趙艷輝 鄧春紅

一類特殊形式的定積分極限問題

趙艷輝 鄧春紅

（湖南科技學(xué)院 理學(xué)院，湖南 永州 425199）

根據(jù)函數(shù)在一點連續(xù)和在一點可導(dǎo)的定義，利用可積(連續(xù))函數(shù)的有界性和定積分的分部積分法分兩種情形對一類特殊形式的定積分極限問題進(jìn)行研究，得到被積函數(shù)在一點連續(xù)或在區(qū)間上連續(xù)時此類極限問題的極限值與區(qū)間某一端點的函數(shù)值的關(guān)系及被積函數(shù)在區(qū)間(二階)可導(dǎo)或某點可導(dǎo)時此類極限問題的極限值與區(qū)間某一端點的函數(shù)值的關(guān)系，為此類極限的計算提供了理論依據(jù)，并通過具體實例進(jìn)行了驗證。

數(shù)列極限; 定積分; 連續(xù)函數(shù); 可積性; 可導(dǎo)性

在數(shù)學(xué)專業(yè)的研究生考試和數(shù)學(xué)競賽中經(jīng)常出現(xiàn)一類與定積分有關(guān)的數(shù)列極限問題，其中定積分的被積函數(shù)為(?)f ()，()是抽象函數(shù)。由于此類問題主要牽涉到數(shù)列極限定義、函數(shù)的連續(xù)性、函數(shù)的可導(dǎo)性和函數(shù)的可積性等重要知識，可以說是一元函數(shù)微積分重要知識的綜合運(yùn)用，因此研究此類問題的解法不僅可以有效鞏固所學(xué)知識、找到各知識之間的內(nèi)在本質(zhì)聯(lián)系，起到舉一反三、觸類旁通的作用，而且可以培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)思維能力，學(xué)會用數(shù)學(xué)思維的眼光分析問題和解決問題。

關(guān)于數(shù)列極限和函數(shù)極限的求法一般的高等數(shù)學(xué)教材或數(shù)學(xué)分析教材介紹得非常詳細(xì)[1-4]。而對于含有定積分的極限問題卻鮮有討論[5]。本文根據(jù)函數(shù)在一點連續(xù)和在一點可導(dǎo)的定義，利用可積（連續(xù)）函數(shù)的有界性和定積分的分部積分法分兩種情形對一類特殊形式的定積分極限問題進(jìn)行研究，得到被積函數(shù)在一點連續(xù)或在區(qū)間上連續(xù)時此類極限問題的極限值與區(qū)間某一端點的函數(shù)值的關(guān)系及被積函數(shù)在區(qū)間（二階）可導(dǎo)或某點可導(dǎo)時此類極限問題的極限值與區(qū)間某一端點的函數(shù)值的關(guān)系，為此類極限的計算提供理論依據(jù)，并通過具體實例進(jìn)行驗證。

1 函數(shù)f (x)在閉區(qū)間端點連續(xù)的情形

結(jié)論1 (i)設(shè)函數(shù)()在[，]可積，且在=連續(xù)，則有

(ii)設(shè)函數(shù)()在[，]可積，且在=連續(xù)，則有

所以有

(5)

所以任給>0，存在自然數(shù)，當(dāng)>時，有

從而由式(5)得：任給>0，存在自然數(shù)，當(dāng)>時，有

同理可證式(2)成立。結(jié)論1得證。

當(dāng)已知函數(shù)()在一點連續(xù)或在區(qū)間連續(xù)時，可根據(jù)被積函數(shù)表達(dá)式的特征，利用連續(xù)函數(shù)的定義及積分區(qū)間的可加性將積分區(qū)間[，]分成兩個小區(qū)間[，]和[，]，注意在兩個小區(qū)間上()?()的處理方式是不同的。如果函數(shù)()在區(qū)間[，]連續(xù)，上述結(jié)論自然成立。

將()寫成定積分表達(dá)式的形式后，可以對絕對值里的表達(dá)式進(jìn)行運(yùn)算，同時也體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的和諧統(tǒng)一美。

因為積分值不能直接求得，且極限值已知，所以可考慮用數(shù)列極限的定義來處理問題。

2 函數(shù)在閉區(qū)間有二階及以上連續(xù)導(dǎo)數(shù)的情形

為方便起見，以二階連續(xù)可導(dǎo)為例進(jìn)行證明。

結(jié)論2 (i) 設(shè)函數(shù)()在[，]二階連續(xù)可導(dǎo)，則有

(ii) 設(shè)函數(shù)()在[，]二階連續(xù)可導(dǎo)，則有

證明：只證結(jié)論2中的(i)。依題意，由定積分的分部積分法有

從而有

則

從而式(7)成立。同理可證式(8)和式(9)成立。結(jié)論2得證。

例2 設(shè)函數(shù)()在區(qū)間[0，1]上二階連續(xù)可導(dǎo)，求證：

即結(jié)論成立。

當(dāng)函數(shù)有二階及以上的導(dǎo)數(shù)時，通常利用帶Lagrange余項的Taylor展開式表示此函數(shù)，由于導(dǎo)函數(shù)具有介值性，所以也不需要導(dǎo)函數(shù)連續(xù)，利用導(dǎo)函數(shù)的介值性處理中值點的導(dǎo)函數(shù)值，從而能順利計算定積分。當(dāng)已知函數(shù)在一點一階可導(dǎo)時，通常根據(jù)函數(shù)在一點可導(dǎo)的定義將函數(shù)表示出來，只是要注意討論積分時區(qū)間的分割法，以及在不同的區(qū)間內(nèi)積分的不同處理方式，最后求出相應(yīng)的數(shù)列極限即可[6]。

3 結(jié) 語

在結(jié)論1和結(jié)論2中，當(dāng)積分區(qū)間為[，]，被積函數(shù)含有()時，極限值與()或()有關(guān)，由例1和例2可知。在學(xué)習(xí)中遇到類似的極限時，可以根據(jù)題中所給的條件，如某區(qū)間內(nèi)的可導(dǎo)性、可積性、連續(xù)性等條件，結(jié)合定積分的性質(zhì)、函數(shù)的連續(xù)性、函數(shù)的可導(dǎo)性，去分析該類極限的問題。對于與定積分有關(guān)的極限問題，如果出現(xiàn)了一點的函數(shù)值，通常要將該函數(shù)值用相應(yīng)區(qū)間上的定積分形式表示出來，不僅便于討論，更體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的和諧美以及數(shù)學(xué)的分類思想。

[1]賀電鵬.極限求法的探討[J].河南教育學(xué)院學(xué)報(自然科學(xué)版),2017,26(2):44-51.

[2]李東方,謝小軍.泰勒公式在求極限中的應(yīng)用舉例[J].科技經(jīng)濟(jì)導(dǎo)刊,2018,26(19):175.

[3]李金媛.求數(shù)列極限的幾種常用方法[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究,2018(18):6.

[4]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析:上冊[M].4版.北京:高等教育出版社,2010:57-64,130-136.

[5]胡麗平.含有積分式的函數(shù)的極限[J].天中學(xué)刊,2008(5):116-117.

[6]楊學(xué)鳳,鄧秋芳,徐惇儒,等.一類與定積分有關(guān)的數(shù)列極限問題[J].課程教育研究,2020(8):227.

O172.2

A

1673-2219（2021）05-0003-04

2020-07-07

湖南省自然科學(xué)基金面上項目（2019JJ40089）；湖南科技學(xué)院應(yīng)用特色學(xué)科建設(shè)項目(數(shù)學(xué))；湖南科技學(xué)院校級一流線下課程建設(shè)項目。

趙艷輝（1969－），女，湖南益陽人，碩士，教授，研究方向為多復(fù)變函數(shù)論。

（責(zé)任編校：宮彥軍）