山東 尹承利

結(jié)構(gòu)不良試題是始于2020年新高考Ⅰ卷(供山東使用)的一種新題型.該題型的引入，增強了試題的開放性，引導考生的思維從知識的習得與記憶更多地轉(zhuǎn)向問題的解決策略的選擇上，使得數(shù)學真正地應(yīng)用在思維層面，能深入地考查考生的觀察、分析、比較、判斷和對問題的把控能力，有效地考查考生思維的靈活性和建構(gòu)數(shù)學問題的能力，以及分析問題和解決問題的能力.對數(shù)學理解能力，數(shù)學探究能力的考查起到積極、深刻地作用.因而該題型一經(jīng)出現(xiàn)，就受到中學數(shù)學界的“熱捧”，成為高考及各地模擬考試數(shù)學命題的“主打”題型.隨著高考命題改革的推進，結(jié)構(gòu)不良試題呈現(xiàn)出多元化趨勢，無論是從形式還是考查內(nèi)容上，都在變化發(fā)展著.從結(jié)構(gòu)形式上看，2020年高考主要是“條件開放”型，而2021年高考甲卷理科的第18題呈現(xiàn)的則是“條件和結(jié)論均開放”型；從考查內(nèi)容上看，2020年高考和各地模擬題中所考查的知識大多局限于數(shù)列和解三角形兩部分內(nèi)容，而2021年高考新高考Ⅱ卷的第22題(壓軸題)將考查知識擴展到導數(shù)；從題型上看，2020年和2021年高考僅局限在解答題中，但可以預見，在2022年乃至以后高考命題中，結(jié)構(gòu)不良試題的命題不止是解答題，也會在選擇、填空題中呈現(xiàn).為此，筆者原創(chuàng)、改編一組以解析幾何為知識載體的結(jié)構(gòu)不良試題，供2022屆高三復習備考時參考，同時期待與諸位同仁共同致力于研究、預測結(jié)構(gòu)不良試題在題型方面的變化發(fā)展趨勢.

一、“結(jié)構(gòu)不良”客觀題

在選擇題或填空題中設(shè)計“結(jié)構(gòu)不良”試題，在現(xiàn)行的數(shù)學命題中未曾有過，但筆者以為，由于當今高考數(shù)學命題的多樣性、開放性和包容性，在高考命題中出現(xiàn)“結(jié)構(gòu)不良”選擇題或填空題是可以預期的，呈現(xiàn)的形式與“結(jié)構(gòu)不良”解答題呈現(xiàn)的形式基本一致.在這里，筆者編擬幾題，旨在拋磚引玉.

1.“結(jié)構(gòu)不良”選擇題

題1.已知O是坐標原點，A,B兩點分別在兩條互相垂直的直線2x-y=0和x+ay=0上，且________，則線段AB的長為

( )

A.11 B.10

C.9 D.8

注：從以上兩個條件中任選一個，補充在上面問題中并作答.

解析：若選擇①，

由已知兩直線互相垂直可得2×1+(-1)×a=0，解得a=2，所以△AOB外接圓的周長為10π，所以半徑r=5.

又在Rt△AOB中，O是直角頂點，所以AB為△AOB外接圓的直徑，所以|AB|=10，故選B.

若選擇②，已知兩直線互相垂直可得2×1+(-1)×a=0，解得a=2.所以線段AB的中點為P(0,5)，且AB為Rt△AOB的斜邊.因為直角三角形斜邊上的中線PO的長為斜邊AB的一半，且|PO|=5，故|AB|=2|PO|=10,故選B.

( )

注：從以上兩個條件中任選一個，補充在上面問題中并作答.

解析：若選擇①，

若選擇②，

2.“結(jié)構(gòu)不良”填空題

注：從以上兩個條件中任選一個，補充在上面問題中并作答.

解析：若選擇條件①，

所以x1+x2+x3=3,y1+y2+y3=0.

若選擇條件②，

二、“結(jié)構(gòu)不良”主觀題

這是結(jié)構(gòu)不良試題的主要呈現(xiàn)題型，條件開放(自選)，具體的表現(xiàn)形式是：給出幾個待選條件，需要考生在較短的時間內(nèi)，分析和捕捉信息，從所給出的不同條件中由考生自行篩選出自己認為擅長、適合的那一個條件，將其納入、補充到題設(shè)條件中，并結(jié)合題設(shè)中的其它已知條件，然后按結(jié)構(gòu)良好型試題作答的方法步驟進行推理、運算，以求取得滿意的解答.

解題需要考生注意的是題目結(jié)尾標注的指導語——“如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分”，以免誤答、多答，浪費時間.

(1)求橢圓E的方程；

(2)已知直線l與橢圓E交于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點，O為坐標原點，M為AB的中點，________.若存在實數(shù)t，使得|OM|·|AB|≤t恒成立，求t的最小值.

從下面兩個條件中任選一個，補充在上面的問題中并作答.

注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.

(2)若選①，

若選②，

所以(4k2+1)x1x2+4km(x1+x2)+4m2=0，

題5.已知動點M到定點F(1,0)的距離比M到定直線x=-2的距離小1.

(1)求點M的軌跡C的方程；

(2)已知________，求證：直線AB恒過一個定點.

從下面兩個條件中任選一個，補充在上面的問題中并作答.

①O是坐標原點，P(-3,0)，A,B是C上的兩個動點，且OP平分∠APB;

②過點F作C的兩條互相垂直的弦，且弦的中點分別為A,B.

注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.

解析：(1)由題意,動點M到定點F(1,0)的距離等于M到定直線x=-1的距離，根據(jù)拋物線的定義可知，點M的軌跡C是拋物線.

因為p=2，所以拋物線方程為y2=4x.

(2)若選擇①,設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2)，設(shè)直線AB的方程為x=ky+m，代入拋物線方程并整理得y2-4ky-4m=0，由Δ=(4k2)-4(-4m)>0，解得m+k2>0，

所以y1+y2=4k，y1y2=-4m.

因為PO平分∠APB，所以∠OPA=∠OPB，所以kPA=-kPB，即kPA+kPB=0.

而y1(x2+3)+y2(x1+3)=y1(ky2+m+3)+y2(ky1+m+3)=2ky1y2+(y1+y2)(m+3)=2k×(-4m)+4k(m+3)=12k-4km，

所以12k-4km=0，由于k可以變動，所以m=3，即x=ky+3，當y=0時，x=3.

所以直線AB恒過定點(3,0).

若選擇②,

設(shè)過點F作C的兩條互相垂直的弦分別與C相交于為P,Q和M,N，且弦PQ的中點為A，弦MN的中點為B.

由題意可設(shè)直線PQ的方程為y=k(x-1)(k≠0)，

Δ=(2k2+4)2-4k4=16k2+16>0,

于是，直線AB恒過定點(3,0)；

當k=±1時，直線AB的方程為x=3，也過點(3,0).

綜上所述，直線AB恒過定點(3,0).

(1)求點P的軌跡C的方程；

(2)設(shè)直線l經(jīng)過點M(0,1)，且與C相交于E，F(xiàn)兩點，若________，求直線l的方程.

從下面兩個條件中任選一個，補充在上面的問題中并作答.

注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.

(2)若選擇①，

當過點M的直線EF的斜率存在時，設(shè)直線EF的方程為y=kx+1.

若選擇②,

得(3+4k2)x2+8kx-8=0.①

三、教學啟示

結(jié)構(gòu)不良試題作為一種新穎題型的確給新高考試卷命題注入了新的活力，復習備考中在關(guān)注、重視和研究這種新題型的同時，也切莫風聲鶴唳.“結(jié)構(gòu)不良”僅僅是一種載體，一種為高考命題服務(wù)的形式，它的“新”主要還是體現(xiàn)在情境、設(shè)問等形式上的新，在復習備考中重視研究、探討和運用這些新題型的時候，更要重視在“新”的背后，考查的依然是核心的數(shù)學知識，考查的是數(shù)學本質(zhì)性的東西，復習備考中做好以下幾方面工作應(yīng)當是堅定地！

1.夯實基礎(chǔ)，注重通性通法

中學數(shù)學傳統(tǒng)意義上的主干知識如函數(shù)與導數(shù)、三角函數(shù)、解三角形、數(shù)列、立體幾何、解析幾何、概率與統(tǒng)計等是構(gòu)筑“中學數(shù)學”這座大廈的根基，無論高考改革到什么程度，相信對這些主干知識的考查一定不會冷落.因此要指導學生“吃透課本、抓實基礎(chǔ)、注意通性通法，理解中心思想”，才能在高考中考出理想成績.

2.把握“問題本質(zhì)”

相信高考數(shù)學命題無論怎么變化、改革，改變的是形式，不變的是本質(zhì)！數(shù)學問題的本質(zhì)就是體現(xiàn)和滲透在問題中的知識、方法和規(guī)律及數(shù)學思想方法乃至數(shù)學核心素養(yǎng)，將本質(zhì)性的東西深刻挖掘了、弄熟吃透了，即使當呈現(xiàn)在大家面前的新問題可能是在原問題的基礎(chǔ)上進行了某種程度的改頭換面，或者進行了適當?shù)淖兪交虬b，只要能看透變式與包裝背后本質(zhì)性的東西，那么問題無論如何變幻莫測，解決起來總能游刃有余和得心應(yīng)手.

3.不盲目追求題量