Ⅰ卷第21題為例

        2022-01-19 09:37:58福建陳崇榮
        關(guān)鍵詞:共圓運算直線

        福建 陳崇榮

        數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)是數(shù)學(xué)學(xué)科六大核心素養(yǎng)之一,數(shù)學(xué)運算主要包括理解運算對象,掌握運算法則,探究運算思路,選擇運算方法,設(shè)計運算程序,求得運算結(jié)果等.解析幾何是提升運算素養(yǎng)的主要載體,本文就2021年新高考Ⅰ卷第21題談?wù)剶?shù)學(xué)運算素養(yǎng)的培養(yǎng).

        (1)求C的方程;

        1.探尋學(xué)生解題的心路歷程及“卡殼”原因

        試題的呈現(xiàn)方式簡潔、易懂,解題思路也比較明確,但得分率不夠理想,學(xué)生普遍反映計算量大,計算過程不順利.筆者仔細(xì)研究試題后,針對第(2)問與幾位同學(xué)進(jìn)行了交流.

        2.直線方程的點斜式VS斜截式

        從上面可以看出,設(shè)直線方程時學(xué)生1和學(xué)生2都選擇直線的點斜式方程,學(xué)生3選擇的是斜截式方程,筆者順著學(xué)生的思路進(jìn)行解答,過程如下:

        設(shè)直線的點斜式方程解法:

        設(shè)直線的斜截式方程解法:

        點評:解析幾何本質(zhì)是以代數(shù)的角度研究幾何問題,代數(shù)運算是避不開的,如何進(jìn)行有效的運算,優(yōu)化運算,提升學(xué)生的數(shù)學(xué)運算核心素養(yǎng)值得研究.直線點斜式方程和斜截式方程各有優(yōu)點,也是平時教學(xué)中常提倡的設(shè)法,表面上看已知直線的斜率及過一點一般設(shè)點斜式,已知直線的斜率及截距一般設(shè)斜截式,但從上面三位學(xué)生的解題分析看,此題用斜截式優(yōu)于點斜式,因此在解題教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生在選擇直線方程時,要斟酌,會涉及后面的運算量的大小.例如要把直線方程(含兩個參數(shù))代入二次曲線方程消元時,涉及平方,直線方程可以考慮設(shè)斜截式,因為斜截式中項比較少.

        3.探尋優(yōu)化運算之路

        3.1平移直角坐標(biāo)優(yōu)化數(shù)學(xué)運算

        坐標(biāo)軸平移法:

        3.2探尋試題來源 提煉解題經(jīng)驗 優(yōu)化數(shù)學(xué)運算

        本題背景是四點共圓問題,四點共圓主要有兩個定理:

        定理1:AB和CD是圓錐曲線的兩條相交弦,且AB與CD交于點P,則四點A,B,C,D共圓的充要條件是直線AB與直線CD的傾斜角互補(bǔ).

        定理2:AB和CD是圓錐曲線的兩條相交弦,且AB與CD交于點P,則四點A,B,C,D共圓的充要條件是|PA|·|PB|=|PC|·|PD|.

        關(guān)于四點共圓的問題在高考、競賽中多次出現(xiàn),解決四點共圓問題主要有四種方法,一是利用直線參數(shù)方程的幾何意義,二是利用曲線系方程,三是利用兩直線的夾角公式,四是利用平面幾何知識.下面就利用直線的參數(shù)方程和曲線系方程來解2021年新高考Ⅰ卷第21題,體會以往解題經(jīng)驗優(yōu)化數(shù)學(xué)運算的優(yōu)勢.

        點評:《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版2020年修訂)》中直線的參數(shù)方程不作要求,但筆者認(rèn)為教師有必要高屋建瓴的把握試題的解法、立意等,恰當(dāng)運用曲線的參數(shù)方程,優(yōu)化有關(guān)解析幾何的數(shù)學(xué)運算.

        點評:二次曲線的方程一般為Ax2+By2+Cxy+Dx+Ey+F=0,高中階段涉及圓、橢圓、雙曲線、拋物線.

        若直線l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,則(A1x+B1y+C1)(A2x+B2y+C2)=0可以認(rèn)為是非退化的二次曲線.

        若曲線C1:f1(x,y)=0,曲線C2:f2(x,y)=0,則過兩曲線交點的曲線系方程可表示為λf1(x,y)+μf2(x,y)=0(λ∈R,μ∈R),當(dāng)確定所求曲線不是C1或C2時,可以設(shè)一個參數(shù),即為f1(x,y)+λf2(x,y)=0.

        4.提升數(shù)學(xué)運算核心素養(yǎng)的教學(xué)反思

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